La Paradoja de Monty Hall: Explicación y Simulación en R
Alejandro Rosas Flores
2026-06-12
La Paradoja de Monty Hall
Introducción
La paradoja de Monty Hall es uno de los problemas más famosos de la teoría de la probabilidad.
Su nombre proviene del programa de televisión estadounidense Let’s Make a Deal, conducido por Monty Hall.
Aunque la respuesta correcta parece contraintuitiva, las matemáticas demuestran que cambiar de puerta aumenta la probabilidad de ganar.
El Problema
Un concursante participa en un juego con tres puertas:
- Detrás de una puerta hay un automóvil.
- Detrás de las otras dos puertas hay cabras.
El participante selecciona una puerta.
Posteriormente, el conductor del programa abre una de las dos puertas restantes mostrando una cabra.
Ahora quedan dos puertas cerradas:
- La puerta inicialmente elegida.
- Otra puerta cerrada.
El conductor pregunta:
¿Desea quedarse con su elección original o cambiar de puerta?
¿Qué harías?
La mayoría de las personas piensa que:
- Hay dos puertas.
- Una tiene el automóvil.
- La otra tiene una cabra.
Por lo tanto, creen que la probabilidad es:
\[ 50\% \quad \text{y} \quad 50\% \]
Sin embargo, esta conclusión es incorrecta.
Análisis Probabilístico
Cuando el jugador selecciona una puerta por primera vez:
- Probabilidad de elegir el automóvil:
\[ P(\text{Automóvil})=\frac{1}{3} \]
- Probabilidad de elegir una cabra:
\[ P(\text{Cabra})=\frac{2}{3} \]
Por lo tanto:
- Quedarse conserva la probabilidad inicial de ganar:
\[ P(\text{Ganar quedándose})=\frac{1}{3} \]
- Cambiar aprovecha la probabilidad acumulada de las otras dos puertas:
\[ P(\text{Ganar cambiando})=\frac{2}{3} \]
Resumen Gráfico
probabilidades <- c(1/3, 2/3)
barplot(probabilidades,
names.arg = c("Quedarse","Cambiar"),
col = c("gray","lightblue"),
ylim = c(0,1),
main = "Probabilidad de Ganar",
ylab = "Probabilidad")
abline(h = seq(0,1,0.1),
col = "lightgray",
lty = 3)
Ejemplo Ilustrativo
Supongamos que eliges la Puerta 1.
| Puerta | Contenido |
|---|---|
| 1 | Cabra |
| 2 | Automóvil |
| 3 | Cabra |
Seleccionas la Puerta 1.
Monty Hall sabe dónde está el automóvil y abre la Puerta 3 mostrando una cabra.
Ahora puedes:
- Quedarte con la Puerta 1 (pierdes).
- Cambiar a la Puerta 2 (ganas).
¿Por qué ocurre esto?
Monty Hall no abre una puerta al azar.
Él conoce dónde está el premio.
Siempre:
- Abre una puerta con cabra.
- Nunca abre la puerta con el automóvil.
- Nunca abre tu puerta elegida.
Esta información adicional modifica las probabilidades.
Simulación Computacional
La mejor forma de comprobar el resultado es mediante simulación.
Realizaremos 10,000 juegos.
Estrategia 1: Quedarse
set.seed(123)
n <- 10000
ganar_quedandose <- 0
for(i in 1:n){
premio <- sample(1:3,1)
jugador <- sample(1:3,1)
if(jugador == premio){
ganar_quedandose <- ganar_quedandose + 1
}
}
prob_quedarse <- ganar_quedandose/n
prob_quedarse## [1] 0.3383Estrategia 2: Cambiar
ganar_cambiando <- 0
for(i in 1:n){
premio <- sample(1:3,1)
jugador <- sample(1:3,1)
if(jugador != premio){
ganar_cambiando <- ganar_cambiando + 1
}
}
prob_cambiar <- ganar_cambiando/n
prob_cambiar## [1] 0.6806Comparación de Resultados
resultados <- c(prob_quedarse,
prob_cambiar)
barplot(resultados,
names.arg = c("Quedarse","Cambiar"),
col = c("orange","lightgreen"),
ylim = c(0,1),
main = "Resultados de 10,000 Simulaciones",
ylab = "Probabilidad de Ganar")
abline(h = seq(0,1,0.1),
col = "gray",
lty = 3)
Tabla Resumen
tabla <- data.frame(
Estrategia = c("Quedarse",
"Cambiar"),
Probabilidad = c(prob_quedarse,
prob_cambiar)
)
tabla## Estrategia Probabilidad
## 1 Quedarse 0.3383
## 2 Cambiar 0.6806Resultados Esperados
Después de muchas simulaciones se obtienen valores cercanos a:
| Estrategia | Probabilidad |
|---|---|
| Quedarse | 0.33 |
| Cambiar | 0.67 |
Esto confirma la teoría matemática.
Interpretación
La simulación demuestra que:
- Quedarse gana aproximadamente una de cada tres veces.
- Cambiar gana aproximadamente dos de cada tres veces.
Por lo tanto:
\[ P(\text{Cambiar}) > P(\text{Quedarse}) \]
Aplicaciones
La paradoja de Monty Hall es importante porque demuestra que:
- La intuición humana puede fallar.
- La información adicional modifica probabilidades.
- Las simulaciones ayudan a verificar resultados teóricos.
- La probabilidad condicional es fundamental para la toma de decisiones.
Conclusiones
La paradoja de Monty Hall constituye uno de los ejemplos más sorprendentes de la teoría de la probabilidad.
Aunque intuitivamente parece que ambas puertas tienen una probabilidad del 50%, el análisis matemático demuestra que cambiar de puerta ofrece una probabilidad de éxito cercana al 66.7%, mientras que permanecer con la elección original ofrece solamente un 33.3%.
Las simulaciones realizadas en R confirman los resultados teóricos y muestran cómo la estadística puede utilizarse para comprender fenómenos aparentemente contradictorios.