計量経済I：復習テスト10

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 9～14 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（7 月 28 日の予定）にまとめて提出すること．

1. ((y_1,x_1),\dots,(y_n,x_n)) を無作為標本とする．y_i の x_i 上への定数項なしの単回帰モデルは \begin{align*} y_i & =\beta x_i+u_i \\ \operatorname{E}(u_i|x_i) & =0 \end{align*} \beta の OLS 推定量を b_n，OLS 残差を e_i とする．

1. \sqrt{n}(b_n-\beta) が次のように表現できることを示しなさい． \sqrt{n}(b_n-\beta)=\frac{(1/\sqrt{n})\sum_{i=1}^nx_iu_i}{(1/n)\sum_{i=1}^nx_i^2}

2. \sqrt{n}(b_n-\beta) の分布が次の正規分布で近似できる理由を説明しなさい． \sqrt{n}(b_n-\beta) \stackrel{a}{\sim}\mathrm{N}\left(0,\frac{\operatorname{var}(x_iu_i)}{\operatorname{E}(x_i^2)^2}\right)

3. 次式を示しなさい． \operatorname{var}(x_iu_i)=\operatorname{E}\left(x_i^2u_i^2\right)

4. \operatorname{var}(x_iu_i) の White の推定量を与えなさい．

ノート解答例

1. \beta の OLS 推定量は b_n=\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} y_i=\beta x_i+u_i を代入すると \begin{align*} b_n & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i(\beta x_i+u_i)}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\frac{\sum_{i=1}^n\left(\beta x_i^2+x_iu_i\right)}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\frac{\beta\sum_{i=1}^nx_i^2+\sum_{i=1}^nx_iu_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\beta+\frac{\sum_{i=1}^nx_iu_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \end{align*} 式変形すると \sqrt{n}(b_n-\beta)=\frac{(1/\sqrt{n})\sum_{i=1}^nx_iu_i}{(1/n)\sum_{i=1}^nx_i^2}

2. 大数の法則より分母は \plim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2=\operatorname{E}\left(x_i^2\right) \operatorname{E}(u_i|x_i)=0 \Longrightarrow \operatorname{E}(x_iu_i)=0 なので中心極限定理より分子は \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nx_iu_i \stackrel{d}{\longrightarrow}\mathrm{N}(0,\operatorname{var}(x_iu_i)) 極限において正規分布の線形変換となっているので \frac{(1/\sqrt{n})\sum_{i=1}^nx_iu_i}{(1/n)\sum_{i=1}^nx_i^2} \stackrel{d}{\longrightarrow}\mathrm{N}\left(0,\frac{\operatorname{var}(x_iu_i)}{\operatorname{E}(x_i^2)^2}\right) この極限分布で \sqrt{n}(b_n-\beta) の分布を近似する．

3. 分散の計算公式より \begin{align*} \operatorname{var}(x_iu_i) & =\operatorname{E}\left((x_iu_i)^2\right)-\operatorname{E}(x_iu_i)^2 \\ & =\operatorname{E}\left(x_i^2u_i^2\right)-\operatorname{E}(x_iu_i)^2 \end{align*} 繰り返し期待値の法則より第 2 項は \begin{align*} \operatorname{E}(x_iu_i) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(x_iu_i|x_i)) \\ & =\operatorname{E}(x_i\operatorname{E}(u_i|x_i)) \\ & =0 \end{align*}

4. \operatorname{var}(x_iu_i) の White の推定量は \hat{\operatorname{var}}(x_iu_i):=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2e_i^2

2. ((y_1,x_1),\dots,(y_n,x_n)) を無作為標本とする．次のような y_i の x_i 上への条件付き不均一分散をもつ単回帰モデルを仮定する． \begin{align*} y_i & =\alpha+\beta x_i+u_i \\ \operatorname{E}(u_i|x_i) & =0 \\ \operatorname{var}(u_i|x_i) & =\sigma^2\exp(\gamma x_i) \end{align*}

1. 条件付き不均一分散の検定問題を定式化しなさい．

2. 次式を示しなさい． \operatorname{var}(u_i|x_i)=\operatorname{E}\left(u_i^2|x_i\right)

3. H_0 の下で次式を示しなさい． \operatorname{E}\left(u_i^2-\sigma^2|x_i\right)=0

4. Breusch–Pagan による条件付き不均一分散の検定方法を直感的に説明しなさい．

ノート解答例

1. 条件付き不均一分散の検定問題は H_0:\gamma=0 \quad \text{vs} \quad H_1:\gamma \ne 0

2. \operatorname{E}(u_i|x_i)=0より \begin{align*} \operatorname{var}(u_i|x_i) & :=\operatorname{E}\left((u_i-\operatorname{E}(u_i|x_i))^2|x_i\right) \\ & =\operatorname{E}\left(u_i^2|x_i\right) \end{align*}

3. 前問より \operatorname{E}\left(u_i^2|x_i\right)=\sigma^2\exp(\gamma x_i) H_0 の下で \operatorname{E}\left(u_i^2|x_i\right)=\sigma^2 すなわち \operatorname{E}\left(u_i^2-\sigma^2|x_i\right)=0

4. 前問より u_i^2-\sigma^2 の x_i 上への回帰の回帰係数は H_0 の下で 0．(\alpha,\beta) の OLS 推定量を (a,b)，OLS 残差を e_i:=y_i-a-bx_i，H_0 の下での誤差分散の推定量を \hat{\sigma}^2:=(1/n)\sum_{i=1}^ne_i^2 とする．Breusch–Pagan の検定では u_i^2-\sigma^2 の代わりに e_i^2-\hat{\sigma}^2 を x_i に回帰して回帰係数が 0 かどうかを検定する．