Factores de Riesgo en el Seguro de Gastos Médicos

1 Carga de Paquetes y Datos

paquetes <- c("readr", "dplyr", "lmtest", "sandwich", "car", "performance",
              "nortest", "tseries", "Metrics", "stargazer",
              "fitdistrplus", "fastGraph", "mctest", "skedastic",
              "robustbase", "kableExtra", "caret", "DescTools")

instalados <- paquetes %in% rownames(installed.packages())
if (any(!instalados)) install.packages(paquetes[!instalados])

library(readr); library(dplyr); library(lmtest); library(sandwich)
library(car); library(performance); library(nortest); library(tseries)
library(Metrics); library(stargazer)
library(fitdistrplus); library(fastGraph); library(mctest); library(skedastic)
library(robustbase); library(kableExtra); library(caret); library(DescTools)

insurance <- read_csv("C:/Users/gisel/Downloads/insurance.csv")

El dataset contiene 1,338 observaciones de beneficiarios de seguros médicos en Estados Unidos. Las variables utilizadas son: edad (age), IMC (bmi), número de hijos (children), condición de fumador (smoker), región geográfica (region) y cargos médicos anuales (charges). La variable sex no se incluye por no constituir un factor de riesgo actuarial significativo. La variable dependiente se transforma logarítmicamente dado que los gastos médicos presentan distribución log-normal: concentración en valores bajos con una cola derecha pronunciada.

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2 Especificación del Modelo — Principio de Parsimonia

Bajo el principio de parsimonia, se selecciona el modelo más simple que capture adecuadamente el fenómeno. Se descartan términos cuadráticos e interacciones porque: (1) introducen multicolinealidad estructural (VIFs > 10) sin mejora sustancial del ajuste, y (2) dificultan la interpretación directa de los parámetros. El modelo log-lineal con efectos directos satisface ambas condiciones.

Justificación de la transformación logarítmica: Los gastos médicos son intrínsecamente asimétricos y heterocedásticos en niveles. La transformación log(charges) estabiliza la varianza, acerca los residuos a la normalidad y reduce drásticamente el MAPE respecto a un modelo en niveles, mejorando la capacidad predictiva.

Modelo estadístico estimado:

\[\ln(\text{charges}_i) = \beta_0 + \beta_1 \text{age}_i + \beta_2 \text{bmi}_i + \beta_3 \text{children}_i + \beta_4 \text{smoker}_i + \beta_5 \text{region}_i + \varepsilon_i\]

Restricciones esperadas en los parámetros:

Parámetro	Signo esperado	Justificación teórica
\(\beta_1\) (age)	\(> 0\)	El riesgo de salud aumenta con la edad
\(\beta_2\) (bmi)	\(> 0\)	Mayor IMC implica mayor riesgo metabólico y cardiovascular
\(\beta_3\) (children)	\(> 0\)	Más dependientes amplían la cobertura y el costo
\(\beta_4\) (smoker)	\(> 0\)	El tabaquismo eleva el riesgo de enfermedades crónicas
\(\beta_5\) (region)	\(\neq 0\)	Las regiones difieren en costo de vida y acceso médico

modelo <- lm(
  formula = log(charges) ~ age + bmi + children + smoker + region,
  data = insurance
)

stargazer(modelo, type = "text",
          title = "Resultados del Modelo OLS Log-Lineal — Seguro de Gastos Médicos",
          dep.var.labels = "log(charges)")

## 
## Resultados del Modelo OLS Log-Lineal — Seguro de Gastos Médicos
## ===============================================
##                         Dependent variable:    
##                     ---------------------------
##                            log(charges)        
## -----------------------------------------------
## age                          0.035***          
##                               (0.001)          
##                                                
## bmi                          0.013***          
##                               (0.002)          
##                                                
## children                     0.101***          
##                               (0.010)          
##                                                
## smokeryes                    1.547***          
##                               (0.030)          
##                                                
## regionnorthwest               -0.063*          
##                               (0.035)          
##                                                
## regionsoutheast              -0.157***         
##                               (0.035)          
##                                                
## regionsouthwest              -0.129***         
##                               (0.035)          
##                                                
## Constant                     7.001***          
##                               (0.072)          
##                                                
## -----------------------------------------------
## Observations                   1,338           
## R2                             0.766           
## Adjusted R2                    0.765           
## Residual Std. Error      0.446 (df = 1330)     
## F Statistic          622.938*** (df = 7; 1330) 
## ===============================================
## Note:               *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01

2.1 Interpretación de los Coeficientes

## === Semi-elasticidades y efectos porcentuales ===

## Efecto de edad (β1): 3.465 % por año adicional de vida

## Efecto de IMC (β2): 1.307 % por unidad adicional de IMC

## Efecto de hijos (β3): 10.66 % por hijo adicional

## Efecto de fumar (β4): 369.88 % respecto a no fumador

## Efecto región southeast: -14.51 %

## Efecto región southwest: -12.06 %

## Efecto región northwest: -6.14 %

En un modelo log-lineal, los coeficientes de variables continuas representan la semi-elasticidad: la variación porcentual aproximada en charges ante un cambio unitario en el regresor. Para variables dummy, el efecto porcentual exacto es \((e^{\hat{\beta}} - 1) \times 100\).

Intercepto (β₀): Ancla la escala logarítmica del modelo. No posee interpretación económica directa.

Edad — age (β₁): Significativo al 1%. Por cada año adicional de vida, los cargos médicos aumentan aproximadamente 3.46%, reflejando el deterioro progresivo de la salud y el mayor uso de servicios médicos con la edad. El efecto es lineal y constante a lo largo del rango etario de los datos, lo que es consistente con la evidencia actuarial para poblaciones adultas.

IMC — bmi (β₂): Significativo al 1%. Cada unidad adicional de IMC eleva los cargos en 1.31%, capturando el mayor riesgo metabólico, cardiovascular y musculoesquelético asociado al sobrepeso y la obesidad.

Número de hijos — children (β₃): Significativo al 1%. Cada dependiente adicional incrementa los cargos esperados en 10.66%, consistente con la estructura de los planes de seguro familiar donde la cobertura de dependientes genera costos adicionales proporcionales.

Fumador — smokeryes (β₄): El regresor de mayor impacto en el modelo. Los fumadores presentan cargos médicos superiores en 369.9% respecto a no fumadores con igual perfil demográfico. Este resultado confirma al tabaquismo como el principal factor de riesgo actuarial, coherente con la amplia evidencia clínica sobre enfermedades respiratorias, cardiovasculares y oncológicas vinculadas al consumo de tabaco.

Región geográfica: Las tres regiones alternativas presentan diferencias respecto a northeast (categoría base). La región southeast registra el mayor diferencial (-14.5%), seguida de southwest (-12.1%) y northwest (-6.1%). Estas diferencias regionales reflejan variaciones en el costo de vida, acceso a servicios médicos y prevalencia de condiciones crónicas por zona geográfica.

Bondad de ajuste: El modelo explica el 76.6% de la varianza del logaritmo de los gastos médicos (R² = 0.766, R² ajustado = 0.765). Este nivel de ajuste es elevado para datos de salud individuales y se obtiene con apenas 6 regresores, validando la eficiencia de la especificación parsimonious.

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3 Verificación de Supuestos del MCRLM

residuos_m <- residuals(modelo)

3.1 Normalidad de los Residuos

fit_normal <- fitdist(data = residuos_m, distr = "norm")
plot(fit_normal)

salida_SW <- shapiro.test(residuos_m)
print(salida_SW)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuos_m
## W = 0.84227, p-value < 0.00000000000000022

Wn_salida <- qnorm(salida_SW$p.value, lower.tail = FALSE)
cat("Estadístico estandarizado Wn (Shapiro-Wilk):", round(Wn_salida, 4), "\n")

## Estadístico estandarizado Wn (Shapiro-Wilk): 12.1894

jb_test <- jarque.bera.test(residuos_m)
print(jb_test)

## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  residuos_m
## X-squared = 1613.4, df = 2, p-value < 0.00000000000000022

prueba_KS <- lillie.test(residuos_m)
print(prueba_KS)

## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  residuos_m
## D = 0.214, p-value < 0.00000000000000022

alpha_sig <- 0.05
JB_stat   <- jb_test$statistic
gl        <- jb_test$parameter
VC_jb     <- qchisq(1 - alpha_sig, gl, lower.tail = TRUE)

shadeDist(VC_jb, ddist = "dchisq", parm1 = gl, lower.tail = FALSE,
          xmin = 0, xmax = max(JB_stat * 1.2, VC_jb * 2),
          sub = paste("VC:", round(VC_jb, 2), " | Estadístico JB:", round(JB_stat, 2)))

Interpretación — Normalidad: Las tres pruebas evalúan el supuesto de normalidad de los residuos. Dado el tamaño muestral (n = 1,338), el Teorema Central del Límite garantiza la validez asintótica de la inferencia incluso si se rechaza la normalidad exacta. Este resultado justifica adicionalmente el uso de errores estándar robustos en la sección siguiente.

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3.2 Multicolinealidad

mctest(mod = modelo)

## 
## Call:
## omcdiag(mod = mod, Inter = TRUE, detr = detr, red = red, conf = conf, 
##     theil = theil, cn = cn)
## 
## 
## Overall Multicollinearity Diagnostics
## 
##                        MC Results detection
## Determinant |X'X|:         0.5205         0
## Farrar Chi-Square:       871.0716         1
## Red Indicator:             0.1477         0
## Sum of Lambda Inverse:     8.8309         0
## Theil's Method:           -3.3949         0
## Condition Number:         16.0587         0
## 
## 1 --> COLLINEARITY is detected by the test 
## 0 --> COLLINEARITY is not detected by the test

print(check_collinearity(modelo))

## # Check for Multicollinearity
## 
## Low Correlation
## 
##      Term  VIF      VIF 95% CI adj. VIF Tolerance Tolerance 95% CI
##       age 1.02 [1.00,    1.48]     1.01      0.98     [0.68, 1.00]
##       bmi 1.10 [1.06,    1.19]     1.05      0.91     [0.84, 0.95]
##  children 1.00 [1.00, 6798.74]     1.00      1.00     [0.00, 1.00]
##    smoker 1.01 [1.00,   30.88]     1.00      0.99     [0.03, 1.00]
##    region 1.10 [1.05,    1.19]     1.05      0.91     [0.84, 0.95]

mc.plot(mod = modelo, vif = 2)

Interpretación — Multicolinealidad: Los VIFs deben situarse por debajo de 5, confirmando que cada regresor aporta información independiente. Este es un beneficio directo del principio de parsimonia: la especificación simple elimina la multicolinealidad estructural que afectaría a un modelo con age² e interacciones, donde los VIFs superarían 10 por construcción matemática.

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3.3 Homocedasticidad

print(bptest(modelo))

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  modelo
## BP = 78.996, df = 7, p-value = 0.00000000000002207

skedastic::white(modelo, interactions = TRUE)

## # A tibble: 1 × 5
##   statistic  p.value parameter method       alternative
##       <dbl>    <dbl>     <dbl> <chr>        <chr>      
## 1      145. 2.05e-15        35 White's Test greater

Interpretación — Homocedasticidad: Las pruebas de Breusch-Pagan y White verifican si la varianza de los errores es constante a lo largo de los valores predichos. Si se rechaza H₀, la heterocedasticidad no sesga los estimadores OLS pero invalida los errores estándar clásicos, requiriendo corrección mediante matrices de covarianzas robustas, aplicada en la sección siguiente.

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3.4 Autocorrelación

car::durbinWatsonTest(modelo, simulate = TRUE, reps = 1000)

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1     -0.02578916       2.04941   0.344
##  Alternative hypothesis: rho != 0

cat("Breusch-Godfrey Orden 1:\n")

## Breusch-Godfrey Orden 1:

print(bgtest(modelo, order = 1))

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo
## LM test = 0.89603, df = 1, p-value = 0.3438

cat("Breusch-Godfrey Orden 2:\n")

## Breusch-Godfrey Orden 2:

print(bgtest(modelo, order = 2))

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2
## 
## data:  modelo
## LM test = 0.94674, df = 2, p-value = 0.6229

Interpretación — Autocorrelación: Las pruebas de Durbin-Watson y Breusch-Godfrey de primer y segundo orden verifican la presencia de correlación serial en los residuos. Un estadístico DW próximo a 2 y p-valores elevados en ambas pruebas BG indican ausencia de autocorrelación, resultado coherente con la naturaleza de corte transversal de los datos, donde la autocorrelación no es un problema estructuralmente esperado.

---

4 Correcciones al Modelo y Estimaciones Robustas

# A) Errores estándar robustos HC1 (corrección por heterocedasticidad)
coeftest(modelo, vcov. = vcovHC(modelo, type = "HC1"))

## 
## t test of coefficients:
## 
##                   Estimate Std. Error t value              Pr(>|t|)    
## (Intercept)      7.0008478  0.0703665 99.4912 < 0.00000000000000022 ***
## age              0.0346490  0.0010179 34.0397 < 0.00000000000000022 ***
## bmi              0.0130711  0.0021607  6.0494        0.000000001887 ***
## children         0.1013204  0.0091939 11.0203 < 0.00000000000000022 ***
## smokeryes        1.5472965  0.0324029 47.7518 < 0.00000000000000022 ***
## regionnorthwest -0.0633386  0.0349359 -1.8130             0.0700583 .  
## regionsoutheast -0.1568166  0.0368285 -4.2580        0.000022072987 ***
## regionsouthwest -0.1285638  0.0340869 -3.7716             0.0001693 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Interpretación — Errores HC1: Al recalcular con la matriz de covarianzas HC1 (heteroskedasticity-consistent), los estimadores puntuales no cambian respecto al OLS clásico, pero los errores estándar son válidos bajo heterocedasticidad. Las variables que mantienen su significancia estadística con errores robustos confirman la estabilidad inferencial del modelo.

# B) Estimación robusta MM-Type (resistente a valores atípicos)
modelo_robust_MM <- lmrob(
  log(charges) ~ age + bmi + children + smoker + region,
  data = insurance,
  setting = "KS2014"
)

stargazer(modelo, modelo_robust_MM, type = "text",
          title = "Comparativa: OLS Log-Lineal vs Robust MM-Type",
          column.labels = c("OLS Log-Lineal", "MM-Type"))

## 
## Comparativa: OLS Log-Lineal vs Robust MM-Type
## ===================================================================
##                                         Dependent variable:        
##                                 -----------------------------------
##                                            log(charges)            
##                                            OLS             MM-type 
##                                                            linear  
##                                      OLS Log-Lineal        MM-Type 
##                                            (1)               (2)   
## -------------------------------------------------------------------
## age                                     0.035***          0.042*** 
##                                          (0.001)          (0.0004) 
##                                                                    
## bmi                                     0.013***          0.004*** 
##                                          (0.002)           (0.001) 
##                                                                    
## children                                0.101***          0.115*** 
##                                          (0.010)           (0.004) 
##                                                                    
## smokeryes                               1.547***          1.527*** 
##                                          (0.030)           (0.015) 
##                                                                    
## regionnorthwest                          -0.063*          -0.041***
##                                          (0.035)           (0.015) 
##                                                                    
## regionsoutheast                         -0.157***         -0.118***
##                                          (0.035)           (0.016) 
##                                                                    
## regionsouthwest                         -0.129***         -0.097***
##                                          (0.035)           (0.015) 
##                                                                    
## Constant                                7.001***          6.846*** 
##                                          (0.072)           (0.031) 
##                                                                    
## -------------------------------------------------------------------
## Observations                              1,338             1,338  
## R2                                        0.766             0.939  
## Adjusted R2                               0.765             0.939  
## Residual Std. Error (df = 1330)           0.446             0.207  
## F Statistic                     622.938*** (df = 7; 1330)          
## ===================================================================
## Note:                                   *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01

Interpretación — Comparativa OLS vs MM-Type: El estimador MM-Type reduce el peso de observaciones extremas. La concordancia en signo y magnitud de los coeficientes entre ambas estimaciones confirma que las relaciones detectadas no están siendo distorsionadas por valores atípicos, validando la robustez del modelo especificado.

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5 Pruebas de Hipótesis e Intervalos de Confianza

ic_95 <- confint(modelo, level = 0.95)
ic_99 <- confint(modelo, level = 0.99)

cat("=== Intervalos de Confianza al 95% ===\n")

## === Intervalos de Confianza al 95% ===

print(round(ic_95, 6))

##                     2.5 %    97.5 %
## (Intercept)      6.859631  7.142065
## age              0.032933  0.036365
## bmi              0.008951  0.017192
## children         0.081447  0.121194
## smokeryes        1.487873  1.606720
## regionnorthwest -0.132034  0.005357
## regionsoutheast -0.225861 -0.087773
## regionsouthwest -0.197498 -0.059629

cat("\n=== Intervalos de Confianza al 99% ===\n")

## 
## === Intervalos de Confianza al 99% ===

print(round(ic_99, 6))

##                     0.5 %    99.5 %
## (Intercept)      6.815159  7.186536
## age              0.032393  0.036905
## bmi              0.007653  0.018489
## children         0.075189  0.127452
## smokeryes        1.469160  1.625433
## regionnorthwest -0.153667  0.026990
## regionsoutheast -0.247604 -0.066030
## regionsouthwest -0.219207 -0.037921

Interpretación — Intervalos de Confianza: Los intervalos al 95% y 99% permiten verificar la significancia y precisión de cada estimador:

• age: Intervalo completamente positivo en ambos niveles, confirmando el efecto positivo y robusto de la edad sobre los gastos.
• bmi: Intervalo positivo y estrecho, confirmando el efecto del IMC con alta precisión.
• children: Intervalo completamente positivo; el efecto de los dependientes es estadísticamente robusto.
• smokeryes: Intervalo amplio pero positivo en su totalidad en ambos niveles, reflejando el fuerte y heterogéneo impacto del tabaquismo.
• Regiones southeast y southwest: Intervalos negativos que excluyen el cero, confirmando menores costos respecto a northeast.
• Un intervalo que excluye el cero en ambos niveles de confianza constituye evidencia sólida del efecto estadístico de la variable.

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6 Pronósticos con Corrección de Sesgo Lognormal

# Perfil de referencia para el pronóstico
X_m <- data.frame(
  age      = 35,
  bmi      = 28.5,
  children = 2,
  smoker   = "no",
  region   = "southwest"
)

# Varianza residual para la corrección analítica lognormal
sigma2 <- summary(modelo)$sigma^2
cat("Varianza residual (σ²):", round(sigma2, 6), "\n")

## Varianza residual (σ²): 0.198658

# Intervalos de predicción al 95% y 99%
pred_95 <- predict(modelo, newdata = X_m, interval = "prediction", level = 0.95)
pred_99 <- predict(modelo, newdata = X_m, interval = "prediction", level = 0.99)

# Re-transformación con corrección de sesgo lognormal: E[Y] = exp(μ + σ²/2)
pred_95_exp <- exp(pred_95 + sigma2 / 2)
pred_99_exp <- exp(pred_99 + sigma2 / 2)

tabla_pronosticos <- rbind(pred_95_exp, pred_99_exp)
rownames(tabla_pronosticos) <- c("95%", "99%")
colnames(tabla_pronosticos) <- c("Pronóstico (USD)", "Límite Inf (USD)", "Límite Sup (USD)")

cat("=== Pronósticos e intervalos re-transformados a dólares ===\n")

## === Pronósticos e intervalos re-transformados a dólares ===

print(round(tabla_pronosticos, 2))

##     Pronóstico (USD) Límite Inf (USD) Límite Sup (USD)
## 95%          6370.89          2653.05         15298.67
## 99%          6370.89          2013.43         20158.76

Interpretación — Pronóstico: Para un individuo de 35 años, IMC 28.5, 2 hijos, no fumador y residente en la región southwest, el modelo proyecta un gasto médico anual esperado de $6,370.89.

La corrección de sesgo lognormal exp(pred + σ²/2) es necesaria porque la simple re-exponenciación de la media logarítmica subestima el valor esperado en escala original. Esta corrección es estándar en modelos con variable dependiente transformada logarítmicamente.

• Intervalo al 95%: entre $2,653.05 y $15,298.67.
• Intervalo al 99%: entre $2,013.43 y $20,158.76.

La amplitud de los intervalos refleja la variabilidad natural de los gastos médicos individuales, que son intrínsecamente difíciles de predecir con alta precisión a nivel individual.

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7 Simulación de Validación Cruzada — 5,000 Réplicas

Um <- function(p, o) ((mean(p) - mean(o))^2) / MSE(p, o)
Us <- function(p, o) ((sd(p)   - sd(o))^2)   / MSE(p, o)
Uc <- function(p, o) (2 * (1 - cor(p, o)) * sd(p) * sd(o)) / MSE(p, o)

set.seed(50)
numero_de_muestras <- 5000

muestras <- insurance$charges %>%
  createDataPartition(p = 0.8, times = numero_de_muestras, list = TRUE)

Resultados_Performance_entrenamiento <- vector("list", numero_de_muestras)
Resultados_Performance_prueba        <- vector("list", numero_de_muestras)

for (j in 1:numero_de_muestras) {
  Datos_Entrenamiento <- insurance[ muestras[[j]], ]
  Datos_Prueba        <- insurance[-muestras[[j]], ]

  mod_sub <- lm(
    log(charges) ~ age + bmi + children + smoker + region,
    data = Datos_Entrenamiento
  )

  pred_train <- mod_sub$fitted.values
  pred_test  <- predict(mod_sub, newdata = Datos_Prueba)

  y_train <- log(Datos_Entrenamiento$charges)
  y_test  <- log(Datos_Prueba$charges)

  Resultados_Performance_entrenamiento[[j]] <- data.frame(
    R2    = R2(pred_train,  y_train),
    RMSE  = RMSE(pred_train, y_train),
    MAE   = MAE(pred_train,  y_train),
    MAPE  = MAPE(pred_train, y_train) * 100,
    THEIL = TheilU(pred_train, y_train, type = 1),
    Um    = Um(pred_train,  y_train),
    Us    = Us(pred_train,  y_train),
    Uc    = Uc(pred_train,  y_train)
  )

  Resultados_Performance_prueba[[j]] <- data.frame(
    R2    = R2(pred_test,  y_test),
    RMSE  = RMSE(pred_test, y_test),
    MAE   = MAE(pred_test,  y_test),
    MAPE  = MAPE(pred_test, y_test) * 100,
    THEIL = TheilU(pred_test, y_test, type = 1),
    Um    = Um(pred_test,  y_test),
    Us    = Us(pred_test,  y_test),
    Uc    = Uc(pred_test,  y_test)
  )
}

bind_rows(Resultados_Performance_entrenamiento) %>%
  stargazer(title = "Métricas Consolidadas — Entrenamiento 80% (5,000 iteraciones)",
            type = "text", digits = 3)

## 
## Métricas Consolidadas — Entrenamiento 80% (5,000 iteraciones)
## ==========================================
## Statistic   N   Mean  St. Dev.  Min   Max 
## ------------------------------------------
## R2        5,000 0.766  0.008   0.742 0.792
## RMSE      5,000 0.444  0.007   0.418 0.464
## MAE       5,000 0.280  0.005   0.261 0.299
## MAPE      5,000 3.057  0.058   2.843 3.267
## THEIL     5,000 0.024  0.0004  0.023 0.025
## Um        5,000 0.000  0.000     0     0  
## Us        5,000 0.066  0.003   0.058 0.075
## Uc        5,000 0.934  0.003   0.926 0.943
## ------------------------------------------

bind_rows(Resultados_Performance_prueba) %>%
  stargazer(title = "Capacidad Predictiva Real — Prueba 20% (5,000 réplicas)",
            type = "text", digits = 3)

## 
## Capacidad Predictiva Real — Prueba 20% (5,000 réplicas)
## ============================================
## Statistic   N   Mean  St. Dev.   Min    Max 
## --------------------------------------------
## R2        5,000 0.765  0.031    0.662  0.863
## RMSE      5,000 0.447  0.027    0.358  0.538
## MAE       5,000 0.283  0.015    0.234  0.335
## MAPE      5,000 3.088  0.157    2.571  3.683
## THEIL     5,000 0.024  0.002    0.019  0.030
## Um        5,000 0.004  0.005    0.000  0.045
## Us        5,000 0.072  0.033   0.00002 0.219
## Uc        5,000 0.928  0.034    0.777  1.001
## --------------------------------------------

Interpretación — Simulación de Validación Cruzada:

Muestra de entrenamiento (80%): El R² promedio y el MAPE (calculado sobre log(charges)) reflejan el ajuste del modelo en cada partición. Un MAPE en torno al 3% sobre la escala logarítmica confirma que la transformación resolvió el problema de variabilidad extrema de los gastos originales: en niveles, el MAPE típico de este tipo de datos supera el 40–60%.

Muestra de prueba (20%): El R² en datos no vistos debe ser cercano al de entrenamiento, confirmando ausencia de sobreajuste. Esta es una ventaja directa de la especificación parsimonious: al no sobre-ajustar a los datos de entrenamiento, el modelo generaliza eficazmente a nuevas observaciones. Un modelo con términos cuadráticos e interacciones suele mostrar una brecha mayor entre R² de entrenamiento y prueba.

Descomposición de Theil: El coeficiente U de Theil próximo a cero indica que el modelo supera ampliamente al pronóstico ingenuo (naive). El escenario deseable —y esperado con este modelo— es que el error se concentre en el componente de covarianza (Uc ≈ 1), con errores sistemáticos de media (Um) y varianza (Us) próximos a cero. Esto confirma que los residuales son de naturaleza aleatoria e impredecible, validando la correcta especificación del modelo.

---

8 Conclusiones

El modelo log-lineal con cinco regresores, especificado bajo el principio de parsimonia, ofrece una representación econométricamente sólida, interpretable y con excelente capacidad predictiva de los factores de riesgo en el seguro de gastos médicos. Los hallazgos principales son:

1. El tabaquismo es el principal factor de riesgo individual, con un incremento de aproximadamente 370% en gastos médicos respecto a no fumadores con igual perfil.
2. La edad y el IMC presentan efectos positivos y significativos al 1%, coherentes con la teoría actuarial: mayor edad y mayor índice de masa corporal se traducen en mayores costos médicos de forma sistemática.
3. El número de hijos contribuye significativamente, reflejando la estructura de cobertura familiar de los planes de seguro.
4. La región geográfica introduce variaciones en costos explicadas por diferencias en acceso y costo de vida, siendo la región southeast la de menores cargos relativos.
5. La transformación logarítmica de la variable dependiente corrige la asimetría positiva de los gastos, estabiliza la varianza y reduce el MAPE a niveles inferiores al 5%, frente a valores superiores al 40% en un modelo en niveles.
6. La especificación parsimonious elimina la multicolinealidad estructural: todos los VIFs son bajos (< 5), en contraste con modelos que incluyen age² e interacciones donde los VIFs superan 10 por construcción.
7. La simulación con 5,000 réplicas confirma estabilidad del ajuste, ausencia de sobreajuste entre entrenamiento y prueba, y errores predominantemente aleatorios según la descomposición de Theil.
8. Los errores estándar HC1 garantizan la validez de la inferencia estadística ante la heterocedasticidad detectada.

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9 Referencias Bibliográficas

• Wooldridge, J. M. (2010). Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. MIT Press.
• Greene, W. H. (2018). Econometric Analysis (8th ed.). Pearson.
• White, H. (1980). A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity. Econometrica, 48(4), 817–838.
• Theil, H. (1966). Applied Economic Forecasting. North-Holland.
• Kaggle Dataset: Medical Cost Personal Datasets. https://www.kaggle.com/datasets/mirichoi0218/insurance