Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme (LGS).

Teilaufgabe a)

Das Gleichungssystem

  1.  x1 + x2 +  x3 = 0
  2.  x1 + x2        = 2
  3. 2x1       + 2x3 = 4

Schrittweiser Lösungsweg

Hier bietet sich das Substitutionsverfahren (Einsetzungsverfahren) ideal an, da Gleichung (II) bereits eine direkte Beziehung zwischen x1 und x2 liefert.

  1. Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzen: In Gleichung (I) kommt der Term (x1 + x2) direkt vor. Da laut (II) gilt: x1 + x2 = 2, ersetzen wir diesen Block:
    2 + x3 = 0
    x3 = -2

  2. x3 in Gleichung (III) einsetzen: Wir setzen x3 = -2 in die Gleichung (III) ein, um x1 zu bestimmen:
    2x1 + 2 · (-2) = 4
    2x1 - 4 = 4   |  + 4
    2x1 = 8   |  : 2
    x1 = 4

  3. x1 in Gleichung (II) einsetzen: Jetzt berechnen wir die verbleibende Variable x2 mithilfe von Gleichung (II):
    4 + x2 = 2   |  - 4
    x2 = -2

Überprüfung (Probe)

  • In (I): 4 + (-2) + (-2) = 4 - 2 - 2 = 0 Wahr
  • In (III): 2 · 4 + 2 · (-2) = 8 - 4 = 4 Wahr

Lösungsmenge für a):

L = {(4; -2; -2)}
Das System hat genau eine eindeutige Lösung.

Teilaufgabe b)

Das Gleichungssystem

  1.  4x1 +  x2 +  7x3 = 12
  2.  5x1        + 10x3 = 5
  3. -x1 - 2x2        = -2

Schrittweiser Lösungsweg

Wir vereinfachen zuerst die Gleichungen, um die Koeffizienten zu verkleinern.

  1. Gleichungen vereinfachen:

    • Gleichung (II) teilen wir durch 5:
      (II’) x1 + 2x3 = 1   ⇒   x1 = 1 - 2x3
    • Gleichung (III) multiplizieren wir mit -1:
      (III’) x1 + 2x2 = 2

  2. x1 in Abhängigkeit von x3 ausdrücken: Aus (II’) wissen wir bereits: x1 = 1 - 2x3. Das setzen wir nun in (III’) ein, um x2 ebenfalls in Abhängigkeit von x3 zu erhalten:
    (1 - 2x3) + 2x2 = 2
    2x2 = 2 - 1 + 2x3
    2x2 = 1 + 2x3   |  : 2
    x2 = 0,5 + x3

  3. Einsetzen von x1 und x2 in Gleichung (I): Jetzt setzen wir beide Ausdrücke in die bisher ungenutzte Gleichung (I) ein:
    4 · (1 - 2x3) + (0,5 + x3) + 7x3 = 12
    Ausmultiplizieren:
    4 - 8x3 + 0,5 + x3 + 7x3 = 12
    Zusammenfassen der x3-Terme: (-8x3 + x3 + 7x3 = 0)
    4,5 = 12 Widerspruch!

Interpretation

Die Variablen haben sich vollständig eliminiert und es entsteht eine mathematisch falsche Aussage (4,5 = 12). Dies bedeutet, dass die drei Ebenen im Raum keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.

Lösungsmenge für b):

L = {} (leere Menge)
Das System besitzt keine Lösung.

Teilaufgabe c)

Das Gleichungssystem

  1.   x1 -  x2 +  x3 = -2
  2.  4x1 + 2x2 +  x3 = -5
  3.  6x1        + 3x3 = -9

Schrittweiser Lösungsweg

  1. Gleichung (III) vereinfachen: Wir teilen Gleichung (III) durch 3:
    (III’) 2x1 + x3 = -3   ⇒   x3 = -3 - 2x1

  2. x3 in die Gleichungen (I) und (II) einsetzen:

    • In (I) einsetzen:
      x1 - x2 + (-3 - 2x1) = -2
      -x1 - x2 - 3 = -2   |  + 3
      -x1 - x2 = 1   ⇒   x2 = -x1 - 1

    • In (II) einsetzen:
      4x1 + 2x2 + (-3 - 2x1) = -5
      2x1 + 2x2 - 3 = -5

  3. Ausdruck für x2 in das modifizierte (II) einsetzen: Wir nutzen nun x2 = -x1 - 1:
    2x1 + 2 · (-x1 - 1) - 3 = -5
    2x1 - 2x1 - 2 - 3 = -5
    -5 = -5 Wahre Aussage

Interpretation

Die Entstehung einer wahren Aussage (-5 = -5) zeigt, dass das Gleichungssystem unterbestimmt bzw. linear abhängig ist. Es gibt unendlich viele Lösungen. Wir können einen Parameter t (aus den reellen Zahlen) für eine der Variablen einführen.

Wählen wir x1 = t, dann ergeben sich die restlichen Variablen in Abhängigkeit von t: * x1 = t * x2 = -t - 1 * x3 = -3 - 2t

Lösungsmenge für c):

L = {(t; -t - 1; -3 - 2t) | t ∈ ℝ}
Das System hat unendlich viele Lösungen, die auf einer Schnittgeraden liegen.