1. Seorang tertanggung berusia 50 tahun mengikuti polis asuransi jiwa dengan mortalita mengikuti hukum Gompertz $ B=8*10^{-6}, C=1,11 $ dan tingkat suku bunga kontinu \(\delta = 4,5\) %. Hitunglah:

  1. anuitas jiwa kontinu seumur hidup;

  2. anuitas jiwa kontinu berjangka 15 tahun;

  3. anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 15 tahun;

  4. premi neto asuransi jiwa seumur hidup;

  5. premi neto asuransi jiwa berjangka 15 tahun dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali;

  6. premi neto asuransi jiwa dwiguna berjangka 15 tahun dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali.

Jawab

x <- 50
B <- 8 * 10^(-6)
C <- 1.11
delta <- 0.045

x
## [1] 50
B
## [1] 8e-06
C
## [1] 1.11
delta
## [1] 0.045
tp_x <- function(t, x, B, C) {
  exp(-((B * C^x) / log(C)) * (C^t - 1))
}

v_t <- function(t, delta) {
  exp(-delta * t)
}

#a. anuitas jiwa kontinu seumur hidup;
a_bar_seumur_hidup <- integrate(
  function(t) v_t(t, delta) * tp_x(t, x, B, C),
  lower = 0,
  upper = Inf
)$value

a_bar_seumur_hidup
## [1] 17.15484
#b. anuitas jiwa kontinu berjangka 15 tahun;
n <- 15

a_bar_berjangka_15 <- integrate(
  function(t) v_t(t, delta) * tp_x(t, x, B, C),
  lower = 0,
  upper = n
)$value

a_bar_berjangka_15
## [1] 10.7224
#c. anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 15 tahun;
a_pasti_15 <- (1 - exp(-delta * n)) / delta

sisa_anuitas_setelah_15 <- integrate(
  function(t) v_t(t, delta) * tp_x(t, x, B, C),
  lower = n,
  upper = Inf
)$value

a_kontinu_awal_pasti_15 <- a_pasti_15 + sisa_anuitas_setelah_15

a_pasti_15
## [1] 10.90764
sisa_anuitas_setelah_15
## [1] 6.432445
a_kontinu_awal_pasti_15
## [1] 17.34008
#d. premi neto asuransi jiwa seumur hidup;
A_bar_seumur_hidup <- 1 - delta * a_bar_seumur_hidup

A_bar_seumur_hidup
## [1] 0.2280321
#e. premi neto asuransi jiwa berjangka 15 tahun dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali;
mu_xt <- function(t, x, B, C) {
  B * C^(x + t)
}

A_berjangka_15 <- integrate(
  function(t) v_t(t, delta) * tp_x(t, x, B, C) * mu_xt(t, x, B, C),
  lower = 0,
  upper = 15
)$value

A_berjangka_15
## [1] 0.0348817
# Pembayarab Premi sebanyak 10 kali
m <- 10

a_bar_premi_10 <- integrate(
  function(t) v_t(t, delta) * tp_x(t, x, B, C),
  lower = 0,
  upper = m
)$value

a_bar_premi_10
## [1] 7.974061
#Premi Netonya
P_berjangka_15_premi_10 <- A_berjangka_15 / a_bar_premi_10

P_berjangka_15_premi_10
## [1] 0.004374396
#f. premi neto asuransi jiwa dwiguna berjangka 15 tahun dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali.
endowment_15 <- exp(-delta * 15) * tp_x(15, x, B, C)

A_dwiguna_15 <- A_berjangka_15 + endowment_15

endowment_15
## [1] 0.4826104
A_dwiguna_15
## [1] 0.5174921
#Premi neto dwigina
P_dwiguna_15_premi_10 <- A_dwiguna_15 / a_bar_premi_10

P_dwiguna_15_premi_10
## [1] 0.06489693
#Sumarry
hasil <- data.frame(
  Bagian = c(
    "a. Anuitas jiwa kontinu seumur hidup",
    "b. Anuitas jiwa kontinu berjangka 15 tahun",
    "c. Anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 15 tahun",
    "d. Premi neto asuransi jiwa seumur hidup",
    "e. Premi neto asuransi jiwa berjangka 15 tahun, premi 10 kali",
    "f. Premi neto asuransi jiwa dwiguna 15 tahun, premi 10 kali"
  ),
  Nilai = round(c(
    a_bar_seumur_hidup,
    a_bar_berjangka_15,
    a_kontinu_awal_pasti_15,
    A_bar_seumur_hidup,
    P_berjangka_15_premi_10,
    P_dwiguna_15_premi_10
  ), 4)
)

hasil
##                                                          Bagian   Nilai
## 1                          a. Anuitas jiwa kontinu seumur hidup 17.1548
## 2                    b. Anuitas jiwa kontinu berjangka 15 tahun 10.7224
## 3               c. Anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 15 tahun 17.3401
## 4                      d. Premi neto asuransi jiwa seumur hidup  0.2280
## 5 e. Premi neto asuransi jiwa berjangka 15 tahun, premi 10 kali  0.0044
## 6   f. Premi neto asuransi jiwa dwiguna 15 tahun, premi 10 kali  0.0649