Die Problemstellung

Wir suchen die Lösung für die scheinbar einfache Gleichung:

\[x = e^x\]

Das bedeutet: Gesucht ist ein Wert für \(x\), der exakt genauso groß ist wie die Eulersche Zahl \(e\) (ca. \(2,718\)) hoch \(x\).

Der Lösungsansatz: Schritt für Schritt

Wenn wir versuchen, die Gleichung mit den normalen Werkzeugen der Mittelstufen-Algebra (wie dem natürlichen Logarithmus \(\ln\)) zu lösen, stoßen wir schnell an eine Wand:

  1. Ausgangsgleichung:
    \(x = e^x\)
  2. Wir wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an:
    \(\ln(x) = \ln(e^x)\)
  3. Nach den Logarithmusregeln vereinfacht sich die rechte Seite:
    \(\ln(x) = x\)

Wir haben das Problem also nur verschoben, aber nicht gelöst. Das \(x\) bleibt “gefangen”. In der Schulmathematik der 11. Klasse nutzen wir daher zwei andere, mächtige Ansätze: grafisch und analytisch.

Schritt 1: Der grafische Beweis (Anschauung)

Wir können die Gleichung in zwei Funktionen aufteilen und deren Graphen betrachten: * \(f(x) = e^x\) (Exponentialfunktion) * \(g(x) = x\) (Die Winkelhalbierende des I. Quadranten)

Die Frage nach der Lösung der Gleichung ist identisch mit der Frage: “Wo schneiden sich die beiden Graphen?”

Schauen wir uns das in R an:

# Definition der Funktionen
f <- function(x) exp(x)
g <- function(x) x




# Plot erstellen
curve(f, from = -2, to = 2, col = "blue", lwd = 2, 
      ylab = "y", xlab = "x", main = "Vergleich von e^x und x")
curve(g, from = -2, to = 2, col = "red", lwd = 2, add = TRUE)
grid()
legend("topleft", legend = c("f(x) = e^x", "g(x) = x"), 
       col = c("blue", "red"), lwd = 2)