Wir lösen die drei linearen Gleichungssysteme Schritt für Schritt. Dabei verwenden wir hauptsächlich das Einsetzungs- und Additionsverfahren. Jeder Rechenschritt wird ausführlich erklärt.
Gegeben ist das Gleichungssystem:
\[ \begin{aligned} (1)\quad &3x_1-x_2+2x_3=7\\ (2)\quad &x_1+x_2+3x_3=14\\ (3)\quad &3x_1-5x_2-4x_3=-21 \end{aligned} \]
Wir addieren Gleichung (1) und Gleichung (2):
\[ (3x_1-x_2+2x_3)+(x_1+x_2+3x_3)=7+14 \]
\[ 4x_1+5x_3=21 \]
Dies nennen wir Gleichung (4).
\[ (4)\quad 4x_1+5x_3=21 \]
Wir multiplizieren Gleichung (2) mit 5:
\[ 5x_1+5x_2+15x_3=70 \]
Nun addieren wir Gleichung (3):
\[ (5x_1+5x_2+15x_3)+(3x_1-5x_2-4x_3)=70-21 \]
\[ 8x_1+11x_3=49 \]
Dies nennen wir Gleichung (5).
\[ (5)\quad 8x_1+11x_3=49 \]
Gleichung (4):
\[ 4x_1+5x_3=21 \]
Mit 2 multiplizieren:
\[ 8x_1+10x_3=42 \]
Nun von Gleichung (5) abziehen:
\[ (8x_1+11x_3)-(8x_1+10x_3)=49-42 \]
\[ x_3=7 \]
In Gleichung (4) einsetzen:
\[ 4x_1+5\cdot7=21 \]
\[ 4x_1+35=21 \]
\[ 4x_1=-14 \]
\[ x_1=-\frac{14}{4} =-\frac72 \]
In Gleichung (2) einsetzen:
\[ -\frac72+x_2+21=14 \]
\[ x_2=14-21+\frac72 \]
\[ x_2=-7+\frac72 \]
\[ x_2=-\frac72 \]
\[ 3\left(-\frac72\right)-\left(-\frac72\right)+2\cdot7 = -\frac{21}{2}+\frac72+14 = 7 \]
✔ stimmt.
\[ L= \left\{ \left( -\frac72, -\frac72, 7 \right) \right\} \]
Gegeben ist das Gleichungssystem:
\[ \begin{aligned} (1)\quad &4x_1+x_2+x_3=3\\ (2)\quad &3x_1+x_2+2x_3=0\\ (3)\quad &5x_1+2x_2+5x_3=-3 \end{aligned} \]
Gleichung (1) minus Gleichung (2):
\[ (4x_1+x_2+x_3)-(3x_1+x_2+2x_3)=3-0 \]
\[ x_1-x_3=3 \]
Dies nennen wir Gleichung (4).
\[ (4)\quad x_1-x_3=3 \]
Gleichung (3) minus zweimal Gleichung (2):
\[ (5x_1+2x_2+5x_3) -(6x_1+2x_2+4x_3) =-3 \]
\[ -x_1+x_3=-3 \]
Mit \(-1\) multiplizieren:
\[ x_1-x_3=3 \]
Dies ist dieselbe Gleichung wie (4).
Aus (4):
\[ x_1=x_3+3 \]
Wir setzen
\[ x_3=t \]
mit
\[ t\in\mathbb{R} \]
Dann:
\[ x_1=t+3 \]
In Gleichung (1) einsetzen:
\[ 4(t+3)+x_2+t=3 \]
\[ 4t+12+x_2+t=3 \]
\[ 5t+x_2=-9 \]
\[ x_2=-9-5t \]
\[ L= \left\{ \left( t+3,\, -9-5t,\, t \right) \mid t\in\mathbb R \right\} \]
Gegeben ist das Gleichungssystem:
\[ \begin{aligned} (1)\quad &x_1+x_2+x_3=1\\ (2)\quad &x_1+2x_2+2x_3=3\\ (3)\quad &2x_1+x_2+x_3=1 \end{aligned} \]
\[ (x_1+2x_2+2x_3) -(x_1+x_2+x_3) =3-1 \]
\[ x_2+x_3=2 \]
Dies nennen wir Gleichung (4).
\[ (4)\quad x_2+x_3=2 \]
\[ (2x_1+x_2+x_3) -(x_1+x_2+x_3) =1-1 \]
\[ x_1=0 \]
\[ 0+x_2+x_3=1 \]
\[ x_2+x_3=1 \]
Dies steht im Widerspruch zu Gleichung (4):
\[ x_2+x_3=2 \]
Wir erhalten die beiden Aussagen
\[ x_2+x_3=1 \]
und
\[ x_2+x_3=2 \]
Diese können nicht gleichzeitig wahr sein.
Das Gleichungssystem ist daher widersprüchlich.
\[ L=\varnothing \]
| Teilaufgabe | Lösungsmenge |
|---|---|
| a) | \(L=\left\{\left(-\frac72,-\frac72,7\right)\right\}\) |
| b) | \(L=\{(t+3,-9-5t,t)\mid t\in\mathbb R\}\) |
| c) | \(L=\varnothing\) |