Desafio das Distribuições Discretas

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.title[
# Desafio das Distribuições Discretas
]
.subtitle[
## Geométrica · Hipergeométrica · Binomial Negativa
]
.author[
### Probabilidade e Estatística — ITC020
]
.institute[
### Universidade Federal do Amazonas — UFAM
]
.date[
### 2026.1
]

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# 🎯 Desafio das Distribuições Discretas

### "Uma linha de produção sob pressão — três modelos para entender o risco"

**10 equipes · 4 integrantes · 3 distribuições**

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# 🏭 Contexto do Problema

.pull-left[
### O Sistema
Uma fábrica de componentes eletrônicos **AmazonTech Ind.** enfrenta:

- Falhas intermitentes na linha de montagem
- Lotes de produção com peças defeituosas eventuais
- Necessidade de k inspeções aprovadas para liberar novo lote
]

.pull-right[
### Os Dados
| Parâmetro | Valor |
|-----------|-------|
| P(falha por ciclo de montagem) | 0,15 |
| Lote: 20 peças, 5 defeituosas | — |
| P(peça aprovada na inspeção) | 0,80 |
| Meta: 3 lotes aprovados | — |

> Cada equipe receberá uma **variação dos parâmetros**
> no cartão de missão 🎴
]

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# PARTE 1
## Distribuição Geométrica
### "Quanto tempo até a primeira falha na linha?"

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# 📋 Missão 1 — Distribuição Geométrica

.pull-left[
### Cenário
A linha de montagem da **AmazonTech Ind.** apresenta falha com probabilidade **p = 0,15** a cada ciclo de produção independente.

### Sua missão
> *"Qual a probabilidade de a **primeira** falha ocorrer exatamente no k-ésimo ciclo de montagem?"*
]

.pull-right[
### Tarefas da Equipe

**① Identifique** o modelo: por que Geométrica?

**② Calcule:**
- P(X = 1), P(X = 3), P(X = 5)
- E[X] e Var(X)

**③ Interprete:** O que E[X] significa para o gestor de produção?

**④ Desafio extra:** P(X > 5) — risco de operação prolongada sem falha detectada
]

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# 🔢 Distribuição Geométrica — Referência Rápida

.pull-left[
### Fórmula
`$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$`

### Esperança e Variância
`$$E[X] = \frac{1}{p} \qquad Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$$`
]

.pull-right[
### Interpretação em Produção
| Quantidade | Significado operacional |
|-----------|------------------------|
| E[X] | Ciclos médios até 1ª falha |
| P(X = 1) | Risco imediato na abertura do turno |
| P(X > k) | Confiabilidade até k ciclos |

> **Pergunta-gatilho:** Se p cai de 0,15 para 0,05
> após uma melhoria de processo (Kaizen),
> o que muda no E[X]? Vale o investimento?
]

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# ✏️ Ficha de Registro — Geométrica

### Equipe: _____________ | Integrantes: _________________________________

| Cálculo | Expressão | Resultado | Interpretação |
|---------|-----------|-----------|---------------|
| P(X = 1) | | | |
| P(X = 3) | | | |
| P(X = 5) | | | |
| E[X] | | | |
| Var(X) | | | |
| P(X > 5) | | | |

.center[
> **Ticket de saída (individual):** Em uma frase, o que a distribuição Geométrica
> responde que as outras não respondem?
]

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# PARTE 2
## Distribuição Hipergeométrica
### "Quantas peças defeituosas estão no seu lote?"

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# 📋 Missão 2 — Distribuição Hipergeométrica

.pull-left[
### Cenário
Um lote de **N = 20 peças** será liberado para a linha de montagem.
Sabe-se que **K = 5 peças são defeituosas**.
O Controle de Qualidade (CQ) inspeciona uma amostra de **n = 6 peças** antes da liberação.

### Sua missão
> *"Qual a probabilidade de a amostra conter exatamente x peças defeituosas?"*
]

.pull-right[
### Tarefas da Equipe

**① Identifique** o modelo: por que **não** é Binomial?

**② Calcule:**
- P(X = 0): nenhuma peça defeituosa na amostra
- P(X = 1): exatamente 1 defeituosa
- P(X ≥ 2): 2 ou mais defeituosas

**③ Calcule** E[X] e Var(X)

**④ Decisão:** Com P(X = 0) calculado, o CQ libera o lote?
Qual o risco assumido pela produção?
]

---

# 🔢 Distribuição Hipergeométrica — Referência Rápida

.pull-left[
### Fórmula
`$$P(X = x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$`

onde:
- **N** = tamanho do lote (população)
- **K** = peças defeituosas no lote
- **n** = tamanho da amostra inspecionada
- **x** = defeituosas encontradas na amostra
]

.pull-right[
### Esperança e Variância
`$$E[X] = n \cdot \frac{K}{N}$$`

`$$Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$$`

> **Atenção:** O fator `$\frac{N-n}{N-1}$` é a
> **correção de população finita** —
> ausente na Binomial!
>
> Em lotes pequenos, ignorá-la
> **superestima** a variabilidade.
]

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# ✏️ Ficha de Registro — Hipergeométrica

### Equipe: _____________ | Integrantes: _________________________________

**Parâmetros:** N = ___ | K = ___ | n = ___

| Cálculo | Expressão | Resultado | Interpretação |
|---------|-----------|-----------|---------------|
| P(X = 0) | | | |
| P(X = 1) | | | |
| P(X = 2) | | | |
| P(X ≥ 2) | | | |
| E[X] | | | |
| Var(X) | | | |

.center[
> **Decisão da equipe:** O lote deve ser liberado para produção?
> Defina um limite de risco aceitável e justifique com base nos cálculos.
]

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# PARTE 3
## Distribuição Binomial Negativa
### "Quantas inspeções até atingir a meta de lotes aprovados?"

---

# 📋 Missão 3 — Binomial Negativa

.pull-left[
### Cenário
Cada lote submetido à inspeção final tem probabilidade **p = 0,80** de aprovação (independente).
A linha só é liberada para entrega após **r = 3 lotes aprovados consecutivamente**.

### Sua missão
> *"Qual a probabilidade de serem necessárias exatamente x inspeções
> para obter os 3 lotes aprovados?"*
]

.pull-right[
### Tarefas da Equipe

**① Identifique** o modelo: como difere da Geométrica?

**② Calcule:**
- P(X = 3): 3 inspeções (sem reprovação)
- P(X = 4): exatamente 1 reprovação no caminho
- P(X = 5): exatamente 2 reprovações

**③ Calcule** E[X] e Var(X)

**④ Planejamento:** Quantas inspeções o PCP deve provisionar
para garantir folga operacional no cronograma?
]

---

# 🔢 Distribuição Binomial Negativa — Referência Rápida

.pull-left[
### Fórmula
`$$P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}$$`

onde:
- **r** = número de aprovações desejadas
- **p** = probabilidade de aprovação
- **x** = número total de inspeções
  (x = r, r+1, r+2, ...)
]

.pull-right[
### Esperança e Variância
`$$E[X] = \frac{r}{p} \qquad Var(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$$`

> **Conexão:** Quando r = 1,
> a Binomial Negativa
> **reduz-se à Geométrica**!
>
> Consegue demonstrar isso
> algebricamente? 🎯
]

---

# ✏️ Ficha de Registro — Binomial Negativa

### Equipe: _____________ | Integrantes: _________________________________

**Parâmetros:** r = ___ | p = ___

| Cálculo | Expressão | Resultado | Interpretação |
|---------|-----------|-----------|---------------|
| P(X = 3) | | | |
| P(X = 4) | | | |
| P(X = 5) | | | |
| P(X ≤ 5) | | | |
| E[X] | | | |
| Var(X) | | | |

.center[
> **Planejamento (PCP):** Quantas inspeções reservar para garantir
> os 3 lotes aprovados com 90% de probabilidade?
]

---
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# PARTE 4
## Missão Integradora
### "As três distribuições, uma linha de produção"

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# 🔗 Missão Integradora — Conectando os Modelos

.pull-left[
### O Problema Completo
A **AmazonTech Ind.** precisa planejar sua próxima janela de manutenção preventiva.
O time de Engenharia de Produção quer responder **três perguntas simultaneamente**:

1. **Geométrica:** A cada ciclo, quando ocorrerá a primeira falha detectada?

2. **Hipergeométrica:** Dos lotes selecionados para retrabalho, quantos têm peças defeituosas?

3. **Bin. Negativa:** Quantas inspeções até estabilizar com 3 lotes consecutivos aprovados?
]

.pull-right[
### Tarefa Final da Equipe

**① Monte** um mini-relatório técnico (½ página) conectando os três resultados

**② Responda:** Qual distribuição gera **maior incerteza** (maior Var)?
O que isso implica em termos de **custo, prazo e alocação de recursos**?

**③ Apresente** em 3 minutos para a turma:
- 1 resultado por distribuição
- 1 decisão gerencial baseada nos cálculos
- 1 limitação do modelo aplicado

> 🏆 A equipe com a **melhor justificativa de decisão gerencial**
> recebe pontuação extra na AC!
]

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# 📊 Cartões de Missão — Variação por Equipe

.center[
| Equipe | p (Geom.) | N / K / n (Hiper.) | r / p (Bin. Neg.) |
|--------|-----------|-------------------|------------------|
| 1 | 0,10 | 20 / 4 / 5 | 3 / 0,75 |
| 2 | 0,15 | 20 / 5 / 6 | 3 / 0,80 |
| 3 | 0,20 | 25 / 5 / 7 | 3 / 0,85 |
| 4 | 0,12 | 25 / 6 / 7 | 4 / 0,75 |
| 5 | 0,18 | 30 / 6 / 8 | 4 / 0,80 |
| 6 | 0,10 | 30 / 7 / 8 | 4 / 0,85 |
| 7 | 0,25 | 20 / 3 / 6 | 2 / 0,70 |
| 8 | 0,08 | 25 / 4 / 8 | 5 / 0,90 |
| 9 | 0,20 | 30 / 8 / 9 | 3 / 0,70 |
| 10 | 0,15 | 35 / 7 / 9 | 5 / 0,80 |
]

> Cada equipe resolve com **seus parâmetros** — resultados diferentes, mesmo modelo!

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# ⏱️ Organização da Aula

.pull-left[
| Etapa | Tempo | Atividade |
|-------|-------|-----------|
| Abertura | 5 min | Apresentação do contexto fabril |
| Missão 1 | 15 min | Geométrica em equipe |
| Missão 2 | 15 min | Hipergeométrica em equipe |
| Missão 3 | 15 min | Binomial Negativa em equipe |
| Integradora | 15 min | Relatório técnico + decisão |
| Apresentações | 15 min | 3 min por equipe (sorteio) |
| Consolidação | 5 min | Ticket de saída individual |
| **Total** | **85 min** | |
]

.pull-right[
### Critérios de Avaliação (AC)

| Item | Peso |
|------|------|
| Cálculos corretos | 40% |
| Interpretação contextual | 30% |
| Decisão gerencial justificada | 20% |
| Clareza na apresentação | 10% |

> **Ticket de saída (individual):**
> "Qual distribuição usaria para modelar
> o número de inspeções até o 5º lote
> aprovado na linha? Justifique."
]

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# 📐 Conexões entre as Distribuições

.pull-left[
### Hierarquia dos Modelos

| Caso especial | Resulta em |
|---------------|-----------|
| Bin. Negativa com r = 1 | **Geométrica** |
| Hipergeométrica com N → ∞ | **Binomial** |
| Binomial com n → ∞, p → 0 | **Poisson** |

> A Geométrica é o **bloco fundamental**:
> conta tentativas até 1 sucesso.
> A Binomial Negativa **generaliza** isso
> para r sucessos.
]

.pull-right[
### O que cada modelo responde em produção

| Distribuição | Pergunta respondida |
|-------------|-------------------|
| **Geométrica** | Quando ocorre a 1ª falha? |
| **Hipergeométrica** | Quantos defeitos num lote amostrado? |
| **Bin. Negativa** | Quantas tentativas até r aprovações? |

> **Ponto de atenção:** A Hipergeométrica
> é a única das três que **não assume
> reposição** — crucial em lotes finitos
> de produção!
]

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# Bom trabalho a todas as equipes!

### "Engenharia de Produção é tomar decisões sob incerteza —
### a estatística é a ferramenta que torna essa incerteza mensurável."

**Probabilidade e Estatística — ITC020 | UFAM | 2026.1**