Latihan Soal 5.1.4

Seseorang berusia (30) mengikuti polis asuransi jiwa dengan mortalita mengikuti hukum Gompert \(B=10^{-5}; C=1,09\), dan tingkat suku bunga kontinu \(\delta = 5%\)% Hitunglah:

Premi untuk asuransi jiwa seumur hidup.
Premi untuk asuransi jiwa berjangka 20 tahun.
Premi untuk asuransi jiwa dwiguna berjangka 20 tahun.
Premi untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali.
Premi untuk asuransi jiwa dwiguna berjangka 20 tahun dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali.
Premi untuk asuransi jiwa dwiguna murni berjangka 10 tahun.

Jawaban

Untuk mengerjakan Tugas ini diperlukan kode R pada contoh soal 3.1.5 dan 4.4.1 sebagai berikut:

Kode R Latihan soal 3.1.5

#=================================================
# a. Asuransi Jiwa Seumur Hidup
#=================================================

Ax <- function(delta, age, benefit, B, C, w = 500){

  int <- function(t){
    benefit * exp(-delta*t) *
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^(age+t) - 1))
      ) /
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^age - 1))
      ) *
      (B * C^(age+t))
  }

  Ax.value <- integrate(int, 0, w-age)$value

  Ax.value
}


#=================================================
# b. Asuransi Jiwa Berjangka n Tahun
#=================================================

Axn <- function(delta, age, benefit, B, C, n){

  int <- function(t){
    benefit * exp(-delta*t) *
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^(age+t) - 1))
      ) /
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^age - 1))
      ) *
      (B * C^(age+t))
  }

  Axn.value <- integrate(int, 0, n)$value

  Axn.value
}


#=================================================
# c. Asuransi Jiwa Seumur Hidup Tertunda n Tahun
#=================================================

nAx <- function(delta, age, benefit, B, C, n, w = 500){

  int <- function(t){
    benefit * exp(-delta*t) *
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^(age+t) - 1))
      ) /
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^age - 1))
      ) *
      (B * C^(age+t))
  }

  nAx.value <- integrate(int, n, w-age)$value

  nAx.value
}


#=================================================
# d. Asuransi Jiwa Berjangka n Tahun Tertunda m Tahun
#=================================================

mnAx <- function(delta, age, benefit, B, C, n, m){

  int <- function(t){
    benefit * exp(-delta*t) *
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^(age+t) - 1))
      ) /
      (
        exp((-B/log(C)) * (C^age - 1))
      ) *
      (B * C^(age+t))
  }

  mnAx.value <- integrate(int, m, m+n)$value

  mnAx.value
}


#=================================================
# e. Asuransi Dwiguna Murni (Pure Endowment)
#=================================================

Exn <- function(delta, age, benefit, B, C, n){

  Exn.value <- benefit *
    exp(-delta*n) *
    (
      exp((-B/log(C)) * (C^(age+n) - 1))
    ) /
    (
      exp((-B/log(C)) * (C^age - 1))
    )

  Exn.value
}


#=================================================
# f. Asuransi Dwiguna (Endowment Insurance)
#=================================================

endowment <- function(delta, age, benefit, B, C, n){

  endowment.value <-
    Axn(delta, age, benefit, B, C, n) +
    Exn(delta, age, benefit, B, C, n)

  endowment.value
}

Kode R Latihan Soal 4.4.1

# a) anuitas jiwa kontinu seumur hidup
ax.kontinu <- function(delta, age, B, C){
  int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
ax.value <- integrate(int, 0, Inf) $value
ax.value
}

# b) anuitas jiwwa kontinu berjangka 20 tahun
axn.kontinu <- function(delta, age, B, C, n){
  int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
axn.value <- integrate(int, 0, n) $value
axn.value
}

# c) anuitas jiwa kontinu berjangka 20 tahunyang tertunda 5 tahun
maxn.kontinu <- function(delta, age, B, C, n, m){
  int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
maxn.value <- integrate(int, m, m + n) $value
maxn.value
}

# d) anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 10 tahun
axnp.kontinu <- function(delta, age, B, C, n){
  int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
axnp1.value <- integrate(int, 0, n) $value
axnp2.value <- integrate(int, 0, n) $value
axnp.value <- axnp1.value + axnp2.value
axnp.value
}

cat("--- anuitas jiwa kontinu seumur hidup ---\n")

## --- anuitas jiwa kontinu seumur hidup ---

ax.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09)

## [1] 19.08623

cat("--- anuitas jiwwa kontinu berjangka 20 tahun ---\n")

## --- anuitas jiwwa kontinu berjangka 20 tahun ---

axn.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20)

## [1] 12.61674

cat("--- anuitas jiwa kontinu berjangka 20 tahunyang tertunda 5 tahun ---\n")

## --- anuitas jiwa kontinu berjangka 20 tahunyang tertunda 5 tahun ---

maxn.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20, m=5)

## [1] 9.807052

cat("--- anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 10 tahun ---\n")

## --- anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 10 tahun ---

axnp.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=10)

## [1] 15.72591

Jawaban Latihan Soal 5.1.4

a.Premi untuk asuransi jiwa seumur hidup, \[\overline{P}(\overline{A}_{30}) = \frac{\overline{A}_{30}}{\overline{a}_{30}}\].

asuransi<-Ax(delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5, C=1.09)
anuitas<-ax.kontinu(delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09)
premi<-asuransi/anuitas
data.frame(asuransi, anuitas, premi)

##   asuransi  anuitas    premi
## 1 456884.7 19.08623 23937.92

Jadi, premi tunggal bersih untuk asuransi ini ialah Rp456.885,00. sedangkan premi tahunan adalah Rp23.938,00.

Premi untuk asuransi jiwa berjangka 20 tahun, \[\overline{P}\left(\overline{A}_{\begin{smallmatrix}1\\30:\overline{20\rceil}\end{smallmatrix}}\right) = \frac{\overline{A}_{\begin{smallmatrix}1\\30:\overline{20\rceil}\end{smallmatrix}}}{\overline{a}_{30:\overline{20\rceil}}}\]

asuransi<-Axn(delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5, C=1.09, n=20)
anuitas<-axn.kontinu(delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20)
premi<-asuransi/anuitas
data.frame(asuransi, anuitas, premi)

##   asuransi  anuitas    premi
## 1 38822.14 12.61674 3077.035

Jadi, premi tunggal bersih untuk asuransi ini Rp38.822,00. Sedangkan premi tahunan adalah Rp3.077,00.

Premi untuk asuransi jiwa dwiguna berjangka 20 tahun, \[\overline{P}(\overline{A}_{30:\overline{20\rceil}}) = \frac{\overline{A}_{30:\overline{20\rceil}}}{\overline{a}_{30:\overline{20\rceil}}}\]

asuransi<-endowment(delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5, C=1.09, n=20)
anuitas<-axn.kontinu(delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20)
premi<-asuransi/anuitas
data.frame(asuransi, anuitas, premi)

##   asuransi  anuitas    premi
## 1  3691630 12.61674 292597.8

Jadi, premi tunggal bersih untuk asuransi ini adalah Rp3.691.630,00. Sedangkan premi tahunan adalah Rp292.598,00

Premi untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali, \[{}_{10}\overline{P}(\overline{A}_{30}) = \frac{\overline{A}_{30}}{\overline{a}_{30:\overline{10\rceil}}}\]

asuransi<-Ax(delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5, C=1.09)
anuitas<-axn.kontinu(delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=10)
premi<-asuransi/anuitas
data.frame(asuransi, anuitas, premi)

##   asuransi  anuitas    premi
## 1 456884.7 7.862957 58105.96

Jadi, premi tunggal bersih unutk asuransi ini Rp456.885,00, sedangkan premi tahunan ialah Rp58.106,00.

Premi untuk asuransi jiwa dwiguna berjangka 20 tahun dengan pembayaran premi sebanyak 10 kali, \[{}_{10}\overline{P}(\overline{A}_{30:\overline{20\rceil}}) = \frac{\overline{A}_{30:\overline{20\rceil}}}{\overline{a}_{30:\overline{10\rceil}}}\]

asuransi<-endowment(delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5, C=1.09, n=20)
anuitas<-axn.kontinu(delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=10)
premi<-asuransi/anuitas
data.frame(asuransi, anuitas, premi)

##   asuransi  anuitas    premi
## 1  3691630 7.862957 469496.4

Jadi, premi tunggal bersih untuk asuransi ininadalah Rp3.691.630,00, sedangkan premi tahunan nya adalah Rp469.496,00.

Premi untuk asuransi jiwa dwiguna murni berjangka 10 tahun, \[{}_{10}\overline{P}\left(\overline{A}_{\begin{smallmatrix}1\\30:\overline{20\rceil}\end{smallmatrix}}\right) = \frac{\overline{A}_{\begin{smallmatrix}1\\30:\overline{20\rceil}\end{smallmatrix}}}{\overline{a}_{30:\overline{10\rceil}}}\]

asuransi<-Exn(delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5, C=1.09, n=10)
anuitas<-axn.kontinu(delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=10)
premi<-asuransi/anuitas
data.frame(asuransi, anuitas, premi)

##   asuransi  anuitas    premi
## 1  6052552 7.862957 769755.1

Jadi, Premi tunggal bersih untuk asurasn ini adalah Rp6.052.552,00, sedangkan premi tahunannya adalah Rp769.755,00.

Premi Asuransi Jiwa 5.1.4

Ayis Pibri Setyanto

2026-06-03

Latihan Soal 5.1.4

Jawaban

Kode R Latihan soal 3.1.5

Kode R Latihan Soal 4.4.1

Jawaban Latihan Soal 5.1.4