Contoh estimasi nilai ekspektasi pelemparan dua dadu.

Nilai ekspektasi teoritis (manual): E(X)=7 karena rata-rata jumlah dua dadu adalah: E(X)=3.5+3.5=7

set.seed(150)

# Nilai ekspektasi teoritis
ekspektasi_teoritis <- 7

# Jumlah simulasi
n_sim <- c(1000, 5000, 20000)

# Menyimpan hasil
hasil <- numeric(length(n_sim))

for(i in 1:length(n_sim)){

  n <- n_sim[i]

  dadu1 <- sample(1:6,
                  size = n,
                  replace = TRUE)

  dadu2 <- sample(1:6,
                  size = n,
                  replace = TRUE)

  total <- dadu1 + dadu2

  hasil[i] <- mean(total)
}

# Tabel hasil
data.frame(
  Simulasi = n_sim,
  Ekspektasi_Simulasi = hasil,
  Ekspektasi_Teoritis = ekspektasi_teoritis,
  Selisih = abs(hasil - ekspektasi_teoritis)
)
##   Simulasi Ekspektasi_Simulasi Ekspektasi_Teoritis Selisih
## 1     1000              7.0940                   7  0.0940
## 2     5000              6.9886                   7  0.0114
## 3    20000              7.0124                   7  0.0124
# Memunculkan Plot
barplot(
  hasil,
  names.arg = n_sim,
  main = "Perbandingan Nilai Ekspektasi Simulasi",
  ylab = "Ekspektasi",
  xlab = "Jumlah Simulasi"
)

abline(h = 7,
       lty = 2,
       lwd = 2)

Analisi:

Berdasarkan hasil simulasi, nilai ekspektasi yang diperoleh mendekati nilai ekspektasi teoritis sebesar 7 untuk seluruh jumlah simulasi yang digunakan. Pada 1.000 simulasi diperoleh nilai ekspektasi sebesar 7,0940 dengan selisih 0,0940 dari nilai teoritis. Ketika jumlah simulasi ditingkatkan menjadi 5.000, nilai ekspektasi menjadi 6,9886 dengan selisih yang lebih kecil yaitu 0,0114. Pada 20.000 simulasi diperoleh nilai ekspektasi sebesar 7,0124 dengan selisih 0,0124.

Hasil tersebut menunjukkan bahwa peningkatan jumlah simulasi cenderung menghasilkan estimasi yang semakin dekat dengan nilai teoritis. Meskipun pada 20.000 simulasi selisihnya sedikit lebih besar dibandingkan 5.000 simulasi, perbedaannya sangat kecil dan masih berada sangat dekat dengan nilai teoritis. Hal ini terjadi karena semakin banyak simulasi yang dilakukan, pengaruh variasi acak menjadi semakin kecil sehingga rata-rata hasil simulasi akan cenderung mendekati nilai harapan sebenarnya sesuai dengan Hukum Bilangan Besar (Law of Large Numbers). Oleh karena itu, jumlah simulasi yang lebih besar umumnya menghasilkan estimasi yang lebih stabil, konsisten, dan akurat dibandingkan jumlah simulasi yang lebih kecil.

Kesimpulan:

Simulasi Monte Carlo dilakukan dengan jumlah pengulangan 1.000, 5.000, dan 20.000 kali untuk mengestimasi nilai ekspektasi teoritis sebesar 7. Hasil simulasi menunjukkan bahwa seluruh estimasi berada dekat dengan nilai teoritis, dengan selisih terkecil diperoleh pada 5.000 simulasi yaitu 0,0114. Secara umum, peningkatan jumlah simulasi menghasilkan estimasi yang semakin stabil dan mendekati nilai teoritis karena berkurangnya pengaruh kesalahan acak dalam proses simulasi. Dengan demikian, semakin besar jumlah simulasi yang digunakan, semakin baik kualitas estimasi yang diperoleh.