Vorwissen: Achsensymmetrie zur y-Achse

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

Für ein Polynom 4. Grades bedeutet das allgemein: \[ f(x)=ax^4+bx^2+c \] (kein \[x^3\]- und kein \[x\]-Term)

Ableitungen: \[ f'(x)=4ax^3+2bx \] \[ f''(x)=12ax^2+2b \]

a) Punkt \[A(0|2)\] und Tiefpunkt \[T(1|0)\]

1) Bedingungen aufschreiben

(1) Punkt \[A(0|2)\] liegt auf dem Graphen: \[ f(0)=2 \]

(2) Tiefpunkt bei \[T(1|0)\] bedeutet: - Punkt liegt auf dem Graphen: \[f(1)=0\] - waagrechte Tangente: \[f'(1)=0\]
(und zur Kontrolle: \[f''(1)>0\])

2) Gleichungen aufstellen

Aus \[f(0)=2\]: \[ f(0)=a\cdot 0^4+b\cdot 0^2+c=c=2 \] Also: \[ c=2 \]

Aus \[f(1)=0\]: \[ f(1)=a\cdot 1^4+b\cdot 1^2+c=a+b+c=0 \] Mit \[c=2\]: \[ a+b+2=0 \quad\Rightarrow\quad a+b=-2 \]

Aus \[f'(1)=0\]: \[ f'(1)=4a\cdot 1^3+2b\cdot 1=4a+2b=0 \] Durch 2 teilen: \[ 2a+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-2a \]

3) Lösen des Gleichungssystems

Setze \[b=-2a\] in \[a+b=-2\] ein: \[ a+(-2a)=-2 \] \[ -a=-2 \quad\Rightarrow\quad a=2 \]

Dann: \[ b=-2a=-2\cdot 2=-4 \]

Und: \[ c=2 \]

4) Ergebnisfunktion und Tiefpunkt-Check

\[ \boxed{f(x)=2x^4-4x^2+2} \]

Check Tiefpunkt mit \[f''(1)>0\]: \[ f''(1)=12a\cdot 1^2+2b=12\cdot 2+2\cdot(-4)=24-8=16>0 \] Also ist \[T(1|0)\] tatsächlich ein Tiefpunkt.

b) Wendetangente in \[W(1|0)\] mit Steigung \[8\]

1) Bedingungen aufschreiben

Wendetangente in \[W(1|0)\] bedeutet:

  1. Punkt liegt auf dem Graphen:
    \[f(1)=0\]
  2. Steigung der Tangente dort ist 8:
    \[f'(1)=8\]
  3. Wendepunkt-Bedingung (zweite Ableitung 0):
    \[f''(1)=0\]

2) Gleichungen aufstellen

(1) Aus \[f(1)=0\]: \[ a+b+c=0 \]

(2) Aus \[f'(1)=8\]: \[ 4a+2b=8 \] Durch 2 teilen: \[ 2a+b=4 \]

(3) Aus \[f''(1)=0\]: \[ 12a+2b=0 \] Durch 2 teilen: \[ 6a+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-6a \]

3) Lösen des Gleichungssystems

Setze \[b=-6a\] in \[2a+b=4\] ein: \[ 2a-6a=4 \] \[ -4a=4 \quad\Rightarrow\quad a=-1 \]

Dann: \[ b=-6a=-6\cdot(-1)=6 \]

Jetzt \[a+b+c=0\]: \[ -1+6+c=0 \] \[ 5+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-5 \]

4) Ergebnisfunktion und kurzer Check

\[ \boxed{f(x)=-x^4+6x^2-5} \]

Check: - \[f(1)=-1+6-5=0\] ✓
- \[f'(x)=4ax^3+2bx=-4x^3+12x \Rightarrow f'(1)=-4+12=8\] ✓
- \[f''(x)=12ax^2+2b=-12x^2+12 \Rightarrow f''(1)=0\] ✓

Damit hat der Graph bei \[x=1\] einen Wendepunkt, und die Wendetangente hat Steigung 8.

Endergebnisse (kurz)

  1. \[\boxed{f(x)=2x^4-4x^2+2}\]

  2. \[\boxed{f(x)=-x^4+6x^2-5}\]

Plot 1: Base R (klassisch & direkt)

Dieser Plot zeigt die Funktionen mit den Standard‑Mitteln von R.
Gut geeignet, um schnell Ergebnisse zu sehen und den mathematischen Zusammenhang zu erkennen.

# Funktionen aus a) und b)
f_a <- function(x) 2*x^4 - 4*x^2 + 2
f_b <- function(x) -x^4 + 6*x^2 - 5

# Tangente in b) an der Stelle x0 = 1 mit Steigung 8 durch W(1,0)
x0 <- 1
m  <- 8
tangent_b <- function(x) m*(x - x0)

# Plot-Bereich
xs <- seq(-2.5, 2.5, length.out = 800)

# y-Werte
ya <- f_a(xs)
yb <- f_b(xs)
yt <- tangent_b(xs)

ylim <- range(c(ya, yb, yt))

# Basisplot
plot(xs, ya, type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
     xlab = "x", ylab = "y",
     main = "Aufgabe 6: Polynomfunktionen 4. Grades",
     ylim = ylim)

# Zweite Funktion
lines(xs, yb, lwd = 2, col = "firebrick")

# Tangente deutlicher darstellen
lines(xs, yt, lwd = 3, col = "darkorange", lty = 2)

# Punkte
points(0, 2, pch = 19, col = "steelblue")
points(1, 0, pch = 19, col = "steelblue")
points(1, 0, pch = 19, col = "firebrick")

# Labels mit kleinen Offsets (kein Überlappen)
text(0, 2.4, "A(0|2)", col = "steelblue")

text(1.15, 0.35, "T(1|0)", col = "steelblue")
text(0.8, -0.55, "W(1|0)", col = "firebrick")

# Legende
legend("topright",
       legend = c("a) f(x)=2x^4-4x^2+2",
                  "b) f(x)=-x^4+6x^2-5",
                  "Tangente in W, Steigung 8"),
       col = c("steelblue", "firebrick", "darkorange"),
       lty = c(1,1,2),
       lwd = c(2,2,3),
       bty = "n")

Plot 2: Base R (optimiert mit versetzten Beschriftungen)

Hier wurde der gleiche Plot leicht verbessert, damit sich die Beschriftungen nicht überlappen.
Die Mathematik ist identisch – nur die Darstellung ist übersichtlicher.

## Plot in R (Version 2 mit ggplot2)


# Pakete
library(ggplot2)

# Funktionen
f_a <- function(x) 2*x^4 - 4*x^2 + 2
f_b <- function(x) -x^4 + 6*x^2 - 5

# Tangente in b) an x0=1 mit Steigung 8 durch W(1,0)
x0 <- 1
m  <- 8
tangent_b <- function(x) m*(x - x0)

# Daten fürs Zeichnen
xs <- seq(-2.5, 2.5, length.out = 800)
df <- data.frame(
  x = xs,
  ya = f_a(xs),
  yb = f_b(xs),
  yt = tangent_b(xs)
)

# Hilfsdaten für Punkte/Labels (mit Offsets gegen Überlappung)
pts <- data.frame(
  name = c("A(0|2)", "T(1|0)", "W(1|0)"),
  x    = c(0, 1, 1),
  y    = c(2, 0, 0),
  col  = c("a", "a", "b"),
  # Offsets für die Textposition (in Datenkoordinaten)
  dx   = c(0.00,  0.18, -0.22),
  dy   = c(0.35,  0.35, -0.55)
)

# Plot
ggplot(df, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = ya, color = "a) f(x)=2x^4-4x^2+2"), linewidth = 1.1) +
  geom_line(aes(y = yb, color = "b) f(x)=-x^4+6x^2-5"), linewidth = 1.1) +
  geom_line(aes(y = yt, color = "Tangente in W, Steigung 8"),
            linewidth = 1.2, linetype = "dashed") +
  geom_point(data = pts, aes(x = x, y = y, shape = col),
             size = 2.6, stroke = 0.2,
             color = c("steelblue", "steelblue", "firebrick")) +
  geom_text(data = pts, aes(x = x + dx, y = y + dy, label = name),
            size = 4, show.legend = FALSE,
            color = c("steelblue", "steelblue", "firebrick")) +
  scale_color_manual(
    name = NULL,
    values = c(
      "a) f(x)=2x^4-4x^2+2" = "steelblue",
      "b) f(x)=-x^4+6x^2-5" = "firebrick",
      "Tangente in W, Steigung 8" = "darkorange"
    )
  ) +
  scale_shape_manual(
    name = NULL,
    values = c(a = 16, b = 16),
    labels = c(a = "Punkte zu a)", b = "Punkt zu b)")
  ) +
  labs(
    title = "Aufgabe 6: Polynomfunktionen 4. Grades",
    x = "x",
    y = "y"
  ) +
  coord_cartesian(ylim = range(c(df$ya, df$yb, df$yt))) +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(
    legend.position = "top",
    legend.box = "vertical"
  )

Plot 3: ggplot2 (strukturierter & publikationsnah)

Diese Version nutzt ggplot2 und wirkt ruhiger und einheitlicher.
Solche Plots eignen sich besonders gut für Präsentationen oder Veröffentlichungen.

## Plot in R (ggplot2 – rpub-clean Version)

library(ggplot2)

# Funktionen
f_a <- function(x) 2*x^4 - 4*x^2 + 2
f_b <- function(x) -x^4 + 6*x^2 - 5

# Tangente in b) an x0=1 mit Steigung 8 durch W(1,0)
x0 <- 1
m  <- 8
tangent_b <- function(x) m*(x - x0)

# Daten fürs Zeichnen
xs <- seq(-2.5, 2.5, length.out = 900)
df <- data.frame(
  x  = xs,
  ya = f_a(xs),
  yb = f_b(xs),
  yt = tangent_b(xs)
)

# Punkte + Label-Offsets (gegen Überlappung)
pts <- data.frame(
  label = c("A(0|2)", "T(1|0)", "W(1|0)"),
  x     = c(0, 1, 1),
  y     = c(2, 0, 0),
  group = c("a", "a", "b"),
  dx    = c(0.00,  0.18, -0.22),
  dy    = c(0.40,  0.35, -0.60)
)

# Farben/Linien als Konstanten (einheitlich & gut lesbar)
col_a <- "steelblue"
col_b <- "firebrick"
col_t <- "darkorange"

# y-Limits stabil (damit Plot nicht "springt", wenn du x-Bereich änderst)
ylim <- range(c(df$ya, df$yb, df$yt))

ggplot(df, aes(x = x)) +
  # Kurven
  geom_line(aes(y = ya, color = "a) f(x)=2x^4-4x^2+2"), linewidth = 1.2) +
  geom_line(aes(y = yb, color = "b) f(x)=-x^4+6x^2-5"), linewidth = 1.2) +
  geom_line(aes(y = yt, color = "Tangente in W, Steigung 8"),
            linewidth = 1.2, linetype = "22") +

  # Punkte (Farben direkt gesetzt, damit klar ist, was zu a) und b) gehört
  geom_point(data = subset(pts, group == "a"),
             aes(x = x, y = y), size = 2.8, color = col_a) +
  geom_point(data = subset(pts, group == "b"),
             aes(x = x, y = y), size = 2.8, color = col_b) +

  # Labels (ebenfalls farblich passend)
  geom_text(data = subset(pts, group == "a"),
            aes(x = x + dx, y = y + dy, label = label),
            color = col_a, size = 4.2, fontface = "plain") +
  geom_text(data = subset(pts, group == "b"),
            aes(x = x + dx, y = y + dy, label = label),
            color = col_b, size = 4.2, fontface = "plain") +

  # Farben/Legende "clean"
  scale_color_manual(
    name = NULL,
    values = c(
      "a) f(x)=2x^4-4x^2+2" = col_a,
      "b) f(x)=-x^4+6x^2-5" = col_b,
      "Tangente in W, Steigung 8" = col_t
    )
  ) +

  # Achsen & Titel
  labs(
    title = "Aufgabe 6: Polynomfunktionen 4. Grades",
    subtitle = "a) mit Punkt A und Tiefpunkt T, b) mit Wendepunkt W und Wendetangente",
    x = "x",
    y = "y"
  ) +

  # Ruhiger Plot-Rahmen (rpub-tauglich)
  coord_cartesian(ylim = ylim) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(
    plot.title.position = "plot",
    plot.title = element_text(face = "bold"),
    plot.subtitle = element_text(size = 11.5),
    panel.grid.minor = element_blank(),
    legend.position = "right",
    legend.title = element_blank(),
    legend.text = element_text(size = 11),
    plot.margin = margin(10, 10, 10, 10)
  ) +
  guides(color = guide_legend(override.aes = list(linewidth = 1.4)))