Gegeben sind erweiterte Koeffizientenmatrizen eines linearen Gleichungssystems.
Gesucht sind die Werte von \(a\), für die das Gleichungssystem
besitzt.
Zur Erinnerung:
Ein lineares Gleichungssystem besitzt
\[ 0= c \qquad (c\neq 0) \]
entsteht.
Gegeben ist die Matrix
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&3&4\\ 0&2&1&5\\ 0&0&0&a \end{array} \right) \]
Die dritte Zeile entspricht der Gleichung
\[ 0x_1+0x_2+0x_3=a \]
also
\[ 0=a. \]
Dann lautet die letzte Zeile
\[ 0=0. \]
Diese Zeile liefert keine zusätzliche Information.
Es bleiben nur zwei unabhängige Gleichungen für drei Variablen.
Mindestens eine Variable kann frei gewählt werden.
Folglich gibt es unendlich viele Lösungen.
Dann entsteht
\[ 0=a. \]
Dies ist unmöglich.
Es liegt ein Widerspruch vor.
Folglich besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.
| Wert von \(a\) | Anzahl der Lösungen |
|---|---|
| \(a=0\) | unendlich viele |
| \(a\neq0\) | keine Lösung |
Eine eindeutige Lösung gibt es niemals.
Gegeben ist die Matrix
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&3&0&-1\\ 0&1&2&-2\\ 0&1&2&a+1 \end{array} \right) \]
\[ Z_3-Z_2 \]
liefert
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 0&0&0&(a+1)-(-2) \end{array} \right) \]
also
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 0&0&0&a+3 \end{array} \right). \]
Die letzte Zeile entspricht somit
\[ 0=a+3. \]
Dann gilt
\[ 0=0. \]
Die dritte Zeile verschwindet.
Es bleiben nur zwei unabhängige Gleichungen für drei Variablen.
Eine Variable ist frei wählbar.
Folglich gibt es unendlich viele Lösungen.
Dann entsteht
\[ 0=a+3. \]
Dies ist ein Widerspruch.
Folglich besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.
| Wert von \(a\) | Anzahl der Lösungen |
|---|---|
| \(a=-3\) | unendlich viele |
| \(a\neq-3\) | keine Lösung |
Eine eindeutige Lösung gibt es auch hier nicht.
Gegeben ist die Matrix
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&3&4\\ 0&2&4&1\\ 2&-2&6&2a-2 \end{array} \right) \]
Die linke Seite von Zeile 3 ist genau das Doppelte von Zeile 1:
\[ 2\cdot(1,-1,3) = (2,-2,6). \]
Damit die dritte Zeile keine neue Information liefert, muss auch die rechte Seite doppelt so groß sein.
Die rechte Seite von Zeile 1 ist
\[ 4. \]
Das Doppelte davon ist
\[ 8. \]
Daher muss gelten:
\[ 2a-2=8. \]
\[ 2a=10 \]
\[ a=5. \]
Dann wird die dritte Zeile
\[ 2\cdot Z_1. \]
Sie ist also überflüssig.
Es bleiben nur zwei unabhängige Gleichungen für drei Variablen.
Eine Variable kann frei gewählt werden.
Daher gibt es unendlich viele Lösungen.
Dann ist die linke Seite weiterhin das Doppelte von Zeile 1, die rechte Seite aber nicht.
Es entsteht ein Widerspruch.
Beispielsweise erhält man nach
\[ Z_3-2Z_1 \]
die Zeile
\[ (0\;0\;0\;|\;2a-10). \]
Dies entspricht
\[ 0=2a-10. \]
Für \(a\neq5\) ist dies falsch.
Somit gibt es keine Lösung.
| Wert von \(a\) | Anzahl der Lösungen |
|---|---|
| \(a=5\) | unendlich viele |
| \(a\neq5\) | keine Lösung |
Auch hier gibt es niemals genau eine Lösung.
| Teilaufgabe | Keine Lösung | Unendlich viele Lösungen | Genau eine Lösung |
|---|---|---|---|
| a) | \(a\neq0\) | \(a=0\) | keine |
| b) | \(a\neq-3\) | \(a=-3\) | keine |
| c) | \(a\neq5\) | \(a=5\) | keine |
Bei allen drei Teilaufgaben gibt es nur zwei Möglichkeiten:
Da in jedem System weniger unabhängige Gleichungen als Variablen vorhanden sind, kann niemals genau eine Lösung auftreten.