Wir lösen die drei linearen Gleichungssysteme Schritt für Schritt mit dem Einsetzungs- und Additionsverfahren. Ziel ist es, die Werte für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) zu bestimmen.
Gegeben ist das Gleichungssystem:
\[ \begin{aligned} (1)\quad & x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ (2)\quad & x_1 + x_2 = 2 \\ (3)\quad & 2x_1 + 2x_3 = 4 \end{aligned} \]
Aus (2) erhalten wir direkt:
\[ x_1+x_2=2 \]
Setzen wir dies in (1) ein:
\[ 2+x_3=0 \]
\[ x_3=-2 \]
\[ 2x_1+2(-2)=4 \]
\[ 2x_1-4=4 \]
\[ 2x_1=8 \]
\[ x_1=4 \]
Mit Gleichung (2):
\[ 4+x_2=2 \]
\[ x_2=-2 \]
\[ 4+(-2)+(-2)=0 \]
✔ stimmt.
\[ L=\{(4,-2,-2)\} \]
Gegeben ist das Gleichungssystem:
\[ \begin{aligned} (1)\quad &4x_1+x_2+7x_3=12\\ (2)\quad &5x_1+10x_3=5\\ (3)\quad &-x_1-2x_2=-2 \end{aligned} \]
Alle Terme durch 5 teilen:
\[ x_1+2x_3=1 \]
Daraus folgt:
\[ x_1=1-2x_3 \]
\[ -x_1-2x_2=-2 \]
\[ x_1+2x_2=2 \]
\[ 2x_2=2-x_1 \]
\[ x_2=\frac{2-x_1}{2} \]
Nun \(x_1=1-2x_3\) einsetzen:
\[ x_2=\frac{2-(1-2x_3)}{2} \]
\[ x_2=\frac{1+2x_3}{2} \]
\[ x_2=\frac12+x_3 \]
\[ 4(1-2x_3)+\left(\frac12+x_3\right)+7x_3=12 \]
Ausmultiplizieren:
\[ 4-8x_3+\frac12+x_3+7x_3=12 \]
Zusammenfassen:
\[ 4,5+0x_3=12 \]
\[ 4,5=12 \]
Dies ist ein Widerspruch.
Es entsteht eine falsche Aussage:
\[ 4,5=12 \]
Das kann niemals erfüllt sein.
Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.
\[ L=\varnothing \]
Gegeben ist das Gleichungssystem:
\[ \begin{aligned} (1)\quad &x_1-x_2+x_3=-2\\ (2)\quad &4x_1+2x_2+x_3=-5\\ (3)\quad &6x_1+3x_3=-9 \end{aligned} \]
Durch 3 teilen:
\[ 2x_1+x_3=-3 \]
Daraus folgt:
\[ x_3=-3-2x_1 \]
\[ x_1-x_2+(-3-2x_1)=-2 \]
\[ -x_1-x_2-3=-2 \]
\[ -x_1-x_2=1 \]
\[ x_1+x_2=-1 \]
\[ x_2=-1-x_1 \]
\[ 4x_1+2(-1-x_1)+(-3-2x_1)=-5 \]
Ausmultiplizieren:
\[ 4x_1-2-2x_1-3-2x_1=-5 \]
\[ 0x_1-5=-5 \]
\[ -5=-5 \]
Diese Aussage ist immer wahr.
Es bleibt eine Variable frei. Wir wählen
\[ x_1=t \]
mit
\[ t\in\mathbb{R} \]
Dann gilt:
\[ x_2=-1-t \]
und
\[ x_3=-3-2t \]
\[ L= \left\{ \left( t,\, -1-t,\, -3-2t \right) \mid t\in\mathbb{R} \right\} \]
| Teilaufgabe | Lösungsmenge |
|---|---|
| a) | \(L=\{(4,-2,-2)\}\) |
| b) | \(L=\varnothing\) |
| c) | \(L=\{(t,-1-t,-3-2t)\mid t\in\mathbb{R}\}\) |