Filtros activos con OpAmps

En electrónica, un filtro activo se utiliza para atenuar una señal eléctrica a distintas frecuencias y amplificar la señal en otras regiones del espectro. Los filtros, en función de la frecuencia, se clasifican en pasobajas, pasoaltas y pasobanda.

Los filtros pasobajas están formados por un circuito RC conectado a una fuente de voltaje de corriente alterna como se muestra a continuación:

Figura 1: Circuito RC

En el circuito RC, la fuente de alimentación es el voltaje de entrada (Ve), mientras que el voltaje de salida (Vs), es voltaje en el capacitor. Para el cálculo de Vs, se utiliza un divisor de voltaje. Para este propósito, primeramente se debe calcular la reactancia capacitiva (Xc) de capacitor como se muestra a continuación: \[ X_C = \frac{1}{2\pi f c} \] En la fórmula de la Xc, f es la frecuencia del voltaje de corriente alterna de entrada y c es la capacitancia. Utilizando el divisor de voltaje, el voltaje de salida es: \[ V_S = V_E \cdot \frac{X_C}{R+X_C} \] De la fórmula anterior, \(R+X_C\) es la impedancia (Z), cuyo valor se determina mediante \(\sqrt{R^2+X_C^2}\). Por lo tanto, Vs se calcula mediante: \[ V_S = V_E \cdot \frac{X_C}{\sqrt{R^2+X_C^2}}\].
Por otra parte, la frecuencia de corte (Fc), a partir de la cual el filtro realiza su función, se calcula por: \[F_C=\frac{1}{2\pi R C} \] Ejemplo:

Evalúa el desempeño de un filtro pasobanda con valores de \(R=2\,k\Omega\) y \(C=220\,nF\), para un voltaje de entrada de \(10\,V_P\).

Primeramente, se debe calcular la frecuencia de corte: \[ F_C = \frac{1}{2 \pi\cdot 2 \times 10^3 \cdot 220 \times 10^{-9}} \] Nota: se recomienda realizar el análisis por computadora. En este caso se utilizó el programa R con el entorno RStudio.

R <- 2e3
C <- 220e-9
Fc <- round(1/(2*pi*R*C))
Fc

## [1] 362

En este caso, se tiene una frecuencia de corte de 362 Hz. A continuación calculamos los valores de \(X_C\) y \(V_S\) para frecuencias con base 10, antes y después de la frecuencia de corte. \[ X_C = \frac{1}{2 \pi (362)(220\times10^{-9})} \]

Xc <- 1/(2*pi*362*220e-9)
Xc

## [1] 1998.43

Esto indica una reactancia capacitiva \(X_C\) = 1998 \(\Omega\). Se puede comprobar el cálculo de la reactancia capacitiva verificando que a la frecuencia de corte el voltaje de salida sea aproximadamente el 70% del voltaje de entrada:

Xc <- 1/(2*pi*362*220e-9)
Vs <- (10*Xc)/(sqrt((2e3)^2 + (Xc)^2))
Vs

## [1] 7.06829

Dado que el voltaje de entrada es de 10 V y el voltaje de salida es de 7 V, con esto se comprueba el valor de esperado de 70%. A continuación se grafica la ganancia en dBs para una barrido de frecuencias en múltiplos de 10.

f <- c(10^0, 10^1, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5)
Xc <- 1/(2*pi*f*220e-9)
Vs <- 10*Xc/(sqrt((10e3)^2 + (Xc)^2))
library(ggplot2)
library(plotly)
x <- f
y <- 20*log10(Vs/10)

df <- data.frame(x, y)
p <- ggplot(df, aes(x=x, y=y, group=1,
                    text = paste("x =", x,
                                 "<br>y =", y))) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  scale_x_log10() +
  labs(x = "Frecuencia", y = "GdB")

ggplotly(p, tooltip = "text")

En los filtros pasivos, la máxima ganancia es 0 dB, lo cual indica que se tiene el mismo voltaje de salida y de entrada. Para incrementar la ganancia se utiliza un amplificador operacional en conjunto con el circuito RC, lo cual se conoce como filtro activo.

Figura 2: Filtro activo pasobaja

En este caso, la ganancia (\(G\)) del circuito se determina mediante las resistencias \(R_I\) y \(R_F\) como se muestra a continuación. \[ G = 1+\frac{R_F}{R_I}\] Si ambas resistencias tienen el mismo valor, la ganancia \(G=2\). Considerando los valores del ejemplo anterior, se tiene la siguiente respuesta.

f <- c(10^0, 10^1, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5)
Xc <- 1/(2*pi*f*220e-9)
Vs <- 10*Xc/(sqrt((2e3)^2 + (Xc)^2))
library(ggplot2)
library(plotly)
x <- f
y <- 20*log10(Vs*2/10)

df <- data.frame(x, y)
p <- ggplot(df, aes(x=x, y=y, group=1,
                    text = paste("x =", x,
                                 "<br>y =", y))) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  scale_x_log10(breaks = c(1, 10, 100, 1000, 10000, 100000)) +
  geom_vline(xintercept = 362, linetype="dashed", color="red") +
  labs(x = "Frecuencia", y = "GdB")

ggplotly(p, tooltip = "text")

En la figura anterior, la línea punteada representa la frecuencia de corte. Usualmente, el diagrama de Bode de ganancia, se complementa con el diagrama de Bode de fase. El diagrama de fase, muestra en ángulo de desfasamiento entre el voltaje de salida y el voltaje de entrada como se muestra a continuación:

# Diagrama de fase de filtro paso bajo con R = 2 kOhms y C = 220 nF. 

f <- c(10^0, 10^1, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5) # Frecuencia de 1 Hz hasta 100,000 Hz
Xc <- 1/(2*pi*f*220e-9)
R <- 2e3

# Fase en grados: phi = -arctan(R/Xc)
fase <- -atan(R/Xc) * (180/pi) # Se multiplica por 180/pi para convertir de radianes a grados

library(ggplot2) # librería para gráficas
library(plotly) # gráficas interactivas

x <- f 
y <- fase

df <- data.frame(x, y)
p <- ggplot(df, aes(x=x, y=y, group=1,
                    text = paste("x =", x,
                                 "<br>y =", y))) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  scale_x_log10(breaks = c(1, 10, 100, 1000, 10000, 100000)) +
  geom_vline(xintercept = 362, linetype="dashed", color="red") +
  labs(x = "Frecuencia (Hertz)", y = "Fase (grados)")

ggplotly(p, tooltip = "text")