Problema

Un agricultor de la zona central de Chile dispone de 120 hectáreas y debe decidir cuántas sembrar de trigo y cuántas de maíz para maximizar sus utilidades, sujeto a restricciones de agua, mano de obra y maquinaria.

Por cada hectárea de trigo sembrada obtiene una utilidad de $800.000 y por cada hectárea de maíz obtiene una utilidad de $1.200.000.

La siembra requiere agua, mano de obra y maquinaria. El agricultor dispone de las siguientes cantidades totales de cada recurso para una temporada:

Cada hectárea de trigo requiere 3 \(m^3\) de agua, 2 jornadas de mano de obra y 1 hora-máquina, en una temporada.

Cada hectárea de maíz requiere 6 \(m^3\) de agua, 2 jornadas de mano de obra y 3 horas-máquina, en una temporada.

Pregunta 1

Escriba la función objetivo.

Respuesta

Sea \(x\) la cantidad de hectáreas de trigo e \(y\) la cantidad de hectáreas de maíz. Sea \(F(x,y)\) la utilidad, como función de \(x\) e \(y\). Como el objetivo del agricultor es maaximizar su utilidad, \(F(x,y)\) es la función objetivo, Del enunciado se deduce que:

\[F(x,y) = 800x + 1200y...(1)\] La utilidad está expresada en miles de pesos para no escribir tantos ceros.

Pregunta 2

Escriba las restricciones del problema, como desigualdades matemáticas.

Respuesta

Las cantidades de hectáreas siempre son números positivos. Por lo tanto:

\[x \ge 0...(2)\] \[y \ge 0...(3)\]

La cantidad total de hectáreas disponibles es 120:

\[x+y \le 120...(4)\] De las cantidades de agua, mano de obra y horas de maquinaria usadas por cada hectárea de trigo y maíz, se deducen las desigualdades restantes.

La cantidad total de agua disponible es 540 \(m^3\):

\[3x+6y \le 540...(5)\] La cantidad total de mano de obra disponible es 240 jornadas:

\[2x+2y \le 240\] Para simplificar, dividimos por 2, y obtenemos:

\[x+y \le 120\] Notamos que esta desigualdad es idéntica a (4); entonces no aporta información adicional y la eliminamos.

La cantidad total de horas de maquinaria disponible es 180 horas:

\[x+3y \le 180...(6)\]

Pregunta 3

Formule el problema de optimización en la notación usual matemática.

Respuesta

El problema de optimización expresada en notación matemática es:

\[\max_{x,y} F(x,y) = 800x + 1200y...(1)\] sujeto a:

\[x \ge 0...(2)\] \[y \ge 0...(3)\] \[x+y \le 120...(4)\] \[3x+6y \le 540...(5)\] \[x+3y \le 180...(6)\]

Pregunta 4

Grafique el área factible.

Respuesta

Las desigualdades \(x \ge 0\) y \(y \ge 0\) implican que el gráfico está circunscrito al cuadrante de números positivos de \(\mathbb{R}^2\).

Para graficar, es conveniente expresar las desigualdades como \(y\) en función de \(x\), esto es, de la forma: \[y \le / \ge mx + c\] \[y \le 120-x...(4)\] \[y \le 90 - \frac{1}{2}x...(5)\] \[y \le 60 - \frac{1}{3}x...(6)\] Entonces, ahora se grafican los bordes del área factible, el cual está sombreado en el diagrama:

Notemos que la restricción del agua (línea azul) no determina el área factible. Esto significa que la cantidad de agua es más que suficiente y que sobrará agua en cualquier punto del área factible. Esto es buena noticia para el agricultor, quien puede almacenar esta agua sobrante para cualquier eventualidad futura, por ejemplo, sequía.

Pregunta 5

En un nuevo diagrama, dibuje tres isocuantas de la función objetivo.

Respuesta

Nuevamente, es conveniente expresar la función objetivo de la forma: \[y = mx + c\] Para cada isocuanta, \(F(x,y)=c\) para alguna utilidad constante \(c\). Reordenando:

\[y = \frac{c}{1200} - \frac{2}{3}x\] La pendiente de cada isocuanta es \(-\frac{2}{3}\), el cual está entre las pendientes de los bordes de las restricciones de maquinaria (desigualdad (6)) y tierra o mano de obra (desigualdad (4)):

\[-1 < -\frac{2}{3} < -\frac{1}{3}\] Por lo tanto, una de las isocuantas pasa por el vértice en la interseccion de las ecuaciones de borde de las desigualdades (6) y (4).

El siguiente diagrama muestra el área factible con tres isocuantas.

Pregunta 6

Usando las isocuantas, solucione el problema, esto es, escriba las combinaciones de hectáreas de trigo y maíz que maximizan la utilidad.

Respuesta

En la pregunta (5) se dedujo que la isocuanta máxima pasa por el vértice en la interseccion de las ecuaciones de borde de las desigualdades (6) y (4). Por lo tanto, este es el punto en el área factible que maximiza la utilidad. Se encuentra el punto resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas:

\[y = 120-x...(7)\]

\[y = 60 - \frac{1}{3}x...(8)\] Igualar (7) y (8): \[120-x = 60 - \frac{1}{3}x\] \[\therefore 60 = x - \frac{1}{3}x\] \[\therefore 60 = \frac{2}{3}x\] \[\therefore x = 90\] Sustituir en ecuación (7): \[y = 120 - 30\] Entonces, el agricultor debe sembrar 90 hectáreas de trigo y 30 hectáreas de maíz para maximizar su utilidad.

Pregunta 7

¿Cuánto es la utilidad en esta combinación óptima?

Respuesta

La utilidad se calcula sustituyendo los valores de \(x\) e \(y\) en la ecuaciónd de la utilidad, (1):

\[F(x,y) = 800x + 1200y...(1)\] \[\therefore F(90,30) = 800 \cdot 90 + 1200 \cdot 30\] \[\therefore F(90,30) = 800 \cdot 90 + 1200 \cdot 30\] \[\therefore F(90,30) = 108.000\] Como en la ecuación (1) la utilidad está expresada en miles de pesos, la utilidad es 108 millones de pesos.

Pregunta 8

Verifique su solución, comparando la utilidad en los vértices del área factible y un punto interior.

Respuesta

Las coordenadas de los otros vértices y un punto interior cualquiera son:

\[Vértice \ 1: (0, 0)\] \[Vértice \ 2: (0, 60)\] \[Vértice \ 3: (120, 0)\] \[Punto \ interior: (50, 25)\]

Se calcula la utilidad en cada uno de esos 4 puntos sustituyendo los valores de \(x\) e \(y\):

\[Vértice \ 1: F(0, 0) = 0\] \[Vértice \ 2: F(0, 60) = 72.000\] \[Vértice \ 3: F(120, 0) = 96.000\] \[Punto \ interior: F(50, 25) = 70.000\] Se verifica que la utilidad en los 4 puntos es menor que la utilidad en la solución encontrada, lo cual es consistente con lo esperado.