Gegeben sind die Aussagen:
a) Jedes LGS mit vier Variablen und vier Gleichungen besitzt genau eine Lösung.
b) Jedes LGS kann durch Äquivalenzumformungen auf Stufenform gebracht werden.
Untersuchen Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind, und begründen Sie Ihre Antwort.
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen.
Beispiel:
\[ \begin{aligned} x+y &= 3 \\ 2x-y &= 0 \end{aligned} \]
Beim Lösen eines LGS können drei Fälle auftreten:
Deshalb darf man nicht allein aus der Anzahl der Gleichungen und Variablen schließen, dass ein System genau eine Lösung besitzt.
Jedes LGS mit vier Variablen und vier Gleichungen besitzt genau eine Lösung.
Die Aussage behauptet, dass alle linearen Gleichungssysteme mit vier Variablen und vier Gleichungen genau eine Lösung haben.
Dafür reicht ein Gegenbeispiel aus, um die Aussage zu widerlegen.
\[ \begin{aligned} x+y+z+w &= 1 \\ x+y+z+w &= 2 \\ x-y+z-w &= 0 \\ 2x+y-z+w &= 3 \end{aligned} \]
Die ersten beiden Gleichungen haben dieselbe linke Seite, aber unterschiedliche rechte Seiten.
Es müsste also gleichzeitig gelten:
\[ x+y+z+w=1 \]
und
\[ x+y+z+w=2. \]
Das ist unmöglich.
Das System besitzt daher keine Lösung.
\[ \begin{aligned} x+y+z+w &= 1 \\ 2x+2y+2z+2w &= 2 \\ 3x+3y+3z+3w &= 3 \\ 4x+4y+4z+4w &= 4 \end{aligned} \]
Alle vier Gleichungen sind Vielfache der ersten Gleichung.
Tatsächlich bleibt nur die Bedingung
\[ x+y+z+w=1. \]
Es gibt unendlich viele Zahlenkombinationen, die diese Gleichung erfüllen.
Beispielsweise:
\[ (1,0,0,0), \]
aber auch
\[ (0,1,0,0), \]
oder
\[ (0,0,1,0). \]
Das System besitzt also unendlich viele Lösungen.
Da es LGS mit vier Gleichungen und vier Variablen gibt, die
besitzen, ist die Aussage falsch.
\[ \boxed{\text{Die Aussage a) ist falsch.}} \]
Jedes LGS kann durch Äquivalenzumformungen auf Stufenform gebracht werden.
Eine Matrix befindet sich in Stufenform, wenn die führenden Elemente (Pivot-Elemente) von Zeile zu Zeile weiter nach rechts rücken.
Beispiel:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Die Nullen unter den Pivot-Elementen bilden eine „Treppenform“.
Beim Gauß-Verfahren darf man:
Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge nicht.
Mit den oben genannten Umformungen kann man systematisch:
Genau so funktioniert das Gaußsche Eliminationsverfahren.
Dadurch lässt sich jedes lineare Gleichungssystem in eine Stufenform überführen.
Selbst wenn das System
besitzt, kann die Matrix dennoch in Stufenform gebracht werden.
Aus
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]
subtrahiert man das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Die Matrix liegt nun in Stufenform vor.
Das Gauß-Verfahren zeigt, dass jedes lineare Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen auf Stufenform gebracht werden kann.
\[ \boxed{\text{Die Aussage b) ist wahr.}} \]
| Aussage | Wahr/Falsch | Begründung |
|---|---|---|
| a) Jedes LGS mit vier Variablen und vier Gleichungen besitzt genau eine Lösung. | Falsch | Es gibt Systeme mit keiner oder unendlich vielen Lösungen. |
| b) Jedes LGS kann durch Äquivalenzumformungen auf Stufenform gebracht werden. | Wahr | Das Gauß-Verfahren ermöglicht dies für jedes lineare Gleichungssystem. |
\[ \boxed{\text{a) falsch}} \]
\[ \boxed{\text{b) wahr}} \]