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============================================================

UAS AKTUARIA - SOAL NOMOR 1

Mata Kuliah : Aktuaria

Prodi : Statistika Terapan dan Komputasi - FMIPA UNNES

NAMA : Razka Naufal Sutanto

NIM : 2404010016

============================================================

DIKETAHUI:

Tertanggung usia x = 50 tahun

Mortalita Gompertz: B = 8e-6, C = 1.11

Force of interest kontinu: delta = 4.5% = 0.045

Jangka waktu: n = 15 tahun

Jumlah pembayaran premi: m = 10 kali

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—- PARAMETER —-

B <- 8e-6 # Gompertz parameter B C <- 1.11 # Gompertz parameter C x <- 50 # usia tertanggung delta <- 0.045 # force of interest n <- 15 # jangka waktu (tahun) m <- 10 # jumlah pembayaran premi

cat(“============================================================”) cat(” UAS AKTUARIA - SOAL NOMOR 1“) cat(”============================================================“) cat(sprintf(” x = %d thn | B = %.0e | C = %.2f | delta = %.1f%%“, x, B, C, delta * 100)) cat(sprintf(” n = %d thn | m = %d kali pembayaran premi“, n, m)) cat(”============================================================“)

—- FUNGSI DASAR —-

Force of mortality Gompertz: mu_{x+t} = B * C^{x+t} * ln(C)

mu <- function(t) { B * C^(x + t) * log(C) }

Fungsi survival Gompertz:

_tpx = exp( -B * C^x * (C^t - 1) / ln(C) )

tpx <- function(t) { exp(-B * C^x * (C^t - 1) / log(C)) }

Fungsi diskonto kontinu: v(t) = e^{-delta * t}

vt <- function(t) { exp(-delta * t) }

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(a) ANUITAS JIWA KONTINU SEUMUR HIDUP

a_x = integral_0^inf e^{-deltat} _tpx dt

============================================================

a_x <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t), lower = 0, upper = 200 # batas atas ~omega (mortalita Gompertz mendekati 0 setelah 200) )$value

cat(“———————————————————-”) cat(“(a) Anuitas Jiwa Kontinu Seumur Hidup”) cat(” Formula : a_x = integral_0^inf e^(-deltat) _tpx dt“) cat(sprintf(” Hasil : a_50 = %.6f“, a_x))

============================================================

(b) ANUITAS JIWA KONTINU BERJANGKA n TAHUN

a_{x:n|} = integral_0^n e^{-deltat} _tpx dt

============================================================

a_xn <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t), lower = 0, upper = n )$value

cat(“———————————————————-”) cat(“(b) Anuitas Jiwa Kontinu Berjangka 15 Tahun”) cat(” Formula : a_{x:15|} = integral_0^15 e^(-deltat) tpx dt“) cat(sprintf(” Hasil : a{50:15|} = %.6f“, a_xn))

============================================================

(c) ANUITAS PASTI (CERTAIN) KONTINU BERJANGKA n TAHUN

(anuitas jiwa kontinu awal dan pasti / certain annuity)

a_{n|} = (1 - e^{-delta*n}) / delta

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a_certain <- (1 - exp(-delta * n)) / delta

cat(“———————————————————-”) cat(“(c) Anuitas Kontinu Pasti (Certain) 15 Tahun”) cat(” Formula : a_{15|} = (1 - e^{-delta*n}) / delta“) cat(sprintf(” = (1 - e^{-%.3f x %d}) / %.3f“, delta, n, delta)) cat(sprintf(” Hasil : a_{15|} = %.6f“, a_certain))

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(d) PREMI NETO ASURANSI JIWA SEUMUR HIDUP

APV manfaat: A_x = integral_0^inf e^{-deltat} tpx * mu{x+t} dt

Verifikasi : A_x = 1 - delta * a_x

Premi neto : P(A_x) = A_x / a_x

============================================================

A_x <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t) * mu(t), lower = 0, upper = 200 )$value

A_x_verif <- 1 - delta * a_x # verifikasi dengan relasi a_x P_whole <- A_x / a_x

cat(“———————————————————-”) cat(“(d) Premi Neto Asuransi Jiwa Seumur Hidup”) cat(” APV manfaat:“) cat(” A_50 = integral_0^inf e^(-deltat) _tpx * mu dt“) cat(sprintf(” A_50 = %.6f“, A_x)) cat(sprintf(” Verifikasi (1 - delta*a_x) = %.6f“, A_x_verif)) cat(” Premi neto:“) cat(” P(A_50) = A_50 / a_50“) cat(sprintf(” = %.6f / %.6f“, A_x, a_x)) cat(sprintf(” Hasil : P(A_50) = %.6f“, P_whole))

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(e) PREMI NETO ASURANSI JIWA BERJANGKA n=15 TAHUN

dengan pembayaran premi sebanyak m=10 kali

APV manfaat (term insurance):

A^1_{x:n|} = integral_0^n e^{-deltat} tpx * mu{x+t} dt

APV anuitas premi (berjangka m tahun):

a_{x:m|} = integral_0^m e^{-deltat} _tpx dt

Premi neto: P = A^1_{x:n|} / a_{x:m|}

============================================================

A1_xn <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t) * mu(t), lower = 0, upper = n )$value

a_xm <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t), lower = 0, upper = m )$value

P_term <- A1_xn / a_xm

cat(“———————————————————-”) cat(“(e) Premi Neto Asuransi Jiwa Berjangka 15 Thn, Premi 10x”) cat(” APV manfaat (term):“) cat(” A^1_{50:15|} = integral_0^15 e^(-deltat) tpx * mu dt“) cat(sprintf(” A^1{50:15|} = %.6f“, A1_xn)) cat(” APV anuitas premi (berjangka 10 tahun):“) cat(” a_{50:10|} = integral_0^10 e^(-deltat) tpx dt“) cat(sprintf(” a{50:10|} = %.6f“, a_xm)) cat(” Premi neto:“) cat(” P = A^1_{50:15|} / a_{50:10|}“) cat(sprintf(” = %.6f / %.6f“, A1_xn, a_xm)) cat(sprintf(” Hasil : P = %.6f“, P_term))

============================================================

(f) PREMI NETO ASURANSI JIWA DWIGUNA (ENDOWMENT) n=15 TAHUN

dengan pembayaran premi sebanyak m=10 kali

Pure endowment : nEx = e^{-deltan} _npx

APV manfaat : A_{x:n|} = A^1_{x:n|} + nEx

Premi neto : P = A_{x:n|} / a_{x:m|}

============================================================

nEx <- vt(n) * tpx(n) # pure endowment A_endow <- A1_xn + nEx # endowment = term + pure endowment P_endow <- A_endow / a_xm

cat(“———————————————————-”) cat(“(f) Premi Neto Asuransi Jiwa Dwiguna 15 Thn, Premi 10x”) cat(” Pure endowment:“) cat(” 15E50 = e^{-delta15} 15p_50“) cat(sprintf(” 15E50 = e^{-%.3f x %d} x %.6f“, delta, n, tpx(n))) cat(sprintf(” 15E50 = %.6f“, nEx)) cat(” APV manfaat (dwiguna = term + pure endowment):“) cat(” A{50:15|} = A^1_{50:15|} + 15E50“) cat(sprintf(” = %.6f + %.6f“, A1_xn, nEx)) cat(sprintf(” A_{50:15|} = %.6f“, A_endow)) cat(” APV anuitas premi:“) cat(sprintf(” a_{50:10|} = %.6f“, a_xm)) cat(” Premi neto:“) cat(” P = A_{50:15|} / a_{50:10|}“) cat(sprintf(” = %.6f / %.6f“, A_endow, a_xm)) cat(sprintf(” Hasil : P = %.6f“, P_endow))

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RINGKASAN HASIL

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cat(“============================================================”) cat(” RINGKASAN HASIL“) cat(”============================================================“) cat(sprintf(” (a) a_50 (anuitas seumur hidup) = %.6f“, a_x)) cat(sprintf(” (b) a_{50:15|} (anuitas berjangka 15) = %.6f“, a_xn)) cat(sprintf(” (c) a_{15|} (anuitas pasti 15 thn) = %.6f“, a_certain)) cat(sprintf(” (d) P(A_50) (premi seumur hidup) = %.6f“, P_whole)) cat(sprintf(” (e) P term 15/10x (premi term 15, 10x) = %.6f“, P_term)) cat(sprintf(” (f) P endow 15/10x (premi dwiguna 15, 10x) = %.6f“, P_endow)) cat(”============================================================“) cat(” Catatan: Premi dinyatakan per 1 unit uang pertanggungan“) cat(” (santunan = 1). Kalikan dengan nominal santunan.“) cat(”============================================================“)

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UAS AKTUARIA - SOAL NOMOR 1

Mata Kuliah : Aktuaria

Prodi : Statistika Terapan dan Komputasi - FMIPA UNNES

NAMA : Razka Naufal Sutanto

NIM : 2404010016

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DIKETAHUI:

Tertanggung usia x = 50 tahun

Mortalita Gompertz: B = 8e-6, C = 1.11

Force of interest kontinu: delta = 4.5% = 0.045

Jangka waktu: n = 15 tahun

Jumlah pembayaran premi: m = 10 kali

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—- PARAMETER —-

B <- 8e-6 # Gompertz parameter B C <- 1.11 # Gompertz parameter C x <- 50 # usia tertanggung delta <- 0.045 # force of interest n <- 15 # jangka waktu (tahun) m <- 10 # jumlah pembayaran premi

cat(“============================================================”) cat(” UAS AKTUARIA - SOAL NOMOR 1“) cat(”============================================================“) cat(sprintf(” x = %d thn | B = %.0e | C = %.2f | delta = %.1f%%“, x, B, C, delta * 100)) cat(sprintf(” n = %d thn | m = %d kali pembayaran premi“, n, m)) cat(”============================================================“)

—- FUNGSI DASAR —-

Force of mortality Gompertz: mu_{x+t} = B * C^{x+t} * ln(C)

mu <- function(t) { B * C^(x + t) * log(C) }

Fungsi survival Gompertz:

_tpx = exp( -B * C^x * (C^t - 1) / ln(C) )

tpx <- function(t) { exp(-B * C^x * (C^t - 1) / log(C)) }

Fungsi diskonto kontinu: v(t) = e^{-delta * t}

vt <- function(t) { exp(-delta * t) }

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(a) ANUITAS JIWA KONTINU SEUMUR HIDUP

a_x = integral_0^inf e^{-deltat} _tpx dt

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a_x <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t), lower = 0, upper = 200 # batas atas ~omega (mortalita Gompertz mendekati 0 setelah 200) )$value

cat(“———————————————————-”) cat(“(a) Anuitas Jiwa Kontinu Seumur Hidup”) cat(” Formula : a_x = integral_0^inf e^(-deltat) _tpx dt“) cat(sprintf(” Hasil : a_50 = %.6f“, a_x))

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(b) ANUITAS JIWA KONTINU BERJANGKA n TAHUN

a_{x:n|} = integral_0^n e^{-deltat} _tpx dt

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a_xn <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t), lower = 0, upper = n )$value

cat(“———————————————————-”) cat(“(b) Anuitas Jiwa Kontinu Berjangka 15 Tahun”) cat(” Formula : a_{x:15|} = integral_0^15 e^(-deltat) tpx dt“) cat(sprintf(” Hasil : a{50:15|} = %.6f“, a_xn))

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(c) ANUITAS PASTI (CERTAIN) KONTINU BERJANGKA n TAHUN

(anuitas jiwa kontinu awal dan pasti / certain annuity)

a_{n|} = (1 - e^{-delta*n}) / delta

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a_certain <- (1 - exp(-delta * n)) / delta

cat(“———————————————————-”) cat(“(c) Anuitas Kontinu Pasti (Certain) 15 Tahun”) cat(” Formula : a_{15|} = (1 - e^{-delta*n}) / delta“) cat(sprintf(” = (1 - e^{-%.3f x %d}) / %.3f“, delta, n, delta)) cat(sprintf(” Hasil : a_{15|} = %.6f“, a_certain))

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(d) PREMI NETO ASURANSI JIWA SEUMUR HIDUP

APV manfaat: A_x = integral_0^inf e^{-deltat} tpx * mu{x+t} dt

Verifikasi : A_x = 1 - delta * a_x

Premi neto : P(A_x) = A_x / a_x

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A_x <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t) * mu(t), lower = 0, upper = 200 )$value

A_x_verif <- 1 - delta * a_x # verifikasi dengan relasi a_x P_whole <- A_x / a_x

cat(“———————————————————-”) cat(“(d) Premi Neto Asuransi Jiwa Seumur Hidup”) cat(” APV manfaat:“) cat(” A_50 = integral_0^inf e^(-deltat) _tpx * mu dt“) cat(sprintf(” A_50 = %.6f“, A_x)) cat(sprintf(” Verifikasi (1 - delta*a_x) = %.6f“, A_x_verif)) cat(” Premi neto:“) cat(” P(A_50) = A_50 / a_50“) cat(sprintf(” = %.6f / %.6f“, A_x, a_x)) cat(sprintf(” Hasil : P(A_50) = %.6f“, P_whole))

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(e) PREMI NETO ASURANSI JIWA BERJANGKA n=15 TAHUN

dengan pembayaran premi sebanyak m=10 kali

APV manfaat (term insurance):

A^1_{x:n|} = integral_0^n e^{-deltat} tpx * mu{x+t} dt

APV anuitas premi (berjangka m tahun):

a_{x:m|} = integral_0^m e^{-deltat} _tpx dt

Premi neto: P = A^1_{x:n|} / a_{x:m|}

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A1_xn <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t) * mu(t), lower = 0, upper = n )$value

a_xm <- integrate( f = function(t) vt(t) * tpx(t), lower = 0, upper = m )$value

P_term <- A1_xn / a_xm

cat(“———————————————————-”) cat(“(e) Premi Neto Asuransi Jiwa Berjangka 15 Thn, Premi 10x”) cat(” APV manfaat (term):“) cat(” A^1_{50:15|} = integral_0^15 e^(-deltat) tpx * mu dt“) cat(sprintf(” A^1{50:15|} = %.6f“, A1_xn)) cat(” APV anuitas premi (berjangka 10 tahun):“) cat(” a_{50:10|} = integral_0^10 e^(-deltat) tpx dt“) cat(sprintf(” a{50:10|} = %.6f“, a_xm)) cat(” Premi neto:“) cat(” P = A^1_{50:15|} / a_{50:10|}“) cat(sprintf(” = %.6f / %.6f“, A1_xn, a_xm)) cat(sprintf(” Hasil : P = %.6f“, P_term))

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(f) PREMI NETO ASURANSI JIWA DWIGUNA (ENDOWMENT) n=15 TAHUN

dengan pembayaran premi sebanyak m=10 kali

Pure endowment : nEx = e^{-deltan} _npx

APV manfaat : A_{x:n|} = A^1_{x:n|} + nEx

Premi neto : P = A_{x:n|} / a_{x:m|}

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nEx <- vt(n) * tpx(n) # pure endowment A_endow <- A1_xn + nEx # endowment = term + pure endowment P_endow <- A_endow / a_xm

cat(“———————————————————-”) cat(“(f) Premi Neto Asuransi Jiwa Dwiguna 15 Thn, Premi 10x”) cat(” Pure endowment:“) cat(” 15E50 = e^{-delta15} 15p_50“) cat(sprintf(” 15E50 = e^{-%.3f x %d} x %.6f“, delta, n, tpx(n))) cat(sprintf(” 15E50 = %.6f“, nEx)) cat(” APV manfaat (dwiguna = term + pure endowment):“) cat(” A{50:15|} = A^1_{50:15|} + 15E50“) cat(sprintf(” = %.6f + %.6f“, A1_xn, nEx)) cat(sprintf(” A_{50:15|} = %.6f“, A_endow)) cat(” APV anuitas premi:“) cat(sprintf(” a_{50:10|} = %.6f“, a_xm)) cat(” Premi neto:“) cat(” P = A_{50:15|} / a_{50:10|}“) cat(sprintf(” = %.6f / %.6f“, A_endow, a_xm)) cat(sprintf(” Hasil : P = %.6f“, P_endow))

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RINGKASAN HASIL

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cat(“============================================================”) cat(” RINGKASAN HASIL“) cat(”============================================================“) cat(sprintf(” (a) a_50 (anuitas seumur hidup) = %.6f“, a_x)) cat(sprintf(” (b) a_{50:15|} (anuitas berjangka 15) = %.6f“, a_xn)) cat(sprintf(” (c) a_{15|} (anuitas pasti 15 thn) = %.6f“, a_certain)) cat(sprintf(” (d) P(A_50) (premi seumur hidup) = %.6f“, P_whole)) cat(sprintf(” (e) P term 15/10x (premi term 15, 10x) = %.6f“, P_term)) cat(sprintf(” (f) P endow 15/10x (premi dwiguna 15, 10x) = %.6f“, P_endow)) cat(”============================================================“) cat(” Catatan: Premi dinyatakan per 1 unit uang pertanggungan“) cat(” (santunan = 1). Kalikan dengan nominal santunan.“) cat(”============================================================“)