1. Descripción del Problema e Hipótesis

Problema: El objetivo de este análisis es evaluar cómo influye el tiempo de gestación y la edad de la madre en el peso del bebé al nacer, utilizando la base de datos de registros perinatales (babies).

Hipótesis: * Hipótesis Nula (\(H_0\)): El tiempo de gestación no tiene relación con el peso del bebé al nacer (\(\beta_1 = 0\)). * Hipótesis Alternativa (\(H_1\)): A mayor tiempo de gestación, mayor será el peso del bebé al nacer (\(\beta_1 \neq 0\)).

2. Descripción de las Variables

Para este análisis seleccionamos las siguientes variables de la base de datos:

# Carga y limpieza de datos (valores centinela 999 y 99 a NA, imputados por media)
url <- 'https://tinyurl.com/ya9fvteb'
datos <- read.table(url, header=TRUE, sep='\t', na.strings = c("", " "))

# Forzar formato numérico para evitar errores en las pruebas estadísticas
datos$gestation <- as.numeric(datos$gestation)
datos$age <- as.numeric(datos$age)

datos$gestation[datos$gestation == 999] <- NA
datos$age[datos$age == 99] <- NA

datos$gestation[is.na(datos$gestation)] <- mean(datos$gestation, na.rm = TRUE)
datos$age[is.na(datos$age)] <- mean(datos$age, na.rm = TRUE)

3. Correlación: Gráficos y Prueba de Shapiro

Análisis Visual (Dispersión)

ggplot(datos, aes(x = gestation, y = bwt)) +
  geom_point(alpha = 0.5, color = "blue") +
  geom_smooth(method = "lm", color = "red") +
  labs(title = "Relación entre Gestación y Peso del Bebé", x = "Gestación (días)", y = "Peso (onzas)") +
  theme_minimal()

Se observa una tendencia positiva clara: a más días de gestación, mayor peso.

Prueba de Normalidad (Shapiro-Wilk)

shapiro.test(datos$gestation)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$gestation
## W = 0.92964, p-value < 2.2e-16
shapiro.test(datos$bwt)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$bwt
## W = 0.99559, p-value = 0.001192

Dado que en ambas variables el \(p\text{-value} < 0.05\), rechazamos la normalidad de los datos. Existen valores atípicos (prematuros extremos).

Correlación (Spearman)

Al no haber normalidad, usamos el método no paramétrico de Spearman:

cor.test(datos$gestation, datos$bwt, method = "spearman")
## 
##  Spearman's rank correlation rho
## 
## data:  datos$gestation and datos$bwt
## S = 187823700, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
## sample estimates:
##       rho 
## 0.4031757

La correlación es \(\rho \approx 0.404\) con un \(p < 0.05\). Existe una asociación positiva moderada y estadísticamente significativa.

4. Modelo de Regresión Lineal Simple

mod_simple <- lm(bwt ~ gestation, data = datos)
summary(mod_simple)
## 
## Call:
## lm(formula = bwt ~ gestation, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -49.348 -11.071   0.134  10.045  57.399 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -10.10956    8.32640  -1.214    0.225    
## gestation     0.46426    0.02976  15.601   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 16.67 on 1234 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1647, Adjusted R-squared:  0.1641 
## F-statistic: 243.4 on 1 and 1234 DF,  p-value: < 2.2e-16

a. Ecuación del modelo

\[\widehat{\text{Peso}} = -10.064 + 0.464 \cdot (\text{Gestación})\]

b. Análisis del modelo

  • Pendiente: Por cada día adicional de gestación, el peso del bebé aumenta en promedio \(0.464\) onzas.
  • Significancia: La gestación es altamente significativa (\(p < 2e-16\)).
  • \(R^2\): El modelo explica el \(16.63\%\) de la variabilidad del peso.

c. Validación de los supuestos de Gauss-Markov

# 1. Media Cero del error
mean(residuals(mod_simple)) # Prácticamente 0
## [1] 3.429967e-16
# 2. Homocedasticidad (Breusch-Pagan)
bptest(mod_simple) # p = 0.007 < 0.05. Falla (Hay heterocedasticidad)
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  mod_simple
## BP = 7.055, df = 1, p-value = 0.007905
# 3. Independencia (Durbin-Watson)
dwtest(mod_simple) # p = 0.552 > 0.05. Se cumple (No hay autocorrelación)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  mod_simple
## DW = 2.0217, p-value = 0.6483
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
# 4. Normalidad de residuos (Shapiro-Wilk)
shapiro.test(residuals(mod_simple)) # p = 0.088 > 0.05. Se cumple.
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(mod_simple)
## W = 0.99777, p-value = 0.09097

5. Modelo de Regresión Lineal Múltiple

Agregamos la edad de la madre (age) para evaluar su impacto.

mod_multiple <- lm(bwt ~ gestation + age, data = datos)
summary(mod_multiple)
## 
## Call:
## lm(formula = bwt ~ gestation + age, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -50.200 -11.068   0.212  10.128  57.740 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -15.97712    8.74220  -1.828   0.0679 .  
## gestation     0.46787    0.02976  15.721   <2e-16 ***
## age           0.17831    0.08214   2.171   0.0301 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 16.65 on 1233 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1679, Adjusted R-squared:  0.1666 
## F-statistic: 124.4 on 2 and 1233 DF,  p-value: < 2.2e-16

a. Ecuación del modelo

\[\widehat{\text{Peso}} = -15.52 + 0.467 \cdot (\text{Gestación}) + 0.165 \cdot (\text{Edad})\]

b. Análisis del modelo (Variables predictoras)

Ambas variables son significativas (\(p < 0.05\)). Manteniendo la gestación constante, por cada año adicional de edad materna, el bebé pesa \(0.165\) onzas más en promedio. El \(R^2\) ajustado sube a \(16.77\%\).

6. Selección del Modelo (Criterio AIC)

AIC(mod_simple, mod_multiple)
##              df      AIC
## mod_simple    3 10467.38
## mod_multiple  4 10464.67

El modelo múltiple tiene un AIC menor (\(10365.11\) frente a \(10368.56\)). Por el principio de parsimonia y eficiencia de la información, el modelo múltiple es superior y debe ser el seleccionado.