Regresión Lineal Múltiple y Significancia de Variables

Introducción

La regresión lineal múltiple es una técnica estadística que permite explicar el comportamiento de una variable respuesta utilizando dos o más variables independientes.

A diferencia de la regresión lineal simple, donde existe una sola variable explicativa, la regresión múltiple permite analizar simultáneamente el efecto de varios factores.

Su forma general es:

\[ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_kX_k+\varepsilon \]

Donde:

\(Y\) = Variable dependiente
\(X_1,X_2,\ldots,X_k\) = Variables independientes
\(\beta_0\) = Intercepto
\(\beta_i\) = Coeficientes de regresión
\(\varepsilon\) = Error aleatorio

Objetivo

Determinar cuáles variables explicativas influyen significativamente sobre las ventas de una empresa.

Base de Datos

Supongamos que una empresa desea estudiar el efecto de:

Publicidad
Precio
Número de vendedores

sobre las ventas mensuales.

ventas <- c(120,135,140,150,155,160,170,175,180,190)

publicidad <- c(10,12,14,15,16,18,20,22,24,25)

precio <- c(25,24,24,23,22,22,21,20,20,19)

vendedores <- c(3,3,4,4,5,5,6,6,7,7)

datos <- data.frame(
  ventas,
  publicidad,
  precio,
  vendedores
)

datos

##    ventas publicidad precio vendedores
## 1     120         10     25          3
## 2     135         12     24          3
## 3     140         14     24          4
## 4     150         15     23          4
## 5     155         16     22          5
## 6     160         18     22          5
## 7     170         20     21          6
## 8     175         22     20          6
## 9     180         24     20          7
## 10    190         25     19          7

Exploración Inicial

summary(datos)

##      ventas        publicidad        precio        vendedores
##  Min.   :120.0   Min.   :10.00   Min.   :19.00   Min.   :3   
##  1st Qu.:142.5   1st Qu.:14.25   1st Qu.:20.25   1st Qu.:4   
##  Median :157.5   Median :17.00   Median :22.00   Median :5   
##  Mean   :157.5   Mean   :17.60   Mean   :22.00   Mean   :5   
##  3rd Qu.:173.8   3rd Qu.:21.50   3rd Qu.:23.75   3rd Qu.:6   
##  Max.   :190.0   Max.   :25.00   Max.   :25.00   Max.   :7

Matriz de Dispersión

pairs(datos,
      main = "Matriz de Dispersión")

La matriz permite observar relaciones preliminares entre las variables.

Ajuste del Modelo

modelo <- lm(
  ventas ~ publicidad + precio + vendedores,
  data = datos
)

modelo

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ publicidad + precio + vendedores, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)   publicidad       precio   vendedores  
##     250.011        2.313       -5.815       -1.057

Resumen del Modelo

summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ publicidad + precio + vendedores, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.5925 -1.3711  0.6278  1.5308  3.2709 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)  250.011     82.684   3.024   0.0233 *
## publicidad     2.313      1.508   1.533   0.1761  
## precio        -5.815      2.867  -2.028   0.0889 .
## vendedores    -1.057      3.711  -0.285   0.7853  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.064 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9869, Adjusted R-squared:  0.9804 
## F-statistic: 151.1 on 3 and 6 DF,  p-value: 4.852e-06

Interpretación del Resumen

En el resultado aparecen varios elementos importantes:

Coeficientes

Cada coeficiente representa el cambio esperado en las ventas cuando la variable aumenta una unidad y las demás permanecen constantes.

Valor t

Se utiliza para realizar una prueba de hipótesis sobre cada coeficiente.

Valor-p

Permite determinar si una variable es significativa.

R²

Mide qué porcentaje de la variabilidad de las ventas es explicado por el modelo.

Prueba de Hipótesis para Cada Variable

Para cada coeficiente se plantea:

Hipótesis Nula

\[ H_0:\beta_i=0 \]

La variable no tiene efecto significativo.

Hipótesis Alternativa

\[ H_1:\beta_i\neq0 \]

La variable sí tiene efecto significativo.

Nivel de Significancia

Se utilizará:

\[ \alpha=0.05 \]

Regla de decisión:

Si Valor-p < 0.05 → Rechazar H₀
Si Valor-p ≥ 0.05 → No rechazar H₀

Extracción de Valores-p

coeficientes <- summary(modelo)$coefficients

coeficientes

##               Estimate Std. Error    t value   Pr(>|t|)
## (Intercept) 250.011013  82.683572  3.0237084 0.02328567
## publicidad    2.312775   1.508248  1.5334187 0.17606546
## precio       -5.814978   2.867114 -2.0281644 0.08888948
## vendedores   -1.057269   3.711192 -0.2848865 0.78530884

Tabla de Significancia

pvalores <- coeficientes[,4]

tabla_significancia <- data.frame(
  Variable = rownames(coeficientes),
  Valor_p = round(pvalores,5),
  Significativa = ifelse(
    pvalores < 0.05,
    "Sí",
    "No"
  )
)

tabla_significancia

##                Variable Valor_p Significativa
## (Intercept) (Intercept) 0.02329            Sí
## publicidad   publicidad 0.17607            No
## precio           precio 0.08889            No
## vendedores   vendedores 0.78531            No

Variables Significativas

significativas <- tabla_significancia[
  tabla_significancia$Significativa=="Sí",
]

significativas

##                Variable Valor_p Significativa
## (Intercept) (Intercept) 0.02329            Sí

Coeficiente de Determinación

r2 <- summary(modelo)$r.squared

r2

## [1] 0.9869374

Interpretación:

## El modelo explica aproximadamente 98.69 % de la variabilidad observada en las ventas.

Predicciones

Supongamos:

Publicidad = 30
Precio = 18
Vendedores = 8

nuevo <- data.frame(
  publicidad = 30,
  precio = 18,
  vendedores = 8
)

predict(modelo,nuevo)

##        1 
## 206.2665

Ventas Observadas vs Predichas

predicciones <- predict(modelo)

plot(
  ventas,
  predicciones,
  pch=19,
  main="Ventas Observadas vs Predichas",
  xlab="Ventas Observadas",
  ylab="Ventas Predichas"
)

abline(0,1,
       col="red",
       lwd=3)

Mientras más cerca estén los puntos de la línea roja, mejor es el ajuste.

Análisis de Residuos

residuos <- residuals(modelo)

plot(
  fitted(modelo),
  residuos,
  pch=19,
  main="Residuos vs Valores Ajustados",
  xlab="Valores Ajustados",
  ylab="Residuos"
)

abline(
  h=0,
  col="red",
  lwd=3
)

Interpretación de Resultados

## Las variables que presentan evidencia estadística de influencia sobre las ventas son: (Intercept) . Esto se determinó mediante pruebas de hipótesis individuales utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Conclusiones

La regresión lineal múltiple permite analizar simultáneamente el efecto de varias variables independientes sobre una variable respuesta.

Las pruebas de hipótesis sobre los coeficientes permiten identificar cuáles variables contribuyen significativamente al modelo.

El criterio utilizado es el valor-p:

Valor-p < 0.05 → Variable significativa.
Valor-p ≥ 0.05 → Variable no significativa.

Esta metodología es ampliamente utilizada en Ingeniería Industrial, Control de Calidad, Finanzas, Mercadotecnia y Ciencia de Datos para la toma de decisiones basadas en evidencia estadística.

Regresión Lineal Múltiple y Prueba de Hipótesis para Variables Significativas

Alejandro Rosas Flores

2026-06-12