Desafio das Distribuições Discretas

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.title[
# Desafio das Distribuições Discretas
]
.subtitle[
## Geométrica · Hipergeométrica · Binomial Negativa
]
.author[
### Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues
]
.institute[
### Universidade Federal do Amazonas — UFAM
]
.date[
### Probabilidade e Estatística — ITC020 | 2026.1
]

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# 🎯 Desafio das Distribuições Discretas

### "Um sistema sob pressão — três modelos para entender o risco"

**10 equipes · 4 integrantes · 3 distribuições**

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# 🖥️ Contexto do Problema

.pull-left[
### O Sistema
Uma plataforma de streaming amazônica **StreamAM** enfrenta:

- Falhas intermitentes no servidor de autenticação
- Lotes de deploy com bugs eventuais  
- Necessidade de k deploys bem-sucedidos para liberar nova versão
]

.pull-right[
### Os Dados
| Parâmetro | Valor |
|-----------|-------|
| P(falha por login) | 0,15 |
| Lote de deploy: 20 módulos, 5 com bug | — |
| P(deploy bem-sucedido) | 0,80 |
| Meta: 3 deploys ok | — |

> Cada equipe receberá uma **variação dos parâmetros** 
> no cartão de missão 🎴
]

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# PARTE 1
## Distribuição Geométrica
### "Quanto tempo até a primeira falha?"

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# 📋 Missão 1 — Distribuição Geométrica

.pull-left[
### Cenário
O sistema de login da **StreamAM** apresenta falha com probabilidade **p = 0,15** a cada tentativa independente.

### Sua missão
> *"Qual a probabilidade de a **primeira** falha ocorrer exatamente na k-ésima tentativa de login?"*
]

.pull-right[
### Tarefas da Equipe

**① Identifique** o modelo: por que Geométrica?

**② Calcule:**
- P(X = 1), P(X = 3), P(X = 5)
- E[X] e Var(X)

**③ Interprete:** O que E[X] significa para o time de operações?

**④ Desafio extra:** P(X > 5) — risco de operação prolongada sem falha detectada
]

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# 🔢 Distribuição Geométrica — Referência Rápida

.pull-left[
### Fórmula
`$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$`

### Esperança e Variância
`$$E[X] = \frac{1}{p} \qquad Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$$`
]

.pull-right[
### Interpretação em TI
| Quantidade | Significado operacional |
|-----------|------------------------|
| E[X] | Tentativas médias até 1ª falha |
| P(X = 1) | Risco imediato |
| P(X > k) | Confiabilidade até k tentativas |

> **Pergunta-gatilho:** Se p cai de 0,15 para 0,05 após uma atualização, 
> o que muda no E[X]? Vale o esforço do time?
]

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# ✏️ Ficha de Registro — Geométrica

### Equipe: _____________ | Integrantes: _________________________________

| Cálculo | Expressão | Resultado | Interpretação |
|---------|-----------|-----------|---------------|
| P(X = 1) | | | |
| P(X = 3) | | | |
| P(X = 5) | | | |
| E[X] | | | |
| Var(X) | | | |
| P(X > 5) | | | |

.center[
> **Ticket de saída (individual):** Em uma frase, o que a distribuição Geométrica 
> responde que as outras não respondem?
]

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# PARTE 2
## Distribuição Hipergeométrica
### "Quantos bugs estão no seu lote de deploy?"

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# 📋 Missão 2 — Distribuição Hipergeométrica

.pull-left[
### Cenário
Um lote de **N = 20 módulos** será submetido a deploy.  
Sabe-se que **K = 5 módulos contêm bugs**.  
O time de QA inspeciona uma amostra de **n = 6 módulos** antes do deploy.

### Sua missão
> *"Qual a probabilidade de a amostra conter exatamente x módulos com bug?"*
]

.pull-right[
### Tarefas da Equipe

**① Identifique** o modelo: por que **não** é Binomial?

**② Calcule:**
- P(X = 0): nenhum bug na amostra
- P(X = 1): exatamente 1 bug
- P(X ≥ 2): 2 ou mais bugs

**③ Calcule** E[X] e Var(X)

**④ Decisão:** Com P(X = 0) calculado, o time aprova o deploy?  
Qual o risco assumido?
]

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# 🔢 Distribuição Hipergeométrica — Referência Rápida

.pull-left[
### Fórmula
`$$P(X = x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$`

onde:
- **N** = tamanho da população
- **K** = itens de interesse na população  
- **n** = tamanho da amostra
- **x** = itens de interesse na amostra
]

.pull-right[
### Esperança e Variância
`$$E[X] = n \cdot \frac{K}{N}$$`

`$$Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$$`

> **Atenção:** O fator `$\frac{N-n}{N-1}$` é a  
> **correção de população finita** —  
> ausente na Binomial!
]

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# ✏️ Ficha de Registro — Hipergeométrica

### Equipe: _____________ | Integrantes: _________________________________

**Parâmetros:** N = ___ | K = ___ | n = ___

| Cálculo | Expressão | Resultado | Interpretação |
|---------|-----------|-----------|---------------|
| P(X = 0) | | | |
| P(X = 1) | | | |
| P(X = 2) | | | |
| P(X ≥ 2) | | | |
| E[X] | | | |
| Var(X) | | | |

.center[
> **Decisão da equipe:** O deploy deve ser aprovado? Justifique com base nos cálculos.
]

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# PARTE 3
## Distribuição Binomial Negativa
### "Quantos deploys até atingir a meta?"

---

# 📋 Missão 3 — Binomial Negativa

.pull-left[
### Cenário
Cada deploy tem probabilidade **p = 0,80** de sucesso (independente).  
A nova versão só é liberada após **r = 3 deploys bem-sucedidos**.

### Sua missão
> *"Qual a probabilidade de serem necessárias exatamente x tentativas 
> para obter os 3 deploys bem-sucedidos?"*
]

.pull-right[
### Tarefas da Equipe

**① Identifique** o modelo: como difere da Geométrica?

**② Calcule:**
- P(X = 3): 3 tentativas (sem falha)
- P(X = 4): exatamente 1 falha no caminho
- P(X = 5): exatamente 2 falhas

**③ Calcule** E[X] e Var(X)

**④ Planejamento:** Quantas tentativas o time deve provisionar  
para ter folga operacional?
]

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# 🔢 Distribuição Binomial Negativa — Referência Rápida

.pull-left[
### Fórmula
`$$P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}$$`

onde:
- **r** = número de sucessos desejados
- **p** = probabilidade de sucesso
- **x** = número total de tentativas  
  (x = r, r+1, r+2, ...)
]

.pull-right[
### Esperança e Variância
`$$E[X] = \frac{r}{p} \qquad Var(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$$`

> **Conexão:** Quando r = 1,  
> a Binomial Negativa  
> **reduz-se à Geométrica**!  
>  
> Consegue mostrar isso  
> algebricamente? 🎯
]

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# ✏️ Ficha de Registro — Binomial Negativa

### Equipe: _____________ | Integrantes: _________________________________

**Parâmetros:** r = ___ | p = ___

| Cálculo | Expressão | Resultado | Interpretação |
|---------|-----------|-----------|---------------|
| P(X = 3) | | | |
| P(X = 4) | | | |
| P(X = 5) | | | |
| P(X ≤ 5) | | | |
| E[X] | | | |
| Var(X) | | | |

.center[
> **Planejamento:** Quantas tentativas reservar para garantir os 3 deploys com 90% de confiança?
]

---
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# PARTE 4
## Missão Integradora
### "As três distribuições, um sistema"

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# 🔗 Missão Integradora — Conectando os Modelos

.pull-left[
### O Problema Completo
A **StreamAM** precisa planejar sua próxima janela de manutenção.  
O time de engenharia quer responder **três perguntas ao mesmo tempo**:

1. **Geométrica:** Quantas tentativas de login até a 1ª falha ser detectada?

2. **Hipergeométrica:** Dos módulos selecionados para hotfix, quantos têm bug?

3. **Bin. Negativa:** Quantos deploys até estabilizar com 3 versões limpas?
]

.pull-right[
### Tarefa Final da Equipe

**① Monte** um mini-relatório (½ página) conectando os três resultados

**② Responda:** Qual distribuição gera **maior incerteza** (maior Var)?  
O que isso implica para o planejamento?

**③ Apresente** em 3 minutos para a turma:
- 1 resultado por distribuição
- 1 decisão gerencial baseada nos cálculos
- 1 limitação do modelo

> 🏆 A equipe com a **melhor justificativa de decisão**  
> recebe pontuação extra na AC!
]

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# 📊 Cartões de Missão — Variação por Equipe

.center[
| Equipe | p (Geom.) | N / K / n (Hiper.) | r / p (Bin. Neg.) |
|--------|-----------|-------------------|------------------|
| 1 | 0,10 | 20 / 4 / 5 | 3 / 0,75 |
| 2 | 0,15 | 20 / 5 / 6 | 3 / 0,80 |
| 3 | 0,20 | 25 / 5 / 7 | 3 / 0,85 |
| 4 | 0,12 | 25 / 6 / 7 | 4 / 0,75 |
| 5 | 0,18 | 30 / 6 / 8 | 4 / 0,80 |
| 6 | 0,10 | 30 / 7 / 8 | 4 / 0,85 |
| 7 | 0,25 | 20 / 3 / 6 | 2 / 0,70 |
| 8 | 0,08 | 25 / 4 / 8 | 5 / 0,90 |
| 9 | 0,20 | 30 / 8 / 9 | 3 / 0,70 |
| 10 | 0,15 | 35 / 7 / 9 | 5 / 0,80 |
]

> Cada equipe resolve com **seus parâmetros** — resultados diferentes, mesmo modelo!

---

# ⏱️ Organização da Aula

.pull-left[
| Etapa | Tempo | Atividade |
|-------|-------|-----------|
| Abertura | 5 min | Apresentação do contexto |
| Missão 1 | 15 min | Geométrica em equipe |
| Missão 2 | 15 min | Hipergeométrica em equipe |
| Missão 3 | 15 min | Binomial Negativa em equipe |
| Integradora | 15 min | Relatório + decisão |
| Apresentações | 15 min | 3 min por equipe (sorteio) |
| Consolidação | 5 min | Ticket de saída individual |
| **Total** | **85 min** | |
]

.pull-right[
### Critérios de Avaliação (AC)

| Item | Peso |
|------|------|
| Cálculos corretos | 40% |
| Interpretação contextual | 30% |
| Decisão gerencial justificada | 20% |
| Clareza na apresentação | 10% |

> **Ticket de saída (individual):**  
> "Qual distribuição usaria para modelar  
> o tempo até o 5º bug encontrado  
> em produção? Justifique."
]

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# 📐 Conexões entre as Distribuições

.center[As distribuições de probabilidade estão interligadas por meio de suas propriedades e aplicações. Por exemplo, a distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos raros, enquanto a distribuição de Poisson modela o número de eventos em um intervalo de tempo fixo. Essas distribuições são complementares e podem ser usadas juntas para analisar fenômenos como falhas em sistemas ou ocorrências de bugs em software.]