Aufgabe 13a)

Aufgabenstellung: Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, geht durch den Punkt P(2|−7), hat einen Hochpunkt bei x = 1 und die Tangente an der Stelle x = 0, 5 hat die Steigung 1, 5. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Überprüfung und Plot in R

# Definition der Funktion
f_a <- function(x) { -x^4 + 2*x^2 + 1 }

# Daten für den Plot
x_vals <- seq(-2.5, 2.5, length.out = 200)
y_vals <- f_a(x_vals)

df_a <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

# Plot erstellen
ggplot(df_a, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkblue", size = 1.2) +
  geom_point(aes(x = 2, y = -7), color = "red", size = 3) + # Punkt P
  geom_point(aes(x = 1, y = f_a(1)), color = "green", size = 3) + # Hochpunkt
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Lösung 13a: f(x) = -x^4 + 2x^2 + 1",
       subtitle = "Rot: P(2|-7), Grün: Hochpunkt bei x=1",
       x = "x", y = "f(x)") +
  theme_minimal()

Aufgabe 13b)

Aufgabenstellung: Gesucht ist die Polynomfunktion 3. Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und den Hochpunkt H(1|2) hat.

Überprüfung und Plot in R

# Definition der Funktion
f_b <- function(x) { -x^3 + 3*x }

# Daten für den Plot
x_vals <- seq(-2.5, 2.5, length.out = 200)
y_vals <- f_b(x_vals)

df_b <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

# Plot erstellen
ggplot(df_b, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkgreen", size = 1.2) +
  geom_point(aes(x = 1, y = 2), color = "red", size = 3) + # Hochpunkt H(1|2)
  geom_point(aes(x = -1, y = -2), color = "blue", size = 3, shape = 1) + # Tiefpunkt (Symmetrie)
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Lösung 13b: f(x) = -x^3 + 3x",
       subtitle = "Rot: Hochpunkt H(1|2), Blau: Tiefpunkt T(-1|-2)",
       x = "x", y = "f(x)") +
  theme_minimal()

Aufgabe 13c)

Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Polynomfunktion 3. Grades, deren Graph durch A(2|−7) und B(0|3) geht und den Tiefpunkt T(1|1) hat.

Überprüfung und Plot in R

# Definition der Funktion
f_c <- function(x) { -5*x^3 + 12*x^2 - 9*x + 3 }

# Daten für den Plot
x_vals <- seq(-0.5, 2.5, length.out = 200)
y_vals <- f_c(x_vals)

df_c <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

# Plot erstellen
ggplot(df_c, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "purple", size = 1.2) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 3), color = "black", size = 3) + # Punkt B
  geom_point(aes(x = 1, y = 1), color = "green", size = 3) + # Tiefpunkt T
  geom_point(aes(x = 2, y = -7), color = "red", size = 3) + # Punkt A
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Lösung 13c: f(x) = -5x^3 + 12x^2 - 9x + 3",
       subtitle = "Schwarz: B(0|3), Grün: T(1|1), Rot: A(2|-7)",
       x = "x", y = "f(x)") +
  theme_minimal()

Aufgabe 13d)

Aufgabenstellung: Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades hat im Punkt W(0|2) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Er schneidet die x-Achse an der Stelle x = −1, die Tangente hat in diesem Kurvenpunkt die Steigung 4. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Überprüfung und Plot in R

# Definition der Funktion
f_d <- function(x) { 2*x^4 + 4*x^3 + 2 }

# Daten für den Plot
x_vals <- seq(-2.5, 1.5, length.out = 200)
y_vals <- f_d(x_vals)

df_d <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

# Plot erstellen
ggplot(df_d, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "orange", size = 1.2) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 2), color = "blue", size = 3) + # Wendepunkt W
  geom_point(aes(x = -1, y = 0), color = "red", size = 3) + # Nullstelle
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Lösung 13d: f(x) = 2x^4 + 4x^3 + 2",
       subtitle = "Blau: W(0|2) mit waagrechter Tangente, Rot: Nullstelle bei x=-1",
       x = "x", y = "f(x)") +
  theme_minimal()