計量経済I：復習テスト9

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 9～14 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（7 月 28 日の予定）にまとめて提出すること．

1. D をダミー変数とする．以下を示しなさい．

1. D^2=D

2. (1-D)^2=(1-D)

3. D(1-D)=0

4. [DX+(1-D)Y]^2=DX^2+(1-D)Y^2

解答例

1. D=0,1 で 0^2=0，1^2=1 より D^2=D．

2. 1-D=0,1 なので前問と同様．

3. 前々問より \begin{align*} D(1-D) & =D-D^2 \\ & =D-D \\ & =0 \end{align*}

4. 前 3 問より \begin{align*} [DX+(1-D)Y]^2 & =D^2X^2+2D(1-D)XY+(1-D)^2Y^2 \\ & =DX^2+(1-D)Y^2 \end{align*}

2. D をダミー変数とする．以下を示しなさい（ヒント：ベルヌーイ分布の平均と分散）．

1. \operatorname{E}(D)=\Pr[D=1]

2. \operatorname{E}\left(D^2\right)=\Pr[D=1]

3. \operatorname{var}(D)=\Pr[D=1](1-\Pr[D=1])

解答例

1. 期待値の定義より \begin{align*} \operatorname{E}(D) & :=0\cdot\Pr[D=0]+1\cdot\Pr[D=1] \\ & =\Pr[D=1] \end{align*}

2. D^2=D と前問より \begin{align*} \operatorname{E}\left(D^2\right) & =\operatorname{E}(D) \\ & =\Pr[D=1] \end{align*}

3. 分散の計算公式と前 2 問より \begin{align*} \operatorname{var}(D) & =\operatorname{E}\left(D^2\right)-\operatorname{E}(D)^2 \\ & =\operatorname{E}(D)-\operatorname{E}(D)^2 \\ & =\operatorname{E}(D)(1-\operatorname{E}(D)) \\ & =\Pr[D=1](1-\Pr[D=1]) \end{align*}