Controle Estatístico de Processos: Gráficos para Atributos

Mapa do Capítulo 7

Agenda

• Não conforme (Binomial) vs. não conformidade (Poisson)
• Gráficos \(p\) e \(np\): padrão dado, Fase I, expurgo (Exemplos 7.1 e 7.2)
• Planejamento de \(n\): três abordagens para dimensionamento do tamanho de amostra (Duncan, 1986)
• Tamanho de amostra variável: limites variáveis, \(\bar n\) e gráfico \(Z\) padronizado (Tabela 7.4)
• Curva OC e ARL/CMS para o gráfico \(p\) (Tabela 7.6)
• Gráficos \(c\) e \(u\): mecânica, Fase I, Pareto (Exemplos 7.3, 7.4 e 7.5)
• Curva OC do gráfico \(c\) (Tabela 7.13); limites de probabilidade
• Sistemas de demérito; TBE e a transformação de Nelson (Exemplo 7.6)
• Exercícios do livro-texto: 7.9, 7.12, 7.15, 7.48, 7.49, 7.53, 7.58

Configuração do Ambiente em R

library(ggplot2)
library(qcc)
library(patchwork)

pal <- c(azul   = "#7ecff7",
         verde  = "#4f9d6e",
         ambar  = "#f7c87e",
         roxo   = "#c87ef7",
         coral  = "#f07050",
         neutro = "#aab4c8")

tema_cep <- function(base_size = 13) {
  theme_minimal(base_size = base_size) +
    theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
          panel.grid.minor = element_blank())
}

plot_carta <- function(stat, center, lic, lsc, titulo, ylab = "Estatística") {
  df <- data.frame(t = seq_along(stat), y = stat)
  df$fora <- df$y > lsc | df$y < lic
  ggplot(df, aes(t, y)) +
    geom_line(color = pal["neutro"], linewidth = .6) +
    geom_point(aes(color = fora), size = 2.6) +
    scale_color_manual(values = c(`FALSE` = unname(pal["azul"]),
                                   `TRUE`  = unname(pal["coral"])), guide = "none") +
    geom_hline(yintercept = c(lsc, center, lic),
               color = c(pal["coral"], pal["verde"], pal["coral"]),
               linetype = c("dashed", "solid", "dashed"), linewidth = .8) +
    labs(title = titulo, x = "Amostra", y = ylab) +
    tema_cep()
}

Introdução aos Gráficos de Atributos

• Nem toda característica de qualidade é mensurável numericamente — muitas vezes só é possível classificar a unidade ou contar defeitos
• Vantagem: dados mais simples e baratos de coletar (inspeção visual, checklist, sensor binário)
• Desvantagem: menos informação por unidade amostrada — exige \(n\) maior para a mesma sensibilidade de um gráfico de variáveis
• A base probabilística (Binomial, Poisson) já foi estabelecida na Aula 2 — aqui o foco é transformar essa teoria em uma carta de controle

Não Conforme vs. Não Conformidade

• Uma unidade pode ter várias não conformidades e, ainda assim, ser classificada como conforme (defeitos menores)
• Gráficos \(p\)/\(np\) tratam unidades (binomial); gráficos \(c\)/\(u\) tratam contagem de defeitos (Poisson)

Base Binomial do Gráfico \(p\)

Seja \(D\) o número de itens não conformes em uma amostra de \(n\), com \(p\) = probabilidade constante de não conformidade — a mesma distribuição Binomial detalhada na Aula 2:

\[D \sim \text{Binomial}(n,p) \qquad \hat{p} = \frac{D}{n} \qquad E(\hat{p}) = p \qquad \text{Var}(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}\]

• Hipóteses: \(n\) constante a cada amostra, \(p\) estável no tempo, itens independentes entre si

Verificando a Aproximação Normal para o Gráfico \(p\)

Os limites \(\pm 3\sigma\) do gráfico \(p\) assumem que \(\hat p \approx \text{Normal}\) — válido quando \(n\bar p\) e \(n(1-\bar p)\) são suficientemente grandes. No Exemplo 7.1 do livro (\(n=50\), \(\bar p=0{,}23\)): \(n\bar p \approx 11{,}6\) — confortavelmente acima de 5.

# Distribuicao exata de D ~ Binomial(50, 0.2313) vs. aproximacao Normal
p_ex <- 0.2313; n_ex <- 50
x_vals <- 0:30
prob_bin <- dbinom(x_vals, n_ex, p_ex)
# Normal com mesmos parametros
sigma_ex <- sqrt(n_ex * p_ex * (1 - p_ex))
prob_norm <- dnorm(x_vals, n_ex * p_ex, sigma_ex)
df_comp <- data.frame(
  x = c(x_vals, x_vals),
  prob = c(prob_bin, prob_norm),
  tipo = rep(c("Binomial(50, 0.23)", "Aprox. Normal"), each = length(x_vals))
)
ggplot(df_comp, aes(x, prob, color = tipo)) +
  geom_line(linewidth = 1.1) +
  geom_vline(xintercept = c(n_ex*p_ex - 3*sigma_ex, n_ex*p_ex + 3*sigma_ex),
             linetype = "dashed", color = pal["coral"], alpha = .6) +
  scale_color_manual(values = c(unname(pal["azul"]), unname(pal["ambar"]))) +
  labs(title = "Binomial(50, 0.23) vs. Aproximação Normal — Exemplo 7.1",
       x = "D (não conformes)", y = "Probabilidade", color = "") +
  tema_cep()

Gráfico \(p\): Padrão Dado

\[LSC = p + 3\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \qquad LM = p \qquad LIC = p - 3\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

• Esta é exatamente a mesma estrutura do teste-Z para proporção — só que aqui \(L=3\) no lugar de \(Z_{\alpha/2}\), e o gráfico é lido como uma sequência repetida no tempo, não como um teste único
• Quando \(p\) não é conhecido, estima-se \(\bar p\) a partir de \(m \geq 20\) amostras preliminares

Gráfico \(p\): Estimando \(\bar{p}\) na Fase I — Exemplo 7.1

# Estimativas da fase tentativa do Exemplo 7.1
m_ex <- 30; n_ex <- 50; sum_D_ex <- 347
p_bar_ex <- sum_D_ex / (m_ex * n_ex)
sigma_p_ex <- sqrt(p_bar_ex * (1 - p_bar_ex) / n_ex)
cat(sprintf("p_bar (tentativo) = %d / (%d x %d) = %.4f\nLIC = %.4f | LM = %.4f | LSC = %.4f\n",
            sum_D_ex, m_ex, n_ex, p_bar_ex,
            max(0, p_bar_ex - 3 * sigma_p_ex),
            p_bar_ex,
            p_bar_ex + 3 * sigma_p_ex))

p_bar (tentativo) = 347 / (30 x 50) = 0.2313
LIC = 0.0524 | LM = 0.2313 | LSC = 0.4102

Limites Tentativos e a Regra do Truncamento em Zero

• Os limites calculados a partir de \(\bar p\) são tentativos — válidos apenas após a depuração da Fase I
• Como \(p \geq 0\) por definição, sempre que \(LIC < 0\), define-se \(LIC = 0\)
• Um \(LIC\) positivo é informativo: pontos abaixo dele sinalizam uma melhoria real do processo, não devem ser descartados como “erro”

Depurando a Fase I no Gráfico \(p\)

• Pontos acima do \(LSC\): processo piorou — buscar causa atribuível (lote de matéria-prima, novo operador, desgaste de ferramenta)
• Pontos abaixo do \(LIC\) (quando \(LIC>0\)): processo melhorou — investigar e preservar a causa, não eliminar o subgrupo
• Subgrupos eliminados por causa atribuível identificada exigem recálculo de \(\bar p\) e dos limites

Exemplo Real: Embalagens de Suco de Laranja (Montgomery, Exemplo 7.1)

D_suco <- c(12,15,8,10,4,7,16,9,14,10,5,6,17,12,22,8,
            10,5,13,11,20,18,24,15,9,12,7,13,9,6)
cat(sprintf("Total de amostras: %d | Total não conformes: %d | p_bar = %.4f\n",
            length(D_suco), sum(D_suco), sum(D_suco)/(30*50)))

Total de amostras: 30 | Total não conformes: 347 | p_bar = 0.2313

Suco de Laranja — Gráfico \(p\) Tentativo (Fase I)

g_suco <- qcc(D_suco, type = "p", sizes = 50, plot = FALSE)
plot_carta(g_suco$statistics, g_suco$center, g_suco$limits[1,"LCL"], g_suco$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico p - Embalagens de Suco (Fase I, tentativo)", ylab = "Proporção não conforme")

which(D_suco/50 > g_suco$limits[1,"UCL"])

[1] 15 23

Suco de Laranja — Investigando os Pontos Fora

• As amostras 15 e 23 excedem o \(LSC\) — exatamente como reportado pelo livro
• Amostra 15: um novo fardo de papelão entrou em produção naquela meia hora — lote de matéria-prima como causa atribuível
• Amostra 23: um operador inexperiente foi temporariamente alocado à máquina
• Ambas têm causa documentada e justificam a remoção do cálculo dos limites — mas não do gráfico, que deve registrar a anotação para referência futura

Suco de Laranja — Limites Revisados

D_revisado <- D_suco[-c(15, 23)]
g_suco_rev <- qcc(D_revisado, type = "p", sizes = 50, plot = FALSE)
plot_carta(g_suco_rev$statistics, g_suco_rev$center,
           g_suco_rev$limits[1,"LCL"], g_suco_rev$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico p - Embalagens de Suco (limites revisados, 28 amostras)", ylab = "Proporção não conforme")

cat(sprintf("p_bar revisado = %.4f\n", g_suco_rev$center))

p_bar revisado = 0.2150

Abordagem 1: Garantir Pelo Menos 1 Não Conforme na Amostra

Queremos \(n\) tal que \(P(D \geq 1) \geq \gamma\), ou seja \(P(D=0) \leq 1-\gamma\). Usando a Binomial exata ou sua aproximação Poisson (\(\lambda = np\)):

p0 <- 0.01; gamma <- 0.95
# Solução exata via Binomial
n_exato <- 1
while ((1 - p0)^n_exato > 1 - gamma) n_exato <- n_exato + 1
# Aproximação de Poisson: lambda = np deve exceder -ln(1-gamma)
lambda_min <- -log(1 - gamma)
n_poisson <- ceiling(lambda_min / p0)
cat(sprintf("n exato (Binomial) = %d | lambda minimo = %.3f | n (Poisson, lambda~3) = %d\n",
            n_exato, lambda_min, n_poisson))

n exato (Binomial) = 299 | lambda minimo = 2.996 | n (Poisson, lambda~3) = 300

O livro-texto resolve a Binomial exata e chega a \(n=298\); a aproximação de Poisson, mais simples de aplicar manualmente, arredonda \(\lambda=np\) para 3 e resulta em \(n=300\) — o valor usualmente citado em sala de aula.

Abordagem 2 (Duncan, 1986): Detectar um Deslocamento com 50% de Chance

Escolha \(n\) de modo que o \(LSC\) coincida exatamente com a nova fração não conforme \(p_1 = p+\delta\) após um deslocamento de tamanho \(\delta\):

\[n = \left(\frac{L}{\delta}\right)^2 p(1-p)\]

p0 <- 0.01; delta <- 0.04; L <- 3
n_duncan <- (L/delta)^2 * p0 * (1 - p0)
cat(sprintf("n (Duncan) = %.2f -> arredondando para cima: n = %d\n", n_duncan, ceiling(n_duncan)))

n (Duncan) = 55.69 -> arredondando para cima: n = 56

Abordagem 3: Garantir um \(LIC\) Positivo

Um \(LIC>0\) funciona como um mecanismo automático de alerta de melhoria: qualquer amostra com poucos não conformes já dispara uma investigação (boa notícia) em vez de passar despercebida. Da condição \(p - L\sqrt{p(1-p)/n} > 0\):

\[n > \frac{L^2(1-p)}{p}\]

p0 <- 0.05; L <- 3
n_bruto <- L^2 * (1 - p0) / p0
n_min <- floor(n_bruto) + 1
cat(sprintf("n bruto = %.2f -> n minimo (LIC > 0) = %d\n", n_bruto, n_min))

n bruto = 171.00 -> n minimo (LIC > 0) = 171

Um deslize comum é arredondar \(171{,}0\) “para baixo” e aceitar \(n=171\) — mas, nesse valor exato, \(LIC=0\) (não positivo). O critério estrito do livro-texto exige \(n \geq 172\).

O Gráfico \(np\): Contagem em Vez de Proporção

• Equivalente ao gráfico \(p\), mas plota diretamente o número de não conformes \(D\), não a proporção \(\hat p\)
• Mais intuitivo para operadores (“12 peças ruins” é mais direto que “0,12”)
• Só é válido quando \(n\) é constante entre amostras

\[LSC = n\bar{p} + 3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})} \qquad LM = n\bar{p} \qquad LIC = n\bar{p} - 3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}\]

Construindo o Gráfico \(np\) no R (Montgomery, Exemplo 7.2)

g_np <- qcc(D_suco, type = "np", sizes = 50, plot = FALSE)
plot_carta(g_np$statistics, g_np$center, g_np$limits[1,"LCL"], g_np$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico np - Embalagens de Suco (Exemplo 7.2)", ylab = "Número de não conformes")

\(p\) ou \(np\)? Critério de Decisão

Estatisticamente são equivalentes — a escolha é puramente de comunicação e contexto operacional.

Exemplo Real: Ordens de Compra (Montgomery, Tabela 7.4)

n_var <- c(100,80,80,100,110,110,100,100,90,90,110,120,120,120,110,80,80,80,90,100,100,100,100,90,90)
D_var <- c(12,8,6,9,10,12,11,16,10,6,20,15,9,8,6,8,10,7,5,8,5,8,10,6,9)
cat(sprintf("Total de amostras: %d | Total de ordens: %d | Total não conformes: %d | p_bar = %.4f\n",
            length(D_var), sum(n_var), sum(D_var), sum(D_var)/sum(n_var)))

Total de amostras: 25 | Total de ordens: 2450 | Total não conformes: 234 | p_bar = 0.0955

Abordagem 1: Limites Variáveis no R

g_pvar <- qcc(D_var, type = "p", sizes = n_var, plot = FALSE)

df_var <- data.frame(t = seq_along(D_var),
                      phat = g_pvar$statistics,
                      lcl  = g_pvar$limits[,"LCL"],
                      ucl  = g_pvar$limits[,"UCL"])
ggplot(df_var, aes(t, phat)) +
  geom_step(aes(y = ucl), color = pal["coral"], linetype = "dashed", linewidth = .8) +
  geom_step(aes(y = lcl), color = pal["coral"], linetype = "dashed", linewidth = .8) +
  geom_hline(yintercept = g_pvar$center, color = pal["verde"], linewidth = .8) +
  geom_line(color = pal["neutro"], linewidth = .6) +
  geom_point(color = pal["azul"], size = 2.6) +
  labs(title = "Gráfico p - Ordens de Compra (limites variáveis)",
       x = "Amostra", y = "Proporção não conforme") +
  tema_cep()

A amostra 11 (\(\hat p=0{,}182\)) fica próxima do \(LSC\) aproximado, mas, contra seu \(LSC\) exato (0,180), ela sinaliza fora de controle.

Abordagem 2: Tamanho Médio Ponderado

\[\bar{n} = \frac{\sum_{i=1}^{m} n_i}{m} \qquad \bar{p} = \frac{\sum_{i=1}^{m} D_i}{\sum_{i=1}^{m} n_i}\]

n_bar <- mean(n_var)
p_bar_var <- sum(D_var) / sum(n_var)
cat(sprintf("n_bar = %.1f\np_bar = %.4f\n", n_bar, p_bar_var))

n_bar = 98.0
p_bar = 0.0955

Válido como aproximação quando os \(n_i\) não variam mais do que cerca de 25% em torno de \(\bar n\) — atenção redobrada com pontos próximos do limite aproximado.

Abordagem 3: o Gráfico \(Z\) Padronizado

\[Z_i = \frac{\hat{p}_i - \bar{p}}{\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_i}}}\]

Z <- (D_var/n_var - p_bar_var) / sqrt(p_bar_var * (1 - p_bar_var) / n_var)
cat(sprintf("Z (amostra 11) = %.2f\n", Z[11]))

Z (amostra 11) = 3.08

Gráfico \(Z\) Padronizado — Visualização

plot_carta(Z, 0, -3, 3, "Gráfico Z padronizado - Ordens de Compra", ylab = "Z")

Sempre \(LM=0\), \(LSC=+3\), \(LIC=-3\) — independentemente de quão variado seja o histórico de tamanhos de amostra.

Atributos em Serviços e Operações Financeiras

• O CEP de atributos é a ferramenta natural para processos administrativos: erros de digitação, faturas incorretas, chamadas mal atendidas
• “Não conforme” pode ser uma transação com qualquer divergência; “não conformidade” pode ser cada campo incorreto num formulário
• O tamanho amostral \(n\) costuma ser o volume diário de transações — frequentemente variável, reforçando a importância do gráfico \(Z\)

Definindo o “Defeito” em Serviços

• Diferente da manufatura, o “defeito” em serviços nem sempre é visualmente óbvio — precisa de uma definição operacional rigorosa e documentada
• Exemplo: “uma entrega é considerada não conforme se exceder 24 horas após a confirmação, sem ressalva climática ou força maior”
• Sem essa precisão, diferentes inspetores classificam o mesmo evento de formas diferentes — contaminando o próprio \(\hat p\) com variação de julgamento, não do processo

Comparando Unidades Antes de Combinar Dados

Antes de unir dados de duas agências, turnos ou equipes num único gráfico \(p\), vale testar se são estatisticamente comparáveis — usando a mesma lógica do teste de duas proporções da Aula 2:

erros <- c(12, 8); transacoes <- c(45, 40)
prop.test(x = erros, n = transacoes)$p.value

[1] 0.6404334

Diferença significativa indica que as unidades não devem ser agrupadas na mesma análise de Fase I.

Curva OC para o Gráfico \(p\) (Montgomery, Tabela 7.6)

A probabilidade de não detectar (β) um deslocamento da fração não conforme:

\[\beta = P(LIC \leq D \leq LSC \mid p_1) = \sum_{D=\lceil LIC \rceil}^{\lfloor LSC \rfloor} \binom{n}{D} p_1^D (1-p_1)^{n-D}\]

n <- 50; LSC_np <- 18; LIC_np <- 1; p1 <- 0.30
beta <- pbinom(LSC_np, n, p1) - pbinom(LIC_np - 1, n, p1)
cat(sprintf("beta = %.4f\n", beta))

beta = 0.8594

Curva OC do Gráfico \(p\) — Reproduzindo a Tabela 7.6

n <- 50; LSC_np <- 18; LIC_np <- 1
p_seq <- c(0.01,0.03,0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30,0.35,0.40,0.45,0.50,0.55)
beta_seq <- sapply(p_seq, function(p) pbinom(LSC_np, n, p) - pbinom(LIC_np - 1, n, p))
ggplot(data.frame(p = p_seq, beta = beta_seq), aes(p, beta)) +
  geom_line(color = pal["roxo"], linewidth = 1.2) +
  geom_point(color = pal["roxo"], size = 2) +
  geom_vline(xintercept = 0.20, color = pal["verde"], linetype = "dashed") +
  labs(title = "Curva OC do gráfico p (n=50, p_bar=0.20) - Figura 7.11 do livro-texto",
       x = expression(p[1]), y = expression(beta)) +
  tema_cep()

round(beta_seq, 4)

 [1] 0.3950 0.7819 0.9231 0.9948 0.9996 0.9975 0.9713 0.8594 0.6216 0.3356
[11] 0.1273 0.0325 0.0053

ARL (CMS) para Gráficos de Atributos: o Exemplo Completo do Livro

• Mesma lógica do Capítulo 6: \(\text{ARL} = 1/(1-\beta)\) fora de controle, \(\text{ARL}_0 = 1/\alpha\) sob controle
• Atributos detectam deslocamentos mais lentamente que variáveis equivalentes — cada amostra carrega menos informação

alfa <- 1 - (pbinom(18, 50, 0.20) - pbinom(0, 50, 0.20))
ARL0 <- 1/alfa
beta_03 <- pbinom(18, 50, 0.30) - pbinom(0, 50, 0.30)
ARL1 <- 1/(1 - beta_03)
cat(sprintf("alfa = %.4f -> ARL0 = %.1f amostras\nbeta(p=0.30) = %.4f -> ARL1 = %.2f amostras\n",
            alfa, ARL0, beta_03, ARL1))

alfa = 0.0025 -> ARL0 = 396.0 amostras
beta(p=0.30) = 0.8594 -> ARL1 = 7.11 amostras

Sob controle (\(p=\bar p=0{,}20\)), um falso alarme ocorre a cada 370 amostras, em média — o “\(1/\alpha \approx 370\)” característico de qualquer gráfico de Shewhart \(3\sigma\). Após o deslocamento para \(p=0{,}30\), são necessárias, em média, ~7 amostras para detectá-lo. Se isso for lento demais, as alternativas do livro são: aumentar \(n\), amostrar com mais frequência, ou trocar para um gráfico CUSUM/MMEP (Capítulo 9).

O Efeito de \(n\) na Detecção: Atributos vs. Variáveis

• Para detectar o mesmo deslocamento relativo, um gráfico de atributos tipicamente precisa de \(n\) uma ordem de grandeza maior que um gráfico de variáveis equivalente
• Isso não é uma falha do gráfico de atributos — é uma consequência matemática de se trabalhar com informação binária (0/1) em vez de uma medida contínua
• A decisão entre os dois tipos de gráfico envolve esse trade-off: custo de medição vs. velocidade de detecção

Quando o Custo de \(n\) Maior Vale a Pena

• Em processos de altíssimo volume (ex.: linhas automatizadas, transações bancárias), aumentar \(n\) tem custo marginal próximo de zero — o gráfico de atributos se torna competitivo mesmo com sua menor eficiência estatística
• Em processos de baixo volume e alto custo de inspeção, a ineficiência do atributo pesa mais — vale investir em medição numérica sempre que possível

Base Poisson do Gráfico \(c\)

Quando o interesse é o número de não conformidades (não unidades) por unidade de inspeção, e há infinitas oportunidades de defeito com probabilidade pequena e constante por oportunidade — a mesma distribuição de Poisson detalhada na Aula 2:

\[X \sim \text{Poisson}(c) \qquad E(X) = \text{Var}(X) = c\]

• A unidade de inspeção pode ser uma única peça, ou um grupo fixo (ex.: 100 placas), desde que a “área de oportunidade” seja constante entre amostras

A Mecânica do Gráfico \(c\)

\[LSC = \bar{c} + 3\sqrt{\bar{c}} \qquad LM = \bar{c} \qquad LIC = \bar{c} - 3\sqrt{\bar{c}}\ (\text{truncado em } 0)\]

• O desvio-padrão é \(\sqrt{\bar c}\), consequência direta da propriedade Var(X) = E(X) da Poisson

Estimando a Contagem Global \(\bar{c}\)

\[\bar{c} = \frac{\sum c_i}{m}\]

• Estimada a partir de \(m\) unidades de inspeção coletadas na Fase I, da mesma forma que \(\bar p\) no gráfico de fração

Exemplo Real: Placas de Circuito Impresso (Montgomery, Exemplo 7.3)

defeitos_pci <- c(21,24,16,12,15,5,28,20,31,25,20,24,16,19,10,17,
                   13,22,18,39,30,24,16,19,17,15)
cat(sprintf("Total de amostras: %d\nTotal de não conformidades: %d\n",
            length(defeitos_pci), sum(defeitos_pci)))

Total de amostras: 26
Total de não conformidades: 516

PCI — Estimando \(\bar{c}\) e os Limites Tentativos

g_pci <- qcc(defeitos_pci, type = "c", plot = FALSE)
plot_carta(g_pci$statistics, g_pci$center, g_pci$limits[1,"LCL"], g_pci$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico c - Placas de Circuito Impresso (Fase I)", ylab = "Não conformidades")

cat(sprintf("c_bar = %.3f | LIC = %.3f | LSC = %.3f\n",
            g_pci$center, g_pci$limits[1,"LCL"], g_pci$limits[1,"UCL"]))

c_bar = 19.846 | LIC = 6.481 | LSC = 33.211

PCI — Investigando os Pontos Fora de Controle

• A amostra 6 (5 defeitos) está abaixo do \(LIC\): o livro atribui isso a um novo inspetor que não reconhecia todos os tipos de não conformidade — um problema de medição, não de processo
• A amostra 20 (39 defeitos) excede o \(LSC\): atribuída a um problema de controle de temperatura na máquina de solda
• Ambas têm causa atribuível identificada e documentada — por isso podem ser removidas e os limites recalculados

which(defeitos_pci < g_pci$limits[1,"LCL"] | defeitos_pci > g_pci$limits[1,"UCL"])

[1]  6 20

PCI — Limites Revisados Após a Depuração

defeitos_revisado <- defeitos_pci[-c(6, 20)]
g_pci_rev <- qcc(defeitos_revisado, type = "c", plot = FALSE)
plot_carta(g_pci_rev$statistics, g_pci_rev$center,
           g_pci_rev$limits[1,"LCL"], g_pci_rev$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico c - PCI (limites revisados, 24 amostras)", ylab = "Não conformidades")

cat(sprintf("c_bar revisado = %.3f | LIC = %.3f | LSC = %.3f\n",
            g_pci_rev$center, g_pci_rev$limits[1,"LCL"], g_pci_rev$limits[1,"UCL"]))

c_bar revisado = 19.667 | LIC = 6.363 | LSC = 32.971

Curva OC do Gráfico \(c\) (Montgomery, Tabela 7.13 e Figura 7.19)

\[\beta = P(LIC \leq X \leq LSC \mid c_1) = \sum_{X=\lceil LIC\rceil}^{\lfloor LSC\rfloor} \frac{e^{-c_1}c_1^X}{X!}\]

Curva OC do Gráfico \(c\) (Montgomery, Tabela 7.13 e Figura 7.19)

c0 <- 19.85; LIC_c <- 6.48; LSC_c <- 33.22
c1_seq <- c(1,3,5,7,10,15,20,25,30,33,35,40,45)
beta_c <- sapply(c1_seq, function(c1) ppois(floor(LSC_c), c1) - ppois(ceiling(LIC_c) - 1, c1))
ggplot(data.frame(c1 = c1_seq, beta = beta_c), aes(c1, beta)) +
  geom_line(color = pal["roxo"], linewidth = 1.2) +
  geom_point(color = pal["roxo"], size = 2) +
  geom_vline(xintercept = c0, color = pal["verde"], linetype = "dashed") +
  labs(title = "Curva OC do gráfico c (PCI, limites tentativos - Figura 7.19)",
       x = expression(c[1]), y = expression(beta)) +
  tema_cep()

round(beta_c, 3)

 [1] 0.000 0.034 0.238 0.550 0.870 0.992 0.997 0.950 0.744 0.546 0.410 0.151
[13] 0.038

Quando os Limites \(3\sigma\) Falham no Gráfico \(c\)

• Quando a taxa de defeitos cai abaixo de cerca de 1.000 ocorrências por milhão (ppm), os gráficos \(c\) e \(u\) convencionais perdem utilidade
• Mesmo antes desse extremo, quando \(\bar c\) é pequeno, a Poisson é visivelmente assimétrica — a aproximação Normal usada em \(\pm 3\sigma\) subestima a cauda direita e pode gerar \(LIC\) artificialmente alto
• Solução intermediária: usar limites de probabilidade exatos, baseados nos quantis da própria Poisson, em vez do atalho \(\pm 3\sigma\)

Limites Exatos via Poisson no R

c_bar <- 2; alfa <- 0.0027
LSC_exato <- qpois(1 - alfa/2, c_bar)
LIC_exato <- qpois(alfa/2, c_bar)
LSC_normal <- c_bar + 3*sqrt(c_bar)
cat(sprintf("Limite exato (Poisson): LIC=%d, LSC=%d\nLimite aproximado (Normal): LIC=%.2f, LSC=%.2f\n",
            LIC_exato, LSC_exato, max(0,c_bar-3*sqrt(c_bar)), LSC_normal))

Limite exato (Poisson): LIC=0, LSC=7
Limite aproximado (Normal): LIC=0.00, LSC=6.24

Quando a Taxa Cai Ainda Mais: o Limite do Próprio Gráfico \(c\)

• Mesmo com limites exatos, há um ponto em que o gráfico \(c\) deixa de ser informativo: quando a maioria das amostras tem zero defeitos
• Um gráfico que mostra zero repetidamente não diferencia “processo excelente” de “processo em deterioração lenta”
• A solução nesse regime não é ajustar os limites — é trocar a variável monitorada inteiramente, como veremos na seção de TBE

O Diagrama de Pareto como Ferramenta Complementar

• Quando um gráfico \(c\) ou \(u\) sinaliza fora de controle, o próximo passo é perguntar qual tipo de não conformidade dominou
• O Princípio de Pareto (poucos tipos respondem pela maioria dos defeitos) orienta onde investir o esforço de melhoria

Pareto de Causas no R com ggplot2

tipos <- data.frame(
  defeito = c("Solda fria","Componente ausente","Trilha rompida","Outros"),
  freq    = c(45, 28, 12, 8)
)
tipos <- tipos[order(-tipos$freq), ]
tipos$defeito <- factor(tipos$defeito, levels = tipos$defeito)
ggplot(tipos, aes(defeito, freq)) +
  geom_col(fill = pal["ambar"]) +
  labs(title = "Diagrama de Pareto - Tipos de Não Conformidade em PCI",
       x = "", y = "Frequência") +
  tema_cep() + theme(axis.text.x = element_text(angle = 20, hjust = 1))

Áreas Instáveis: a Motivação do Gráfico \(u\)

• Se a área ou volume inspecionado varia a cada amostra (metros de cabo, m² de tecido, número de transações), o gráfico \(c\) infla artificialmente com o tamanho da oportunidade
• É necessário normalizar a contagem pela área exposta, criando uma densidade de defeitos

A Métrica \(u\) de Densidade

\[u = \frac{c}{n} \qquad \bar{u} = \frac{\sum c_i}{\sum n_i}\]

\[LSC_u = \bar{u} + 3\sqrt{\frac{\bar{u}}{n}} \qquad LIC_u = \bar{u} - 3\sqrt{\frac{\bar{u}}{n}}\]

• O denominador \(n\) aparece dentro da raiz — exatamente como no gráfico \(p\) — amostras maiores produzem faixas mais estreitas

Exemplo Real: Erros em Embarques (Montgomery, Exemplo 7.4)

x_emb <- c(2,3,8,1,1,4,1,4,5,1,8,2,4,3,4,1,8,3,7,4)
cat(sprintf("Total de semanas: %d | Total de erros: %d | u_bar = %.4f\n",
            length(x_emb), sum(x_emb), sum(x_emb)/(20*50)))

Total de semanas: 20 | Total de erros: 74 | u_bar = 0.0740

Construindo o Gráfico u no R (n constante)

g_u <- qcc(x_emb, type = "u", sizes = 50, plot = FALSE)
plot_carta(g_u$statistics, g_u$center, max(0, g_u$limits[1,"LCL"]), g_u$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico u - Erros em Embarques (Exemplo 7.4)", ylab = "Erros por embarque")

cat(sprintf("u_bar = %.4f | LIC = %.4f (truncado em 0) | LSC = %.4f\n",
            g_u$center, g_u$limits[1,"LCL"], g_u$limits[1,"UCL"]))

u_bar = 0.0740 | LIC = 0.0000 (truncado em 0) | LSC = 0.1894

Os dados preliminares não indicam falta de controle — esses limites tentativos seriam adotados diretamente para a Fase II. Mas note: mesmo “sob controle”, a taxa média de quase 1 erro a cada 13 embarques (\(\bar u=0{,}074\)) é alta — o gráfico confirma estabilidade, não qualidade aceitável.

Exemplo Real: Tecido Tingido com Amostra Variável (Montgomery, Exemplo 7.5)

n_tecido <- c(10.0,8.0,13.0,10.0,9.5,10.0,12.0,10.5,12.0,12.5)
x_tecido <- c(14,12,20,11,7,10,21,16,19,23)
u_bar_tecido <- sum(x_tecido)/sum(n_tecido)
cat(sprintf("Total de não conformidades: %d | Total de unidades de inspecao: %.1f | u_bar = %.4f\n",
            sum(x_tecido), sum(n_tecido), u_bar_tecido))

Total de não conformidades: 153 | Total de unidades de inspecao: 107.5 | u_bar = 1.4233

Gráfico \(u\) com Tamanho Variável no R

g_ut <- qcc(x_tecido, type = "u", sizes = n_tecido, plot = FALSE)
df_u <- data.frame(t = seq_along(x_tecido),
                    u = g_ut$statistics,
                    lcl = g_ut$limits[,"LCL"], ucl = g_ut$limits[,"UCL"])
ggplot(df_u, aes(t, u)) +
  geom_step(aes(y = ucl), color = pal["coral"], linetype = "dashed") +
  geom_step(aes(y = lcl), color = pal["coral"], linetype = "dashed") +
  geom_hline(yintercept = g_ut$center, color = pal["verde"]) +
  geom_line(color = pal["neutro"], linewidth = .6) + geom_point(color = pal["azul"], size = 2.6) +
  labs(title = "Gráfico u - Tecido Tingido (Exemplo 7.5, n_i variável)",
       x = "Número do rolo", y = "Não conformidades por unidade") +
  tema_cep()

Compare com a Tabela 7.12 do livro-texto: para o rolo 1 (\(n_1=10\)), \(LSC \approx 2{,}55\); para o rolo 3 (\(n_3=13\), o maior rolo), \(LSC\approx 2{,}41\) — os limites se estreitam conforme \(n_i\) cresce, exatamente como esperado.

O Gráfico \(u\) Padronizado (\(Z\)) — Exemplo 7.5

Z_u <- (x_tecido/n_tecido - u_bar_tecido) / sqrt(u_bar_tecido / n_tecido)
plot_carta(Z_u, 0, -3, 3, "Gráfico u Padronizado - Tecido Tingido (Figura 7.18)", ylab = "Z")

Esse é o gráfico recomendado para tamanho de amostra variável: testes de sequência podem ser aplicados com segurança, pois todas as mudanças relativas estão na mesma unidade de medida (\(\sigma\)).

A Unidade de Inspeção: Esclarecendo um Ponto Sutil

• A unidade de inspeção não precisa ser uma peça física isolada — pode ser qualquer área de oportunidade fixa definida por conveniência
• No Exemplo das placas de circuito impresso, a unidade de inspeção foi definida como 100 placas, não uma placa
• Ao comparar \(\bar c\) entre processos diferentes, é essencial confirmar que a definição de unidade de inspeção é a mesma — ou normalizar via gráfico \(u\)

\(c\) vs. \(u\): Quando Usar Cada Um

Binomial (Gráfico \(p\)) vs. Poisson (Gráfico \(c\))

Os dois exemplos reais do capítulo têm parâmetros bem distintos: \(D \sim \text{Binomial}(50, 0{,}23)\) (embalagens de suco, Exemplo 7.1) e \(X \sim \text{Poisson}(19{,}85)\) (placas de circuito, Exemplo 7.3). Nenhuma das duas é simétrica, mas por razões diferentes.

# Parametros dos exemplos reais do livro-texto
df_bin  <- data.frame(x = 0:40,
                       prob = dbinom(0:40, size=50, prob=0.2313),
                       dist = "Binomial(50, 0.23) — Exemplo 7.1 (suco)")
df_pois <- data.frame(x = 0:40,
                       prob = dpois(0:40, lambda=19.85),
                       dist = "Poisson(19.85) — Exemplo 7.3 (PCI)")
df_all <- rbind(df_bin, df_pois)
ggplot(df_all, aes(x, prob, color = dist, group = dist)) +
  geom_line(linewidth = 1.1) +
  geom_point(size = 1.2, alpha = .7) +
  scale_color_manual(values = c(unname(pal["azul"]), unname(pal["ambar"]))) +
  labs(title = "Distribuições reais dos dois exemplos principais do Cap. 7",
       x = "x", y = "P(X=x)", color = "") +
  tema_cep()

Sistemas de Demérito: Combinando Severidades

• Em muitos processos, nem toda não conformidade tem o mesmo impacto — um arranhão estético não é igual a uma falha funcional
• O sistema de demérito pondera cada classe de defeito por sua gravidade antes de somar

\[U_i = w_A\,c_{Ai} + w_B\,c_{Bi} + w_C\,c_{Ci} + w_D\,c_{Di}\]

• Classes típicas (Western Electric): A = muito grave (\(w_A=100\)), B = grave (\(w_B=50\)), C = moderada (\(w_C=10\)), D = leve (\(w_D=1\))

Variância do Índice de Demérito

Assumindo independência entre as contagens de cada classe (cada uma Poisson com sua própria taxa):

\[\text{Var}(U_i) = w_A^2\,c_A + w_B^2\,c_B + w_C^2\,c_C + w_D^2\,c_D\]

\[LSC = \bar{U} + 3\sqrt{\text{Var}(U)} \qquad LIC = \bar{U} - 3\sqrt{\text{Var}(U)}\]

Sistema de Demérito no R

w <- c(A = 100, B = 50, C = 10, D = 1)
cA <- 0.2; cB <- 0.5; cC <- 2; cD <- 5
U_bar <- sum(w * c(cA, cB, cC, cD))
var_U <- sum(w^2 * c(cA, cB, cC, cD))
cat(sprintf("U_bar = %.2f\nVar(U) = %.2f\nLSC = %.2f\nLIC = %.2f\n",
            U_bar, var_U, U_bar + 3*sqrt(var_U), max(0, U_bar - 3*sqrt(var_U))))

U_bar = 70.00
Var(U) = 3455.00
LSC = 246.34
LIC = 0.00

Demérito Aplicado a Serviços de Saúde

• Um hospital pode aplicar o mesmo princípio a eventos de segurança do paciente: erro de medicação grave (\(w=100\)), quase-erro com dano leve (\(w=20\)), desvio de protocolo sem dano (\(w=2\))
• O índice de demérito agregado por unidade-tempo (ex.: por mês) se torna um indicador único para a diretoria, sem perder a granularidade interna por tipo de evento
• Cuidado: a escolha dos pesos é uma decisão de gestão de risco, não puramente estatística — deve envolver especialistas da área

Demérito: Vantagens e Limitações

• Vantagem: um único índice resume múltiplas classes de severidade, facilitando o reporte executivo
• Limitação: se um único defeito de classe A dominar o índice, melhorias em defeitos de classe C/D ficam invisíveis no gráfico agregado
• Boa prática: manter os gráficos \(c\)/\(u\) individuais por classe disponíveis como detalhamento, mesmo reportando o índice \(U\) agregado para a gestão

O Desafio dos “Zero Defeitos”

• Processos modernos de altíssima qualidade reduzem \(\bar c\) a valores muito próximos de zero
• Com \(\bar c\) tão pequeno, gráficos \(c\) e \(u\) geram alarmes falsos excessivos — não há “espaço” suficiente para distinguir ruído de sinal

A Inversão Tática: do “O Quê” para o “Quando”

• Em vez de contar defeitos por unidade, mede-se o tempo (ou volume de produção) entre eventos raros
• Para contagem de unidades boas até a próxima falha, usa-se a distribuição Geométrica (gráficos \(g\)/\(h\))
• Para tempo contínuo até a falha, usa-se a distribuição Exponencial — a mesma relação Poisson-Exponencial que já vimos na Aula 2, agora aplicada à construção de uma carta de controle

TBE: Tempo Entre Eventos

set.seed(21)
tbe <- rexp(200, rate = 0.5)
ggplot(data.frame(tbe = tbe), aes(tbe)) +
  geom_histogram(bins = 30, fill = pal["ambar"], color = pal["neutro"], alpha = .85) +
  labs(title = "Tempo entre não conformidades ~ Exponencial(0.5)",
       x = "Tempo entre eventos", y = "Frequência") +
  tema_cep()

A Exponencial é fortemente assimétrica — gráficos de Shewhart tradicionais (que assumem Normalidade) não se aplicam diretamente sobre o tempo bruto.

A Transformação de Nelson

Nelson (1994) mostrou que elevar dados exponenciais à potência \(0{,}2777\) (aproximadamente \(1/3{,}6\)) produz uma distribuição aproximadamente Normal, viabilizando o uso de um gráfico I-MR convencional:

\[x_i = y_i^{0{,}2777}\]

y <- tbe^0.2777
shapiro.test(y)$p.value

[1] 0.07615023

Exemplo Real: Falhas de uma Válvula (Montgomery, Exemplo 7.6)

tempo_falhas <- c(286,948,536,124,816,729,4,143,431,8,
                   2837,596,81,227,603,492,1199,1214,2831,96)
x_transf <- tempo_falhas^0.2777
shapiro.test(x_transf)$p.value

[1] 0.7665814

O tempo bruto entre falhas é fortemente assimétrico; a variável transformada passa no teste de normalidade, validando o uso de I-MR a seguir.

Gráfico I-MR sobre o TBE Transformado (Dados Reais)

g_tbe <- qcc(x_transf, type = "xbar.one", plot = FALSE)
plot_carta(g_tbe$statistics, g_tbe$center, g_tbe$limits[1,"LCL"], g_tbe$limits[1,"UCL"],
           "I-MR - Falhas de Válvula (TBE transformado, Exemplo 7.6)", ylab = "x = TBE^0.2777")

O processo aparenta estar sob controle: o mecanismo de falha da válvula é estável. Uma melhoria na manutenção deveria deslocar pontos para acima do LSC (tempos entre falhas maiores).

Gráficos \(g\) e \(h\): a Versão Discreta do TBE

• Quando o interesse é contar o número de unidades conformes entre duas não conformes (em vez do tempo), usa-se a distribuição Geométrica

\[P(X=x) = p(1-p)^x \qquad E(X) = \frac{1-p}{p} \qquad \text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\]

• O gráfico \(g\) monitora essa contagem; o gráfico \(h\) é sua versão acumulada — ambos são extensões naturais do gráfico \(c\) para o regime de baixíssima taxa de defeitos

TBE: Cuidados de Interpretação

• Um ponto acima do \(LSC\) no gráfico TBE transformado é bom (intervalo maior entre falhas) — o oposto da leitura usual de “fora de controle é ruim”
• Por isso TBE exige mais treinamento dos operadores antes de ser implantado — a leitura intuitiva do gráfico se inverte em relação aos gráficos \(c\)/\(u\) convencionais

Atributos vs. Variáveis: Trade-offs

• Na prática, muitos processos combinam os dois: variáveis para características críticas, atributos para triagem ampla

Dimensionando Subgrupos em Atributos

• Quanto maior \(n\), mais estável \(\hat p\) e mais sensível o gráfico — mas também mais caro e mais lento
• Regra prática informal: escolher \(n\) tal que \(n\bar p \geq 5\) (para a aproximação Normal funcionar razoavelmente)

p_bar_alvo <- 0.01
n_min <- ceiling(5 / p_bar_alvo)
cat(sprintf("n minimo recomendado para p_bar=%.3f: %d\n", p_bar_alvo, n_min))

n minimo recomendado para p_bar=0.010: 500

Atributos sem Medição Física Direta

• Nem todo atributo vem de um sensor: avaliação de satisfação do cliente (satisfeito/insatisfeito), conformidade documental, aprovação em auditoria
• O desafio nesses casos é garantir critério de classificação consistente entre diferentes inspetores — sem isso, a “não conformidade” mistura variação real do processo com variação do julgamento humano
• Estudos de R&R para atributos (ex.: índice Kappa) são o complemento natural do CEP de atributos nesse cenário

Padrões Mistos e Estratificação em Atributos

• Um gráfico \(p\) ou \(c\) “bem comportado” pode ainda esconder um padrão de mistura: dois turnos, duas máquinas ou dois fornecedores com taxas diferentes, combinados na mesma amostra
• Sintoma típico: poucos ou nenhum ponto perto da linha central, a maioria oscilando perto dos limites
• Solução: estratificar o gráfico — um gráfico separado por turno/máquina/fornecedor revela o que o gráfico agregado escondia

Diretrizes de Implementação: Onde Aplicar os Gráficos

Montgomery resume cinco decisões centrais de qualquer programa de CEP: quais características controlar, onde no processo posicionar os gráficos, qual tipo de gráfico escolher, que ações corretivas tomar, e quais sistemas de coleta/computação usar.

• No início de um programa, é normal aplicar mais gráficos do que o necessário — eles mesmos revelam quais são realmente úteis
• Com a maturidade do processo, gráficos de atributos (perto do fim da linha) tendem a ser substituídos por gráficos de variáveis aplicados mais cedo, sobre as causas-raiz

Diretrizes de Implementação: Qual Tipo de Gráfico Escolher

Considere atributos quando: a qualidade só pode ser expressa como conformidade/contagem, é necessário um resumo histórico para a gerência, ou medidas numéricas simplesmente não estão disponíveis.

Mas lembre-se: gráficos de atributos são, em geral, estatisticamente inferiores aos gráficos de variáveis equivalentes — use-os quando a medição numérica não for viável, não por padrão.

O Plano de Ação para Fora de Controle (PAFC)

• Um gráfico de controle sem um plano de ação documentado é apenas decoração de parede
• O PAFC define, antecipadamente: quem é notificado, quais verificações imediatas são feitas, quando a produção é interrompida, e como a causa é documentada
• Operadores e engenharia devem manter o PAFC atualizado — ele é tão parte do gráfico de controle quanto os próprios limites \(LSC\)/\(LIC\)

O Papel do CEP de Atributos no Ciclo DMAIC

• Medir: construir os gráficos \(p\)/\(np\)/\(c\)/\(u\) a partir de dados históricos
• Analisar: Pareto, Ishikawa, segmentação por turno/máquina/operador
• Melhorar: ação corretiva sobre as causas atribuíveis identificadas na Fase I
• Controlar: os limites revisados tornam-se a referência para o monitoramento contínuo (Fase II)

Cautela com Regras Sensibilizantes em Atributos

• As regras WECO (zonas \(1\sigma\)/\(2\sigma\)/\(3\sigma\)) foram derivadas sob a suposição de Normalidade e simetria
• Distribuições Binomial e Poisson com \(\bar p\) ou \(\bar c\) pequenos são assimétricas — aplicar zonas WECO ingenuamente nesses gráficos pode gerar excesso de falsos alarmes no lado mais “apertado” da distribuição
• Recomendação: usar regras sensibilizantes com mais parcimônia em atributos do que em variáveis, e preferir limites exatos quando \(\bar p\) ou \(\bar c\) forem pequenos

Síntese: Escolha do Gráfico de Controle Adequado

Exercício 7.9 — Gráfico \(p\) para Montagens (Montgomery)

D_montagem <- c(7,4,1,3,6,8,10,5,2,7,6,15,0,9,5,1,4,5,7,12)
g_m <- qcc(D_montagem, type = "p", sizes = 100, plot = FALSE)
plot_carta(g_m$statistics, g_m$center, g_m$limits[1,"LCL"], g_m$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico p - Montagens (Exercício 7.9, fase tentativa)", ylab = "Proporção não conforme")

cat(sprintf("p_bar = %.4f | LIC = %.4f | LSC = %.4f\n",
            g_m$center, g_m$limits[1,"LCL"],
            g_m$limits[1,"UCL"]))

p_bar = 0.0585 | LIC = 0.0000 | LSC = 0.1289

which(D_montagem/100 > g_m$limits[1,"UCL"] | D_montagem/100 < g_m$limits[1,"LCL"])

[1] 12

Exercício 7.9 — Limites Revisados

# Amostra 12 acima do LSC; supondo causa atribuível identificada
D_mont_rev <- D_montagem[-12]
g_mr <- qcc(D_mont_rev, type = "p", sizes = 100, plot = FALSE)
plot_carta(g_mr$statistics, g_mr$center, g_mr$limits[1,"LCL"], g_mr$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico p - Montagens (limites revisados, 19 amostras)", ylab = "Proporção não conforme")

cat(sprintf("p_bar revisado = %.4f | LIC = %.4f | LSC = %.4f\n",
            g_mr$center, g_mr$limits[1,"LCL"], g_mr$limits[1,"UCL"]))

p_bar revisado = 0.0537 | LIC = 0.0000 | LSC = 0.1213

Exercício 7.12 — Aros de Roda de Titânio (Partes a e b)

D_aro <- c(3,2,4,2,5,2,1,2,0,5,2,4,1,3,6,0,1,2,3,2)
n_aro <- 150; m_aro <- 20
p_aro <- sum(D_aro)/(m_aro * n_aro)
sigma_aro <- sqrt(p_aro*(1-p_aro)/n_aro)
LSC_aro <- p_aro + 3*sigma_aro; LIC_aro <- max(0, p_aro - 3*sigma_aro)
cat(sprintf("(a) p_bar = %.4f | LIC = %.4f | LSC = %.4f\n", p_aro, LIC_aro, LSC_aro))

(a) p_bar = 0.0167 | LIC = 0.0000 | LSC = 0.0480

n_min_aro <- floor(9*(1-p_aro)/p_aro) + 1
cat(sprintf("(b) n minimo para LIC > 0 (L=3): %d\n", n_min_aro))

(b) n minimo para LIC > 0 (L=3): 532

(b) O resultado bruto é \(9(1-\bar p)/\bar p \approx 531\) — portanto \(n \geq 532\) é o menor tamanho que garante \(LIC>0\) para esse processo.

Exercício 7.12 — Parte d: Probabilidade de Detecção

# Limites em unidades de D (inteiros)
LSC_np_aro <- floor(n_aro * LSC_aro); LIC_np_aro <- ceiling(n_aro * LIC_aro)
p1_aro <- 0.03
beta_aro <- pbinom(LSC_np_aro, n_aro, p1_aro) - pbinom(max(0, LIC_np_aro - 1), n_aro, p1_aro)
cat(sprintf("LSC_np = %d | beta(1 amostra) = %.4f | P(detectar na 1a) = %.4f\n",
            LSC_np_aro, beta_aro, 1 - beta_aro))

LSC_np = 7 | beta(1 amostra) = 0.9062 | P(detectar na 1a) = 0.0938

cat(sprintf("P(detectar ate a 3a amostra apos mudanca) = %.4f\n", 1 - beta_aro^3))

P(detectar ate a 3a amostra apos mudanca) = 0.2559

Exercício 7.48 — Gráfico \(c\) para Placas de Aço

x_aco <- c(1,0,4,3,1,2,5,0,2,1,1,0,8,0,2,1,3,5,4,6,3,1,0,2,4)
g_aco <- qcc(x_aco, type = "c", plot = FALSE)
plot_carta(g_aco$statistics, g_aco$center, g_aco$limits[1,"LCL"], g_aco$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico c - Defeitos de Superfície em Placas de Aço (Ex. 7.48)", ylab = "Não conformidades")

Exercício 7.48 — Gráfico \(c\) para Placas de Aço

cat(sprintf("c_bar = %.3f | LIC = %.3f | LSC = %.3f\n",
            g_aco$center, g_aco$limits[1,"LCL"], g_aco$limits[1,"UCL"]))

c_bar = 2.360 | LIC = 0.000 | LSC = 6.969

which(x_aco > g_aco$limits[1,"UCL"])

[1] 13

A amostra 13 (8 defeitos) excede o \(LSC \approx 6{,}97\). Se uma causa atribuível for identificada, ela deve ser removida e os limites recalculados.

Exercício 7.49 — Gráfico \(u\) para Rolos de Papel

Exercício 7.49 — Gráfico \(u\) para Rolos de Papel

n_papel <- c(18,18,24,22,22,22,20,20,20,20,18,18,18,20,20,20,24,24,22,21)
x_papel <- c(12,14,20,18,15,12,11,15,12,10,18,14,9,10,14,13,16,18,20,17)
g_papel <- qcc(x_papel, type = "u", sizes = n_papel, plot = FALSE)
df_papel <- data.frame(t = seq_along(x_papel), u = g_papel$statistics,
                        lcl = g_papel$limits[,"LCL"], ucl = g_papel$limits[,"UCL"])
ggplot(df_papel, aes(t, u)) +
  geom_step(aes(y = ucl), color = pal["coral"], linetype = "dashed") +
  geom_step(aes(y = lcl), color = pal["coral"], linetype = "dashed") +
  geom_hline(yintercept = g_papel$center, color = pal["verde"]) +
  geom_line(color = pal["neutro"], linewidth = .6) +
  geom_point(color = pal["azul"], size = 2.6) +
  labs(title = "Gráfico u - Imperfeições em Rolos de Papel (Ex. 7.49)",
       x = "Dia", y = "Imperfeições por rolo") +
  tema_cep()

cat(sprintf("u_bar = %.4f | Sem pontos fora de controle.\n", g_papel$center))

u_bar = 0.7007 | Sem pontos fora de controle.

Nenhum ponto fora de controle. Os limites estimados (\(\bar u \approx 0{,}70\) imperfeições por rolo) são recomendados para monitorar a produção corrente.

Exercício 7.53 — Gráfico \(c\) para Cabos de Telefone

x_cabo <- c(1,1,3,7,8,10,5,13,0,19,24,6,9,11,15,8,3,6,7,4,9,20)
g_cabo <- qcc(x_cabo, type = "c", plot = FALSE)
plot_carta(g_cabo$statistics, g_cabo$center, g_cabo$limits[1,"LCL"], g_cabo$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico c - Não conformidades em Cabos de Telefone (Ex. 7.53)", ylab = "c")

cat(sprintf("c_bar = %.3f | LSC = %.3f | Amostras fora: %s\n",
            g_cabo$center, g_cabo$limits[1,"UCL"],
            paste(which(x_cabo > g_cabo$limits[1,"UCL"]), collapse=",")))

c_bar = 8.591 | LSC = 17.384 | Amostras fora: 10,11,22

Exercício 7.53 — Limites Revisados

# Amostras 10, 11 e 22 acima do LSC; supondo causas identificáveis
x_cabo_rev <- x_cabo[-c(10,11,22)]
g_cabo_rev <- qcc(x_cabo_rev, type = "c", plot = FALSE)
plot_carta(g_cabo_rev$statistics, g_cabo_rev$center,
           g_cabo_rev$limits[1,"LCL"], g_cabo_rev$limits[1,"UCL"],
           "Gráfico c - Cabos de Telefone (limites revisados, 19 amostras)", ylab = "c")

cat(sprintf("c_bar revisado = %.3f | LIC = %.3f | LSC = %.3f\n",
            g_cabo_rev$center, g_cabo_rev$limits[1,"LCL"], g_cabo_rev$limits[1,"UCL"]))

c_bar revisado = 6.632 | LIC = 0.000 | LSC = 14.357

Exercício: Probabilidade de Detecção

\(p_0=0{,}02 \to p_1=0{,}04\)

Exercício: Probabilidade de Detecção

\(p_0=0{,}02 \to p_1=0{,}04\)

p0 <- 0.02; n <- 50
LSC_det <- p0 + 3*sqrt(p0*(1-p0)/n); LIC_det <- max(0, p0 - 3*sqrt(p0*(1-p0)/n))
# Converter para inteiros de D
LSC_np_det <- floor(n * LSC_det)
p1 <- 0.04
beta_det <- pbinom(LSC_np_det, n, p1) - pbinom(0, n, p1)
cat(sprintf("LSC = %.4f -> LSC_np = %d\n", LSC_det, LSC_np_det))

LSC = 0.0794 -> LSC_np = 3

cat(sprintf("beta (1a amostra) = %.4f | P(detectar na 1a) = %.4f\n",
            beta_det, 1 - beta_det))

beta (1a amostra) = 0.7310 | P(detectar na 1a) = 0.2690

cat(sprintf("P(detectar ate 3a amostra) = %.4f\n", 1 - beta_det^3))

P(detectar ate 3a amostra) = 0.6094

Exercício: Limites de Probabilidade vs. \(3\sigma\) para Gráfico \(c\)

Exercício: Limites de Probabilidade vs. \(3\sigma\) para Gráfico \(c\)

c_bar_ex <- 16
# Limites 3-sigma
LSC_3s <- c_bar_ex + 3*sqrt(c_bar_ex); LIC_3s <- max(0, c_bar_ex - 3*sqrt(c_bar_ex))
# Limites de probabilidade exatos (quantis da Poisson)
LSC_prob <- qpois(0.999, c_bar_ex)
LIC_prob <- qpois(0.001, c_bar_ex)
cat(sprintf("Limites 3-sigma:      LIC = %.1f  LSC = %.1f\n", LIC_3s, LSC_3s))

Limites 3-sigma:      LIC = 4.0  LSC = 28.0

cat(sprintf("Limites prob (0.999): LIC = %d     LSC = %d\n", as.integer(LIC_prob), as.integer(LSC_prob)))

Limites prob (0.999): LIC = 5     LSC = 30

# Verificar probabilidades reais
alfa_3s <- 1 - (ppois(floor(LSC_3s), c_bar_ex) - ppois(ceiling(LIC_3s) - 1, c_bar_ex))
alfa_prob <- 1 - (ppois(LSC_prob, c_bar_ex) - ppois(LIC_prob - 1, c_bar_ex))
cat(sprintf("alfa (3-sigma)  = %.5f\nalfa (prob lim) = %.5f\n", alfa_3s, alfa_prob))

alfa (3-sigma)  = 0.00228
alfa (prob lim) = 0.00097

Os limites de probabilidade são mais estreitos que os \(3\sigma\) quando a Poisson é assimétrica (\(\bar c\) moderado) — resultando em risco \(\alpha\) genuinamente próximo de 0,002 em vez do usual 0,0027.

Resumo de Fórmulas — Capítulo 7

• Em todos os casos: se o cálculo do \(LIC\) resultar em valor negativo, define-se \(LIC=0\)

Glossário Rápido de Siglas

Conclusão

• Gráficos \(p\)/\(np\) (base Binomial) e \(c\)/\(u\) (base Poisson) cobrem, juntos, praticamente todo cenário de monitoramento discreto
• A Fase I depura o histórico com o mesmo rigor visto no Capítulo 6: nenhum subgrupo é removido sem causa documentada
• Quando a taxa de defeitos se aproxima de zero, o TBE com a transformação de Nelson mantém o CEP informativo
• A escolha entre atributos e variáveis é uma decisão de custo, disponibilidade de medição e sensibilidade requerida — não uma preferência arbitrária

Referências

• Montgomery, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 7ª ed. LTC, 2017. Cap. 7.
• Duncan, A. J. Quality Control and Industrial Statistics. 5ª ed. Homewood, IL: Richard D. Irwin, 1986. (Critério de dimensionamento de \(n\) para o gráfico \(p\).)
• Western Electric. Statistical Quality Control Handbook. Western Electric Co., 1956.
• Nelson, L. S. “A Control Chart for Parts-Per-Million Nonconforming Items.” Journal of Quality Technology, 26(3), 1994.
• Jones, L. A., Woodall, W. H., Conerly, M. D. “Exact Properties of Demerit Control Charts.” Journal of Quality Technology, 31(2), 1999.
• Scrucca, L. Pacote qcc: Quality Control Charts. CRAN, 2023.