Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Polynomfunktion \(f\) mit Graph \(K_f\).
Der Grad von \(f\) ist 2.
Der Punkt \(H(3|2)\) ist Hochpunkt von \(K_f\).
Der Punkt \(P(0|-2{,}5)\) liegt auf \(K_f\).
Der Grad von \(f\) ist 3.
\(K_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Im Punkt \(P(1|-2)\) hat \(K_f\) die Steigung \(2\).
Da der Grad von \(f\) gleich 2 ist, hat die Funktion die Form
\[ f(x)=ax^2+bx+c. \]
Da der Hochpunkt bekannt ist, verwenden wir direkt die Scheitelpunktform:
\[ f(x)=a(x-3)^2+2. \]
Der Scheitelpunkt liegt bei
\[ H(3|2). \]
Da es sich um einen Hochpunkt handelt, muss gelten:
\[ a<0. \]
Der Punkt
\[ P(0|-2{,}5) \]
liegt auf dem Graphen.
Deshalb gilt:
\[ -2{,}5=a(0-3)^2+2. \]
Vereinfachen:
\[ -2{,}5=9a+2. \]
\[ -4{,}5=9a. \]
\[ a=-0{,}5. \]
Einsetzen von \(a=-0{,}5\):
\[ f(x)=-0{,}5(x-3)^2+2. \]
Dies ist bereits ein korrekter Funktionsterm.
Für \(x=0\):
\[ f(0) = -0{,}5\cdot 9+2 = -4{,}5+2 = -2{,}5. \]
Der Punkt \(P(0|-2{,}5)\) liegt auf dem Graphen.
✔ Bedingung erfüllt.
\[ \boxed{f(x)=-0{,}5(x-3)^2+2} \]
oder ausmultipliziert
\[ \boxed{f(x)=-0{,}5x^2+3x-2{,}5}. \]
Eine Funktion dritten Grades lautet allgemein:
\[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. \]
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das bedeutet:
\[ f(-x)=-f(x). \]
Eine solche Funktion enthält nur ungerade Potenzen.
Damit entfällt der \(x^2\)-Term und das konstante Glied.
Es bleibt:
\[ f(x)=ax^3+cx. \]
Der Punkt
\[ P(1|-2) \]
liegt auf dem Graphen.
Also:
\[ f(1)=-2. \]
Einsetzen:
\[ a+c=-2. \]
Damit erhalten wir die erste Gleichung:
\[ (1)\qquad a+c=-2 \]
Die Steigung im Punkt \(P(1|-2)\) beträgt 2.
Dazu benötigen wir die Ableitung:
\[ f'(x)=3ax^2+c. \]
Nun einsetzen:
\[ f'(1)=2. \]
\[ 3a+c=2. \]
Damit erhalten wir die zweite Gleichung:
\[ (2)\qquad 3a+c=2 \]
Wir haben:
\[ a+c=-2 \]
\[ 3a+c=2 \]
Subtraktion:
\[ (3a+c)-(a+c)=2-(-2) \]
\[ 2a=4 \]
\[ a=2. \]
Einsetzen in Gleichung (1):
\[ 2+c=-2 \]
\[ c=-4. \]
Einsetzen von \(a=2\) und \(c=-4\):
\[ f(x)=2x^3-4x. \]
\[ f(1)=2\cdot1^3-4\cdot1 =2-4 =-2. \]
✔ Punkt liegt auf dem Graphen.
\[ f'(x)=6x^2-4 \]
\[ f'(1)=6-4=2. \]
✔ Steigung stimmt.
\[ f(-x) = 2(-x)^3-4(-x) = -2x^3+4x = -(2x^3-4x). \]
\[ f(-x)=-f(x). \]
✔ Punktsymmetrie zum Ursprung.
\[ \boxed{f(x)=2x^3-4x} \]
\[ \boxed{f(x)=-0{,}5(x-3)^2+2} \]
bzw.
\[ \boxed{f(x)=-0{,}5x^2+3x-2{,}5} \]
\[ \boxed{f(x)=2x^3-4x} \]
Damit sind alle Bedingungen der Aufgaben erfüllt.