Cátedra de Biometría y Técnica Experimental
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Trabajo Práctico N°11: Diseño de Experimentos
Motivación
La investigación agropecuaria requiere generar información confiable para la toma de decisiones relacionadas con la producción vegetal y animal. Para ello, los ensayos experimentales deben planificarse cuidadosamente de manera que los resultados obtenidos reflejen el efecto real de los tratamientos evaluados y no el efecto del azar o de factores externos.
El diseño experimental proporciona las herramientas necesarias para organizar los experimentos, reducir la variabilidad no controlada y aumentar la precisión de las conclusiones. Su aplicación es fundamental en estudios que involucran cultivos, pasturas, animales, fertilización, riego, manejo sanitario y otras áreas de las ciencias agropecuarias. Esta guía tiene como objetivo introducir los conceptos y procedimientos básicos utilizados en el diseño de experimentos.
Introducción a los Diseños Experimentales
El diseño experimental es una herramienta fundamental en la investigación científica, ya que permite planificar experimentos de manera que los efectos de los tratamientos puedan evaluarse con precisión y confiabilidad. En las Ciencias Agropecuarias, los diseños experimentales son ampliamente utilizados para comparar variedades, fertilizantes, prácticas de manejo, sistemas de riego y otros factores de interés.
Los principios básicos del diseño experimental son:
Aleatorización: asignación al azar de los tratamientos a las unidades experimentales.
Repetición: aplicación de cada tratamiento en varias unidades experimentales para estimar el error experimental.
Control local: agrupación de unidades experimentales homogéneas para reducir la variabilidad no controlada.
Entre los diseños más utilizados se encuentran el Diseño Completamente Aleatorizado (DCA) y el Diseño en Bloques Completos al Azar (DBCA).
Diseño Completamente Aleatorizado (DCA)
Definición
El Diseño Completamente Aleatorizado es el diseño experimental más simple. Se utiliza cuando las unidades experimentales son homogéneas y la única fuente sistemática de variación es el tratamiento aplicado.
En este diseño, los tratamientos se asignan aleatoriamente a todas las unidades experimentales sin ningún tipo de restricción.
Características
Fácil implementación.
Máxima flexibilidad en el número de repeticiones.
Adecuado para experimentos realizados en condiciones homogéneas.
Toda la variabilidad no explicada por los tratamientos se incorpora al error experimental.
Modelo Matemático
El modelo lineal para un DCA es:
$$
Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}
$$
donde:
\(Y_{ij}\): observación correspondiente al tratamiento \(i\) en la repetición \(j\).
\(\mu\): media general.
\(\tau_i\): efecto del tratamiento \(i\).
\(\varepsilon_{ij}\): error experimental asociado a la observación.
Hipótesis para tratamientos
$$H_0:\tau_1=\tau_2=\cdots=\tau_t=0$$
$$H_1:\text{Al menos un tratamiento difiere}$$
Análisis de Varianza (ANOVA)
| Fuente de Variación | GL | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Tratamientos | \(t-1\) | \(SC_{Trat}\) | \(CM_{Trat}\) | \(F_{Trat}\) |
| Error | \(t(r-1)\) | \(SC_E\) | \(CM_E\) | |
| Total | \((rt)-1\) | \(SC_T\) |
donde:
t: número de tratamientos.
r: número de repeticiones
Si el valor calculado de F es mayor que el valor crítico, se rechaza H0H_0H0 y se concluye que existen diferencias significativas entre tratamientos.
Diseño en Bloques Completos al Azar (DBCA)
Definición
El Diseño en Bloques Completos al Azar se utiliza cuando existe una fuente conocida de variabilidad que puede afectar la respuesta experimental. Para controlar dicha variabilidad, las unidades experimentales se agrupan en bloques homogéneos.
Dentro de cada bloque se encuentran todos los tratamientos, los cuales se asignan aleatoriamente.
Características
Permite controlar una fuente importante de variación.
Incrementa la precisión experimental.
Muy utilizado en ensayos agrícolas donde existen gradientes de fertilidad, pendiente o humedad.
Cada bloque contiene todos los tratamientos.
Conceptos importantes
Bloque: Grupo de unidades experimentales relativamente homogéneas respecto a una característica que puede afectar la variable de respuesta.
Tratamiento: Condición experimental cuyo efecto se desea estudiar.
Unidad Experimental: Unidad mínima a la que se aplica un tratamiento de manera independiente.
Modelo Matemático
El modelo lineal para un DBCA es:
$$
Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}
$$
donde:
- \(Y_{ij}\): observación del tratamiento \(i\) en el bloque
\(j\).
- \(\mu\): media general.
- \(\tau_i\): efecto del tratamiento \(i\).
- \(\beta_j\): efecto del bloque \(j\).
- \(\varepsilon_{ij}\): error experimental.
Se supone que:
$$
\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)
$$
y que los errores son independientes.
Hipótesis para tratamientos
$$H_0:\tau_1=\tau_2=\cdots=\tau_t=0$$
$$H_1:\text{Al menos un tratamiento difiere}$$
Análisis de Varianza (ANOVA)
| Fuente de Variación | GL | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Tratamientos | \(t-1\) | \(SC_{Trat}\) | \(CM_{Trat}\) | \(F_{Trat}\) |
| Bloques | \(b-1\) | \(SC_{Bloq}\) | \(CM_{Bloq}\) | \(F_{Bloq}\) |
| Error | \((t-1)(b-1)\) | \(SC_E\) | \(CM_E\) | |
| Total | \(tb-1\) | \(SC_T\) |
donde:
t: número de tratamientos.
b: número de bloques.
Diseño Cuadrado Latino (DCL)
Definición
El Diseño Cuadrado Latino (DCL) es un diseño experimental que permite controlar simultáneamente dos fuentes de variación ajenas al tratamiento. Es especialmente útil cuando las unidades experimentales presentan heterogeneidad en dos direcciones, como puede ocurrir en ensayos agrícolas donde existen gradientes de fertilidad tanto en sentido norte-sur como este-oeste.
En este diseño, cada tratamiento aparece una sola vez en cada fila y una sola vez en cada columna, formando una matriz cuadrada de orden ttt, donde ttt representa el número de tratamientos.
Características
Controla dos fuentes de variación además del efecto de los tratamientos.
Requiere que el número de filas, columnas y tratamientos sea el mismo.
Reduce el error experimental cuando existen dos gradientes de variación conocidos.
Es ampliamente utilizado en experimentos agrícolas, biológicos e industriales.
Conceptos importantes
Tratamiento: Factor cuyo efecto se desea evaluar.
Filas: Primera fuente de variación que se desea controlar.
Columnas: Segunda fuente de variación que se desea controlar.
Unidad Experimental: Unidad mínima sobre la cual se aplica un tratamiento.
Modelo Matemático
El modelo lineal para un Diseño Cuadrado Latino (DCL) es:
\[Y_{ijk}=\mu+\tau_i+\rho_j+\gamma_k+\varepsilon_{ijk}\]
donde:
\(Y_{ijk}\): observación correspondiente al tratamiento \(i\), fila \(j\) y columna \(k\).
\(\mu\): media general.
\(\tau_i\): efecto del tratamiento \(i\).
\(\rho_j\): efecto de la fila \(j\).
\(\gamma_k\): efecto de la columna \(k\).
\(\varepsilon_{ijk}\): error experimental asociado a la observación.
Se supone que:
\[\varepsilon_{ijk}\sim N(0,\sigma^2)\]
y que los errores son independientes.
Hipótesis para tratamientos
\[H_0:\tau_1=\tau_2=\cdots=\tau_t=0\]
\[H_1:\text{Al menos un tratamiento difiere}\]
Análisis de Varianza (ANOVA)
| Fuente de Variación | GL | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Tratamientos | \(t-1\) | \(SC_{Trat}\) | \(CM_{Trat}\) | \(F_{Trat}\) |
| Filas | \(t-1\) | \(SC_{Filas}\) | \(CM_{Filas}\) | \(F_{Filas}\) |
| Columnas | \(t-1\) | \(SC_{Columnas}\) | \(CM_{Columnas}\) | \(F_{Columnas}\) |
| Error | \((t-1)(t-2)\) | \(SC_E\) | \(CM_E\) | |
| Total | \(t^2-1\) | \(SC_T\) |
donde:
t : número de tratamientos. un DCL, el número de filas y columnas es igual a t.
Supuestos del modelo
Para que las conclusiones del ANOVA sean válidas deben cumplirse los siguientes supuestos:
- Normalidad: los errores experimentales siguen una distribución normal.
\[\varepsilon_{ijk}\sim N(0,\sigma^2)\]
- Homogeneidad de varianzas: la varianza es constante para todos los tratamientos.
\[Var(\varepsilon_{ijk})=\sigma^2\]
Independencia: los errores experimentales son independientes entre sí.
Aditividad: los efectos de tratamientos, filas y columnas son aditivos.
\[Y_{ijk}=\mu+\tau_i+\rho_j+\gamma_k+\varepsilon_{ijk}\]
sin interacción entre los factores de bloqueo.
Actividades
Ejercicio 1. Defina y de un ejemplo de:
Experimento
Diseño experimental
Unidad experimental
Tratamiento
Testigo
Repetición
¿Por qué es importante realizar las pruebas a priori? ¿Cuales son?
¿Qué son las pruebas a posteriori?
¿Cuál es la diferencia entre el test de Tukey y el test de Fisher?
Ejercicio 2. El consumo de hojas por insectos puede afectar la cantidad de órganos capaces de fotosintetizar en plantas herbáceas y arbóreas. En vista de ello, se removieron manualmente las hojas con dos intensidades de remoción: Alta y Baja. Un tercer grupo de plantas se mantuvo sin remoción de hojas. Sobre una parcela se tomaron 30 plantas al azar para aplicar cada uno de los niveles de remoción de hojas y el testigo (10 plantas para cada uno). Se desea determinar el efecto de la pérdida de hojas sobre el peso de frutos producido por cada planta frutal (K/planta).
| Rto. | (K/pl) | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sin Remoción | 50 | 58 | 42 | 51 | 42 | 41 | 51 | 47 | 53 | 55 |
| Baja Remoción | 58 | 42 | 46 | 36 | 37 | 54 | 46 | 42 | 38 | 46 |
| Alta Remoción | 19 | 22 | 18 | 27 | 32 | 38 | 26 | 23 | 28 | 24 |
Responder:
Indique cantidad de tratamientos y de repeticiones.
¿Cuál es el diseño experimental utilizado? ¿Cuál es el modelo matemático? Interprete.
¿Cuál es la unidad experimental?
Realice un análisis descriptivo completo.
Efectuar el análisis de varianza, previa verificación de los supuestos de normalidad, homogeneidad de varianzas e independencia, usando un nivel de significación del 5%.
Realice, en caso de ser necesario, las pruebas a posteriori que considere oportunas.
¿Qué concluiría con base en los resultados obtenidos?
Ejercicio 3. El área de investigación de una empresa azucarera ubicada en la vecina provincia de Tucumán, deseaba estudiar el rendimiento de 7 variedades diferentes de caña de azúcar (Saccharum officinarum L.) Para dicho estudio, disponía de 4 campos diferentes ubicados en la zona cañera núcleo de dicha provincia, en donde se dispusieron los ensayos y en el cual cada parcela experimental contaba con una superficie de 20 metros cuadrados. En cada uno de los campos se sembraron todas las variedades. En el cuadro siguiente se muestran los resultados obtenidos:
| VARIEDAD | CAMPO I | CAMPO II | CAMPO III | CAMPO IV |
|---|---|---|---|---|
| A | 9 | 11 | 9 | 10 |
| B | 12 | 15 | 13 | 11 |
| C | 11 | 12 | 15 | 14 |
| D | 12 | 14 | 16 | 14 |
| E | 14 | 13 | 16 | 11 |
| F | 11 | 16 | 12 | 10 |
| G | 14 | 15 | 15 | 12 |
Responder:
Identifique: diseño experimental, n° de repeticiones, n° de tratamientos, u.e.
Describa los resultados obtenidos.
Escriba el modelo matemático del diseño utilizado e interprete en términos del problema.
Plantee la hipótesis nula y la alternativa. Interprete en términos del problema.
Efectúe el análisis de la varianza. ¿Existen diferencias entre las distintas variedades de caña de azúcar?
¿Se cumplen los supuestos?
Si corresponde aplique una prueba de comparación de medias.
Interprete los resultados.