###Propiedades de los estimadores y prueba de significancia de la regresión lineal simple Aplicación a la relación entre la presión arterial diastólica y sistólica en pacientes con diabetes.

1. Introducción

La regresión lineal simple es una técnica estadística utilizada para modelar la relación entre una variable respuesta y una variable explicativa. Su objetivo es cuantificar dicha relación, evaluar su significancia estadística y generar modelos predictivos.

En este estudio se analiza la relación entre la presión arterial diastólica (dbp) y la presión arterial sistólica (sbp) en pacientes con diabetes mediante mínimos cuadrados ordinarios, ANOVA y comparación de modelos. ### 2. ANÁLISIS EXPLORATORIO

library(haven)
Diabetes <- read_sav("C:/Users/aidas/Downloads/Diabetes.sav")
View(Diabetes)
str(Diabetes)
## tibble [149 × 9] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ numpacie: num [1:149] 1 4 6 7 10 12 16 22 28 29 ...
##   ..- attr(*, "label")= chr "Número de identificación del paciente en el estudio"
##   ..- attr(*, "format.spss")= chr "F3.0"
##  $ edat    : num [1:149] 44 47 47 50 49 54 48 40 38 43 ...
##   ..- attr(*, "label")= chr "Edad a la entrada en el estudio"
##   ..- attr(*, "format.spss")= chr "F2.0"
##  $ imc     : num [1:149] 34.2 37.9 33.1 36.5 34.1 42.9 25.3 43.9 23.7 24.8 ...
##   ..- attr(*, "label")= chr "Índice de masa corporal"
##   ..- attr(*, "format.spss")= chr "F4.1"
##  $ edatdiag: num [1:149] 41 45 44 48 45 43 48 34 28 43 ...
##   ..- attr(*, "label")= chr "Edad a la que se diagnóstico la diabetes"
##   ..- attr(*, "format.spss")= chr "F2.0"
##  $ tabac   : dbl+lbl [1:149] 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
##    ..@ label      : chr "Hábito tabáquico"
##    ..@ format.spss: chr "F1.0"
##    ..@ labels     : Named num [1:3] 0 1 2
##    .. ..- attr(*, "names")= chr [1:3] "No fumador" "Ex fumador" "Fumador"
##  $ sbp     : num [1:149] 132 128 156 140 102 128 120 122 102 134 ...
##   ..- attr(*, "label")= chr "Presión arterial sistólica"
##   ..- attr(*, "format.spss")= chr "F3.0"
##  $ dbp     : num [1:149] 96 76 94 86 68 74 68 92 60 80 ...
##   ..- attr(*, "label")= chr "Presión arterial diastólica"
##   ..- attr(*, "format.spss")= chr "F3.0"
##  $ ecg     : dbl+lbl [1:149] 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, ...
##    ..@ label      : chr "Electrocardiograma"
##    ..@ format.spss: chr "F1.0"
##    ..@ labels     : Named num [1:3] 1 2 3
##    .. ..- attr(*, "names")= chr [1:3] "Normal" "Frontera" "Anormal"
##  $ chd     : dbl+lbl [1:149] 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, ...
##    ..@ label      : chr "Antecedentes coronarios"
##    ..@ format.spss: chr "F1.0"
##    ..@ labels     : Named num [1:2] 0 1
##    .. ..- attr(*, "names")= chr [1:2] "No" "Si"
summary(Diabetes)
##     numpacie           edat            imc           edatdiag    
##  Min.   :  1.00   Min.   :31.00   Min.   :18.20   Min.   :26.00  
##  1st Qu.: 38.00   1st Qu.:43.00   1st Qu.:26.60   1st Qu.:38.00  
##  Median : 75.00   Median :50.00   Median :31.20   Median :45.00  
##  Mean   : 75.01   Mean   :52.17   Mean   :31.78   Mean   :45.99  
##  3rd Qu.:112.00   3rd Qu.:60.00   3rd Qu.:35.20   3rd Qu.:53.00  
##  Max.   :149.00   Max.   :86.00   Max.   :59.70   Max.   :81.00  
##      tabac             sbp             dbp           ecg       
##  Min.   :0.0000   Min.   : 98.0   Min.   : 58   Min.   :1.000  
##  1st Qu.:0.0000   1st Qu.:124.0   1st Qu.: 74   1st Qu.:1.000  
##  Median :1.0000   Median :138.0   Median : 80   Median :1.000  
##  Mean   :0.9597   Mean   :139.1   Mean   : 80   Mean   :1.329  
##  3rd Qu.:2.0000   3rd Qu.:152.0   3rd Qu.: 88   3rd Qu.:2.000  
##  Max.   :2.0000   Max.   :222.0   Max.   :108   Max.   :3.000  
##       chd        
##  Min.   :0.0000  
##  1st Qu.:0.0000  
##  Median :0.0000  
##  Mean   :0.3356  
##  3rd Qu.:1.0000  
##  Max.   :1.0000
library(summarytools)
## Warning: package 'summarytools' was built under R version 4.5.3
view(dfSummary(Diabetes))
## Switching method to 'browser'
## Output file written: C:\Users\aidas\AppData\Local\Temp\RtmpaKqfeJ\filedb089e13c2.html
par(mfrow= c (1,2))



hist(Diabetes$sbp, col = "blue")
boxplot(Diabetes$sbp, col = "blue", horizontal = T)

library(PerformanceAnalytics)
## Warning: package 'PerformanceAnalytics' was built under R version 4.5.3
## Cargando paquete requerido: xts
## Warning: package 'xts' was built under R version 4.5.3
## Cargando paquete requerido: zoo
## Warning: package 'zoo' was built under R version 4.5.3
## 
## Adjuntando el paquete: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
## 
## Adjuntando el paquete: 'PerformanceAnalytics'
## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     legend
chart.Correlation(Diabetes)

La matriz de correlación de Pearson permitió identificar las variables con mayor asociación lineal con la presión arterial sistólica (SBP). Para este estudio se seleccionó la presión arterial diastólica (DBP), ya que presentó la correlación más alta y estadísticamente significativa (r=0.644, p<0.05). Este resultado sugiere una relación positiva moderada-fuerte entre ambas variables, justificando su utilización en el modelo de regresión lineal simple.

###Gráfico de dispersión

plot(Diabetes$dbp,
     Diabetes$sbp,
     pch=19,
     xlab="Presión Diastólica (dbp)",
     ylab="Presión Sistólica (sbp)",
     main="Relación entre presión diastólica y sistólica")

El gráfico permite visualizar la relación entre las variables.

Una tendencia creciente en la nube de puntos sugiere una posible relación lineal positiva.

Correlación: Presiòn arterial sistolica y presiòn arterial diastolica.

dim(Diabetes)
## [1] 149   9

Cuando la muestra es mayor de 50 se utiliza la prueba se kolmogorov

###Antes de ajustar un modelo es conveniente evaluar la intensidad de la asociación lineal.

Hipotesis nula: Los datos correspondientes a la presiòn arterial sistolica (sbp) se ajustan a una distribuciòn normal.

Hipotesis alternativa: (sbp) no se ajustan a una distribuciòn normal

ks.test(Diabetes$sbp, "pnorm", mean(Diabetes$sbp), sd(Diabetes$sbp))
## Warning in ks.test.default(Diabetes$sbp, "pnorm", mean(Diabetes$sbp),
## sd(Diabetes$sbp)): ties should not be present for the one-sample
## Kolmogorov-Smirnov test
## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  Diabetes$sbp
## D = 0.089405, p-value = 0.1846
## alternative hypothesis: two-sided

Hipotesis nula: Los datos correspondientes a la presiòn arterial diastolica (dbp) #se ajustan a una distribuciòn normal.

Hipotesis alternativa: (dbp) no se ajustan a una distribuciòn normal

ks.test(Diabetes$dbp, "pnorm", mean(Diabetes$dbp), sd(Diabetes$dbp))
## Warning in ks.test.default(Diabetes$dbp, "pnorm", mean(Diabetes$dbp),
## sd(Diabetes$dbp)): ties should not be present for the one-sample
## Kolmogorov-Smirnov test
## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  Diabetes$dbp
## D = 0.089805, p-value = 0.1807
## alternative hypothesis: two-sided

no se rechaza la hipotesis nula a una vivel de significacia de 0.05 en ninguna de las variables por lo tanto los datos se ajustan a una distribuciòn normal.

Coefientes de correlaciòn- pearson

y<- Diabetes$sbp
x<- Diabetes$dbp

#Hipotesis nula: No exite correlaciòn lineal.

#Hipotesis alternativa: si exite correlaciòn lineal.


cor(x,y)
## [1] 0.6438134
cor.test(x,y)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  x and y
## t = 10.201, df = 147, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.5387920 0.7291301
## sample estimates:
##       cor 
## 0.6438134

se rechaza la hipotesis nula por lo tanto si hay correlaciòn. Correlaciòn positiva moderadamente fuerte entre la presiòn arterial distolica y sistolica

siendo significativamente menor que 0.05, por lo que existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la relación observada no se debe al azar.

y_mean <- mean(y)
x_mean <- mean(x)


numerador<- sum(x*(y-y_mean))
denominador <- sum(x*(x-x_mean))

b1 <- numerador/denominador
b0 = y_mean - b1*x_mean


plot(x, y)
abline(a = b0, b = b1,
       col = "red",
       lwd = 2)

La pendiente estimada fue de 1.182, indicando que por cada incremento de 1 (milimetros de mercurio)mmHg en la presión arterial diastólica, la presión arterial sistólica aumenta en promedio aproximadamente 1.18 mmHg. Desde el punto de vista clínico, esto sugiere que pacientes con mayores niveles de presión diastólica tienden también a presentar mayores niveles de presión sistólica, evidenciando un comportamiento conjunto de ambas medidas de presión arterial.

4. Modelo de regresión simple

modelo <- lm(sbp ~ dbp,
             data=Diabetes)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = sbp ~ dbp, data = Diabetes)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -31.316 -10.398  -2.222   7.224  56.860 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  44.5351     9.3595   4.758 4.62e-06 ***
## dbp           1.1824     0.1159  10.201  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 15.53 on 147 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4145, Adjusted R-squared:  0.4105 
## F-statistic: 104.1 on 1 and 147 DF,  p-value: < 2.2e-16

El modelo estimado fue sbp=44.535+1.182(dbp). La pendiente indica que por cada aumento de 1 mmHg en la presión diastólica, la presión sistólica aumenta en promedio 1.182 mmHg. El modelo fue estadísticamente significativo (p<0.001) y explicó el 41.45% de la variabilidad observada en la presión sistólica (R2=0.4145).

###5. OBTENCIÓN MANUAL DE LOS ESTIMADORES

x_bar <- mean(Diabetes$dbp)

y_bar <- mean(Diabetes$sbp)

Sxy <- sum((Diabetes$dbp-x_bar)*
           (Diabetes$sbp-y_bar))

Sxx <- sum((Diabetes$dbp-x_bar)^2)

beta1 <- Sxy/Sxx

beta1
## [1] 1.182405
beta0 <- y_bar - beta1*x_bar

beta0
## [1] 44.53509

Por cada incremento de 1 mmHg en la presión diastólica, la presión sistólica aumenta en promedio 1.182 mmHg.

La relación encontrada es positiva.

###7. INTERVALOS DE CONFIANZA

confint(modelo)
##                  2.5 %    97.5 %
## (Intercept) 26.0384579 63.031720
## dbp          0.9533444  1.411466

Como el intervalo de confianza para la pendiente no contiene el valor cero, existe evidencia de una relación lineal significativa.

###8. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

summary(modelo)$r.squared
## [1] 0.4144957

El 41.45% de la variabilidad observada en la presión arterial sistólica es explicada por la presión arterial diastólica.

###9. PRUEBA DE SIGNIFICANCIA DE LA REGRESIÓN (ANOVA)

Hipótesis H0:β1=0

La variable explicativa no aporta información.

H1:β1 =0

La variable explicativa aporta información significativa

anova(modelo)
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: sbp
##            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## dbp         1  25110 25109.6  104.07 < 2.2e-16 ***
## Residuals 147  35469   241.3                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Dado que el valor p es menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula.

Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la presión diastólica explica significativamente la presión sistólica.

###10. COMPARACIÓN DE MODELOS

modelo0 <- lm(sbp ~ 1,
              data=Diabetes)

modelo1 <- lm(sbp ~ dbp,
              data=Diabetes)

anova(modelo0,
      modelo1)
## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: sbp ~ 1
## Model 2: sbp ~ dbp
##   Res.Df   RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
## 1    148 60579                                  
## 2    147 35469  1     25110 104.07 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

La disminución de RSS de 60579 a 35469 indica que la incorporación de la presión diastólica mejora significativamente la capacidad explicativa del modelo.

11. VERIFICACIÓN DE SUPUESTOS

Residuos vs Ajustados

plot(modelo,
     which=1)

plot(modelo,
     which=2)

12. CONCLUSIONES

1.Los estimadores obtenidos mediante mínimos cuadrados ordinarios permitieron modelar la relación entre presión diastólica y sistólica. 2.La pendiente estimada fue positiva y estadísticamente significativa. 3.El modelo explicó aproximadamente el 41.45% de la variabilidad observada en la presión sistólica. 4.El análisis ANOVA confirmó la significancia global del modelo. 5.La comparación de modelos mostró que la inclusión de la presión arterial diastólica mejora significativamente el ajuste y la capacidad predictiva del modelo.