2026

Objetivo

Analizar experimentalmente la caída libre utilizando un modelo de regresión lineal. Se linealizará la ecuación física, se ajustará un modelo, y se verificarán las hipótesis fundamentales de la regresión, además de detectar posibles valores atípicos.

Ingresar datos experimentales

En esta sección, se introducen los datos crudos obtenidos del experimento de caída libre: ‘distancia’ (d) representa la altura de caída en metros, y ‘tiempo’ (t) es el tiempo medido en segundos para recorrer esa distancia. Estos son los valores observados que usaremos para construir y validar nuestro modelo:

Distancia Tiempo
1.598 0.05
1.560 0.10
1.496 0.15
1.412 0.20
1.304 0.25
1.172 0.30
1.018 0.35
0.840 0.40
0.632 0.45
0.400 0.50
0.150 0.55

Linealizar el modelo

Explicación: La ecuación de la caída libre desde el reposo es \(d = \frac{1}{2}gt^2\). Para aplicar una regresión lineal (que busca relaciones \(Y = \beta_0 + \beta_1 X\)), necesitamos transformar nuestros datos.

Si definimos \(Y = d\) y \(X = t^2\), la ecuación se convierte en \(Y = \frac{1}{2}gX\). Aquí, la ordenada al origen \(\beta_0\) es cero y la pendiente \(\beta_1 = \frac{1}{2}g\). Se calcula el cuadrado del tiempo y se organiza junto con la distancia.

Linealización del modelo teórico

El análisis experimental de la caída libre parte de la ecuación cinemática fundamental \(d = \frac{1}{2}gt^2\), la cual describe una relación cuadrática no lineal entre la distancia y el tiempo. Con el propósito de aplicar un enfoque de regresión lineal simple bajo la estructura convencional \(Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon\) se vuelve imperativo realizar un proceso de linealización mediante una transformación matemática de variables.

Bajo esta estrategia, se define formalmente a la distancia (\(d\)) como nuestra variable dependiente (\(Y\)) y al tiempo al cuadrado (\(t^2\)) como la variable independiente (\(X\)). Esta redefinición estructural transforma la ecuación física en un modelo lineal donde la ordenada al origen teórica (\(\beta_0\)) se asume igual a cero, mientras que la pendiente estimada (\(\beta_1\)) condensa la aceleración de la gravedad mediante la relación matemática explícita \(\beta_1 = \frac{1}{2}g\), permitiendo así despejar el valor empírico como \(g = 2\beta_1\).

Ajustar el modelo de regresión y calcular Gravedad

Se ajusta un modelo de Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS) para encontrar la mejor línea que se adapte a los datos linealizados. Esto nos permite estimar los coeficientes \(\beta_0\) (constante del intercepto) y \(\beta_1\) (pendiente del modelo). Dado que la relación física establece que \(\beta_1 = \frac{1}{2}g\), podemos calcular directamente el valor experimental de la gravedad como \(g_{exp} = 2 \times \beta_1\).

Cálculo de la gravedad experimental

A partir de los coeficientes numéricos estimados por el modelo de regresión lineal por Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS), se procede a aislar el parámetro físico correspondiente a la aceleración de la gravedad mediante la relación teórica (\(g_{exp} = 2 \times |\beta_1|\)):

📊 Parámetros Físicos Obtenidos:

Intercepto Teórico (\(\beta_0\)): 1.6069 m (Posición inicial teórica)
Pendiente de la Recta (\(\beta_1\)): -4.8174
Gravedad Experimental (\(g_{exp}\)): 9.6348 m/s²

*Nota: El valor obtenido para la aceleración gravitatoria (\(9.6348 \text{ m/s}^2\)) presenta un excelente grado de aproximación respecto al valor estándar teórico de \(9.81 \text{ m/s}^2\), validando la precisión del ensayo y del proceso de linealización lineal.

Este gráfico muestra los datos experimentales transformados ( t2 vs d ) y la línea de regresión ajustada por el modelo Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS). Permite una inspección visual directa de qué tan bien el modelo lineal representa la relación entre las variables.

La línea de regresión muestra una buena aproximación a los datos experimentales, indicando que la linealización del modelo fue efectiva.

Gráfico de Normalidad (Q-Q Plot)

La observación del Q-Q Plot indica si los residuos estandarizados se distribuyen aproximadamente de forma normal. (Interpretación específica dependerá del gráfico resultante: si los puntos siguen la línea, la hipótesis de normalidad se cumple razonablemente).

Verificación de independencia y homocedasticidad

Este gráfico ayuda a evaluar dos hipótesis importantes de la regresión, la independencia de los errores y la homocedasticidad (varianza constante de los errores). Se espera que los residuos estandarizados se dispersen aleatoriamente alrededor de cero para todos los valores predichos, sin formar patrones (como embudos o curvas). La ausencia de patrones indica que los errores son independientes y tienen una varianza constante.

Conclusión

Un patrón aleatorio y una dispersión constante de los puntos alrededor de cero en este gráfico sugieren que los residuos son independientes y homocedásticos. (Interpretación específica dependerá del gráfico resultante: si no hay patrones evidentes, la hipótesis de independencia y homocedasticidad es plausible)

Detección de Outliers

Las Distancias de Cook son una medida de la influencia de cada observación en el modelo de regresión. Un valor alto de la Distancia de Cook para una observación indica que, si esa observación fuera eliminada, los coeficientes del modelo cambiarían significativamente. Se utiliza un umbral (comúnmente 4/n , donde n es el número de observaciones) para identificar posibles puntos influyentes.

Se han calculado las Distancias de Cook para cada observación. Los puntos que superan el umbral establecido son considerados posibles outliers o puntos de alta influencia que podrían requerir una investigación adicional. (Interpretación específica dependerá del gráfico y los resultados: si hay puntos por encima del umbral, se han identificado posibles outliers).

Medición de la gravedad y aplicaciones

El valor de la gravedad terrestre (\(g\)) se mide experimentalmente a partir de la pendiente del modelo linealizado mediante la relación matemática implícita \(g = 2 \times \beta_1\). Respecto a su extensión analítica hacia otros cuerpos celestes:

Cálculo de la Masa: Conociendo el radio planetario (\(R\)) y la gravedad en la superficie (\(g\)), se puede deducir la masa mediante la ley de gravitación universal: \(g = G\frac{M}{R^2}\).

Estimación de Densidad: Al procesar la masa (\(M\)) y el volumen derivado, es viable calcular la densidad promedio utilizando la expresión física \(\rho = M/V\).

Limitación Física: Este ensayo de caída libre por sí solo no permite medir de forma directa el radio del cuerpo celeste ni identificar su composición geológica interna.

📌 Conclusión: Hemos logrado medir la aceleración de la gravedad con éxito mediante este experimento de laboratorio. Sin embargo, para caracterizar propiedades astronómicas complejas (diámetro, masa o densidad estructural), se requiere la integración de técnicas observacionales y datos espectroscópicos avanzados que exceden el alcance de un ensayo de caída libre terrestre ordinario.