Aufgabenstellung

Bestimmen Sie eine Polynomfunktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist:

a) und den Punkt \(A(0|2)\) enthält sowie den Tiefpunkt \(T(1|0)\) hat.

b) und in \(W(1|0)\) eine Wendetangente mit der Steigung 8 hat.

Allgemeiner Ansatz

Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, darf die Funktion nur gerade Potenzen von \(x\) enthalten. Ein Polynom 4. Grades hat daher folgende allgemeine Form:

\[f(x) = ax^4 + bx^2 + c\]

Um die Koeffizienten \[a\], \[b\] und \[c\] zu bestimmen, benötigen wir drei Bedingungen. Dazu bilden wir zuerst die ersten beiden Ableitungen:

  1. Funktion: \[f(x) = ax^4 + bx^2 + c\]
  2. 1. Ableitung: \[f'(x) = 4ax^3 + 2bx\] (notwendig für Extremstellen und Steigung)
  3. 2. Ableitung: \[f''(x) = 12ax^2 + 2b\] (notwendig für Wendestellen)

Lösung Teil a)

Gegebene Bedingungen

  1. Punkt \[A(0|2)\]: Der Graph geht durch den Punkt bei \[x=0, y=2\]. \[f(0) = 2\]
  2. Tiefpunkt \[T(1|0)\]: Der Graph geht durch den Punkt bei \[x=1, y=0\]. \[f(1) = 0\]
  3. Extremstelle bei \[x=1\]: An einem Tiefpunkt ist die Steigung (1. Ableitung) gleich Null. \[f'(1) = 0\]

Aufstellen des Gleichungssystems

Aus Bedingung 1 (\[f(0) = 2\]): \[a \cdot 0^4 + b \cdot 0^2 + c = 2\] \[\Rightarrow c = 2\]

Aus Bedingung 2 (\[f(1) = 0\]): \[a \cdot 1^4 + b \cdot 1^2 + c = 0\] \[a + b + c = 0\] Da wir wissen, dass \[c=2\] ist: \[a + b + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = -2 \quad \text{(Gleichung I)}\]

Aus Bedingung 3 (\[f'(1) = 0\]): \[4a \cdot 1^3 + 2b \cdot 1 = 0\] \[4a + 2b = 0\] Teilen durch 2: \[2a + b = 0 \quad \text{(Gleichung II)}\]

Lösen des Systems

Wir haben das System: 1. \[a + b = -2\] 2. \[2a + b = 0\]

Aus Gleichung II folgt: \[b = -2a\]. Dies setzen wir in Gleichung I ein: \[a + (-2a) = -2\] \[-a = -2\] \[\mathbf{a = 2}\]

Nun berechnen wir \[b\]: \[b = -2 \cdot 2\] \[\mathbf{b = -4}\]

Wir haben bereits: \[\mathbf{c = 2}\]

Ergebnis für Teil a)

Die gesuchte Funktion lautet: \[f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 2\]

Lösung Teil b)

Gegebene Bedingungen

  1. Punkt \[W(1|0)\]: Der Graph geht durch den Punkt bei \[x=1, y=0\]. \[f(1) = 0\]
  2. Wendepunkt bei \[x=1\]: An einer Wendestelle ist die 2. Ableitung gleich Null. \[f''(1) = 0\]
  3. Steigung 8: Die Wendetangente hat die Steigung 8, also ist die 1. Ableitung an dieser Stelle 8. \[f'(1) = 8\]

(Hinweis: Hier ist \[c\] nicht sofort bekannt, wir müssen ein System aus drei Variablen lösen.)

Aufstellen des Gleichungssystems

Aus Bedingung 1 (\[f(1) = 0\]): \[a \cdot 1^4 + b \cdot 1^2 + c = 0\] \[a + b + c = 0 \quad \text{(Gleichung I)}\]

Aus Bedingung 2 (\[f''(1) = 0\]): \[12a \cdot 1^2 + 2b = 0\] \[12a + 2b = 0\] Teilen durch 2: \[6a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -6a \quad \text{(Gleichung II)}\]

Aus Bedingung 3 (\[f'(1) = 8\]): \[4a \cdot 1^3 + 2b \cdot 1 = 8\] \[4a + 2b = 8\] Teilen durch 2: \[2a + b = 4 \quad \text{(Gleichung III)}\]

Lösen des Systems

Wir setzen den Ausdruck für \[b\] aus Gleichung II (\[b = -6a\]) in Gleichung III ein: \[2a + (-6a) = 4\] \[-4a = 4\] \[\mathbf{a = -1}\]

Nun berechnen wir \[b\] mit Gleichung II: \[b = -6 \cdot (-1)\] \[\mathbf{b = 6}\]

Nun setzen wir \[a\] und \[b\] in Gleichung I ein, um \[c\] zu finden: \[(-1) + 6 + c = 0\] \[5 + c = 0\] \[\mathbf{c = -5}\]

Ergebnis für Teil b)

Die gesuchte Funktion lautet: \[f(x) = -x^4 + 6x^2 - 5\]

Zusammenfassung der Ergebnisse

Teilaufgabe Funktionsgleichung
a) \[f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 2\]
b) \[f(x) = -x^4 + 6x^2 - 5\]

Überprüfung mit R-Code

Du kannst den folgenden Code in R-Studio ausführen, um die Graphen zu visualisieren und die Ergebnisse zu überprüfen.

# Definition der Funktionen
f_a <- function(x) { 2*x^4 - 4*x^2 + 2 }
f_b <- function(x) { -x^4 + 6*x^2 - 5 }

# Erstellung des Plots
# Wir plotten beide Funktionen in ein Koordinatensystem
curve(f_a, from = -2, to = 2, col = "blue", lwd = 2, 
      main = "Vergleich der Polynomfunktionen (Aufgabe 6)", 
      ylab = "f(x)", xlab = "x")

curve(f_b, from = -2, to = 2, col = "red", lwd = 2, add = TRUE)

# Hinzufügen einer Legende
legend("topright", 
       legend = c("Teil a): f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 2", 
                  "Teil b): f(x) = -x^4 + 6x^2 - 5"), 
       col = c("blue", "red"), 
       lwd = 2)

# Hinzufügen der Punkte zur visuellen Kontrolle
# Teil a: A(0,2) und T(1,0)
points(0, 2, col = "blue", pch = 19, cex = 1.5)
points(1, 0, col = "blue", pch = 19, cex = 1.5)

# Teil b: W(1,0)
points(1, 0, col = "red", pch = 4, cex = 1.5, lwd = 2)