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Lösung zu Übung 10, Aufgabe 5

Einleitung

Wir betrachten die allgemeine Sinusfunktion der Form:\[f(x) = a \cdot \sin(\pi x) + d\]Die Ableitung dieser Funktion lautet:\[f'(x) = a \cdot \pi \cdot \cos(\pi x)\]

Aufgabe a)

Gegeben:\(Y(0|4)\) (Schnittpunkt mit der y-Achse)Punkt \(P(2|4)\) mit Steigung $f’(2) = 3$1. Bestimmung von \(d\)Da der Graph die y-Achse in \(Y(0|4)\) schneidet, gilt \(f(0) = 4\):\[f(0) = a \cdot \sin(\pi \cdot 0) + d = 4\]\[a \cdot 0 + d = 4 \implies \mathbf{d = 4}\]2. Bestimmung von \(a\)Die Steigung bei \(x=2\) beträgt \(3\pi\):\[f'(2) = a \cdot \pi \cdot \cos(\pi \cdot 2) = 3\pi\]\[a \cdot \pi \cdot 1 = 3\pi \implies \mathbf{a = 3}\]Ergebnis a): \(f_a(x) = 3 \cdot \sin(\pi x) + 4\)

Aufgabe b)

Gegeben:Tiefpunkt \(T(0{,}5 | 0{,}5)\)Steigung an der Wendestelle \(x=1\) ist $$1. Bestimmung von \(a\)Die Steigung bei \(x=1\) beträgt \(\frac{\pi}{4}\):\[f'(1) = a \cdot \pi \cdot \cos(\pi \cdot 1) = \frac{\pi}{4}\]\[a \cdot \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{4} \implies -a\pi = \frac{\pi}{4} \implies \mathbf{a = -0{,}25}\]2. Bestimmung von \(d\)Nutze den Punkt \(T(0{,}5 | 0{,}5)\):\[f(0{,}5) = -0{,}25 \cdot \sin(\pi \cdot 0{,}5) + d = 0{,}5\]\[-0{,}25 \cdot 1 + d = 0{,}5 \implies \mathbf{d = 0{,}75}\]Ergebnis b): \(f_b(x) = -0{,}25 \cdot \sin(\pi x) + 0{,}75\)

Visualisierung in R

# Bereich festlegen
x_werte <- seq(0, 3, length.out = 500)

# Funktionen definieren
f_a <- function(x) 3 * sin(pi * x) + 4
f_b <- function(x) -0.25 * sin(pi * x) + 0.75

# Graphen plotten
plot(x_werte, f_a(x_werte), type="l", col="blue", lwd=2, 
     ylim=c(0, 8), main="Sinusfunktionen Aufgabe 5", xlab="x", ylab="f(x)")
lines(x_werte, f_b(x_werte), col="red", lwd=2)
grid()
legend("topright", legend=c("f_a (Aufgabe a)", "f_b (Aufgabe b)"),
       col=c("blue", "red"), lwd=2)

# Funktionen
fa  <- function(x)  3*sin(pi*x) + 4
fap <- function(x)  3*pi*cos(pi*x)

fb  <- function(x) -(1/4)*sin(pi*x) + 3/4
fbp <- function(x) -(pi/4)*cos(pi*x)

# Plotbereich
x <- seq(-0.5, 2.5, length.out = 800)

par(mfrow = c(2,1), mar = c(4,4,3,1))

# --- Plot a) ---
plot(x, fa(x), type="l", lwd=2, col="navy",
     main="Teil a)  f_a(x)=3 sin(pi x)+4",
     xlab="x", ylab="y")
abline(h = 4, lty=2, col="gray40")
grid(col="gray85")

# Stützpunkte
xa <- c(0, 0.5, 1, 1.5, 2)
points(xa, fa(xa), pch=19, col="firebrick")

# Tangente in x=2
x0 <- 2; y0 <- fa(x0); m <- fap(x0)
xt <- seq(1.3, 2.7, length.out=50)
lines(xt, m*(xt-x0)+y0, lwd=2, col="darkorange")

legend("topleft",
       legend=c("f_a(x)", "Mittellinie y=4", "Stützpunkte", "Tangente bei x=2"),
       col=c("navy", "gray40", "firebrick", "darkorange"),
       lty=c(1,2,NA,1),
       pch=c(NA,NA,19,NA),
       lwd=c(2,1,NA,2),
       bty="n")

# --- Plot b) ---
plot(x, fb(x), type="l", lwd=2, col="navy",
     main="Teil b)  f_b(x)=-(1/4) sin(pi x)+3/4",
     xlab="x", ylab="y")
abline(h = 3/4, lty=2, col="gray40")
grid(col="gray85")

# Stützpunkte + Tiefpunkt
xb <- c(0, 0.5, 1, 1.5, 2)
points(xb, fb(xb), pch=19, col="firebrick")
points(0.5, 0.5, pch=17, cex=1.3, col="purple4")

# Tangente in x=1
x0 <- 1; y0 <- fb(x0); m <- fbp(x0)
xt <- seq(0.3, 1.7, length.out=50)
lines(xt, m*(xt-x0)+y0, lwd=2, col="darkorange")

legend("topleft",
       legend=c("f_b(x)", "Mittellinie y=3/4", "Stützpunkte", "Tiefpunkt", "Tangente bei x=1"),
       col=c("navy", "gray40", "firebrick", "purple4", "darkorange"),
       lty=c(1,2,NA,NA,1),
       pch=c(NA,NA,19,17,NA),
       lwd=c(2,1,NA,NA,2),
       bty="n")