Una empresa frutícola chilena exporta cajas de arándanos de 250 g a la Unión Europea. Los importadores europeos son estrictos y podrían terminar los contratos con la frutícola chilena si detectan varias cajas con menos de 250 g. La frutícola no se quiere arriesgar, y por lo tanto como regla de negocio ha establecido que el peso medio de las cajas tiene que superar los 250 g. Usted es ingeniero/a comercial contratado/a por la frutícola para hacer control de calidad a sus productos de exportación. Para ello, ha tomado una muestra aleatoria de 15 cajas y las ha pesado. Los pesos están en su archivo de datos. Para su estudio, responda las siguientes preguntas.
La media de la muestra se calcula en Excel o R son sus respectivas funciones:
La desviación estándar de la muestra se calcula en Excel o R son sus respectivas funciones:
El margen del intervalo de confianza de 95% se calcula con la fórmula: \[\varepsilon = t_{n-1,\alpha} \frac{s}{\sqrt n}...(1)\] donde \(\alpha = 5\%\) y \(n=15\).
\(t_{n-1,\alpha}\) se calcula en Excel y R con sus funciones respectivas:
Luego: \[Cota \ inferior = \bar x - \varepsilon\]
\[Cota \ superior = \bar x + \varepsilon\]
La hipótesis nula es lo contrario de lo que queremos “demostrar”. Por lo tanto, la hipótesis nula es: \[H_0: \mu \le 250\] La respuesta alternativa correcta es (c).
La hipótesis alternativa es lo contrario de la hipótesis nula: \[H_1: \mu > 250\]
El estadístico t bajo la hipótesis nula está dada por: \[t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt n}...(2)\] donde \(\mu_0 = 250\)
El valor p se calcula con su función en Excel o R respectiva:
Se puede rechazar la hipótesis nula si su valor p obtenida en la pregunta (8) es menor que algunas de las significancias convencionales: 5%, 1%, 0,1%.
El nivel de significancia al cual se rechaza la hipótesis nula es la menor de las significancias convencionales tal que: \[p < \alpha\]
Para poder rechazar la hipótesis nula al 5% de significancia, el estadístico t obtenido en la pregunta (7) debe ser mayor que el factor de fiabilidad del 5%: \[t > t_{n-1, \alpha}\] Sustituir por t de la ecuación (2): \[\frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt n} > t_{n-1, \alpha}\] Como estamos suponiendo que la media obtenida es igual a la cota inferior del intervalo de confianza, debemos reemplazar \(\bar x\) por \(\bar x - \varepsilon\):
\[\frac{\bar x - \varepsilon - \mu_0}{s/\sqrt n} > t_{n-1, \alpha}\] Reordenar la desigualdad para expresar la desviación estándar muestral, \(s\), en términos de las otras variables: \[s/\sqrt n < \frac{\bar x - \varepsilon - \mu_0}{t_{n-1, \alpha}}\] \[\therefore s < \frac{\sqrt n(\bar x - \varepsilon - \mu_0)}{t_{n-1, \alpha}}...(3)\] Entonces el valor máximo de \(s\) es el lado derecho de la desigualdad (3).
Si el valor de \(s\) obtenido en la pregunta (2) es mayor o igual que la desviación estándar máxima tolerable de la desigualdad (3), es probable que en otra muestra el estadístico t resulte tal que NO se pueda rechazar la hipótesis nula. En este caso, la respuesta correcta es (a).
Si el valor de \(s\) obtenido en la pregunta (2) es menor que la desviación estándar máxima tolerable de la desigualdad (3), es probable que en otra muestra el estadístico t resulte tal que SÍ se pueda rechazar la hipótesis nula. En este caso, la respuesta correcta es (d).
Si obtuvo estadístico \(t\) y estimación \(s\) tales que: \[t > t_{n-1, \alpha}\] y \[s < \frac{\sqrt n(\bar x - \varepsilon - \mu_0)}{t_{n-1, \alpha}}\] entonces tiene suficiente certeza que se puede rechazar la hipótesis nula, y entonces le puede decir a su jefe algo por el estilo:
La prueba estadística realizada arrojó una conclusión con una confianza de 95% que en promedio las cajas de arándanos superan los 250 g. Podemos seguir con la línea de producción.
En cambio, si obtuvo estadístico \(t\) y estimación \(s\) tales que \(t > t_{n-1, \alpha}\) pero \[s \ge \frac{\sqrt n(\bar x - \varepsilon - \mu_0)}{t_{n-1, \alpha}}\] entonces no hay suficiente confianza que se pueda rechazar la hipótesis nula, porque en otra muestra la media podría ser tal que \(t \ge t_{n-1, \alpha}\). En este caso, le podría decir a su jefe lo siguiente:
Una muestra de 15 cajas no es suficiente para esta prueba estadística. Necesito una muestra de 30 cajas para tener un resultado más confiable.
Finalmente, si \(t \le t_{n-1, \alpha}\) no puede rechazar la hipótesis nula, y en este caso le podría decir a su jefe lo siguiente:
Hay demasiada probabilidad que muchas cajas pesan menos de 250g. Paremos la producción y ajustemos el proceso para colocar un poquito más de arándanos en cada caja, y realicemos la prueba estadística nuevamente.