Analisis Risiko Kredit Menggunakan Empat Model Regresi

Regresi Logistik Biner, Regresi Ordinal, Regresi Multinomial, dan Regresi Poisson

1 Pendahuluan

Laporan ini menganalisis risiko kredit menggunakan empat dataset sekunder yang berbeda. Semua model berada dalam tema yang sama, yaitu risiko ketika peminjam tidak mampu membayar kewajibannya sesuai perjanjian. Setiap dataset dipakai untuk satu jenis model karena bentuk variabel responnya berbeda.

Empat model yang digunakan adalah:

1. Regresi logistik biner untuk menganalisis apakah nasabah kartu kredit mengalami gagal bayar atau tidak.
2. Regresi logistik ordinal untuk menganalisis tingkat risiko pinjaman dari grade A sampai G.
3. Regresi logistik multinomial untuk menganalisis status pinjaman Prosper.
4. Regresi Poisson untuk menganalisis jumlah pinjaman SBA 7(a) yang bermasalah.

1.1 Istilah Penting dalam Bahasa Sederhana

Istilah	dalam laporan ini
Risiko kredit	Risiko bahwa peminjam tidak membayar pinjaman sesuai jadwal atau perjanjian.
Default / gagal bayar	Kondisi ketika nasabah atau peminjam tidak memenuhi kewajiban pembayaran. Dalam data biner, 1 berarti default dan 0 berarti tidak default.
Charged-off / CHGOFF	Pinjaman yang sudah dianggap macet atau rugi oleh lembaga pemberi pinjaman. Dalam laporan ini, istilah ini disebut sebagai pinjaman bermasalah.
PIF / Paid in Full	Pinjaman sudah lunas dibayar. Dalam analisis SBA, ini dipakai sebagai kondisi tidak bermasalah.
Grade pinjaman	Tingkat risiko pinjaman. Grade A dianggap risiko lebih rendah, sedangkan grade G dianggap risiko lebih tinggi.
Odds ratio / OR	Ukuran untuk membaca pengaruh prediktor pada model logistik. Untuk model ordinal dengan MASS::polr, OR = exp(beta) dibaca sebagai perubahan odds untuk berada pada kategori yang lebih tinggi, karena spesifikasi modelnya adalah logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
Relative risk ratio / RRR	Ukuran untuk membaca pengaruh prediktor pada regresi multinomial. RRR membandingkan satu kategori respon terhadap kategori acuan.
Incidence rate ratio / IRR	Ukuran untuk membaca pengaruh prediktor pada regresi Poisson. IRR lebih dari 1 berarti rate/jumlah kejadian per exposure lebih tinggi.
Data leakage	Kondisi ketika model diberi variabel yang sebenarnya sudah mengandung jawaban. Variabel seperti ini harus dihindari agar model tidak terlihat bagus secara palsu.

2 Sumber Data dan Rancangan Analisis

Dataset yang digunakan bersumber dari repositori publik/sekunder: UCI Machine Learning Repository untuk data default kartu kredit, OpenIntro untuk Lending Club loan data, Prosper/Udacity public loan data untuk data Prosper, dan SBA Open Data untuk FOIA 7(a) loan data.

Model	Dataset	Variabel respon	Bentuk respon	Tujuan analisis
Logistik biner	Default of Credit Card Clients	Y	0/1	Menjelaskan peluang gagal bayar kartu kredit
Ordinal	Lending Club loans_full_schema	grade	A < B < C < D < E < F < G	Menjelaskan tingkat risiko pinjaman
Multinomial	Prosper Loan Data	LoanStatus_recode	Banyak kategori tanpa urutan	Menjelaskan status pinjaman
Poisson	SBA 7(a) FOIA	Jumlah_ChargedOff	Hitungan/count	Menjelaskan jumlah pinjaman bermasalah

3 Konsep Singkat Model

3.1 Regresi Logistik Biner

Regresi logistik biner dipakai ketika respon hanya memiliki dua kategori. Dalam laporan ini, responnya adalah gagal bayar atau tidak gagal bayar.

\[ \log\left(\frac{P(Y=1)}{P(Y=0)}\right) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_pX_p \]

3.2 Regresi Logistik Ordinal

Regresi ordinal dipakai ketika respon memiliki urutan. Dalam laporan ini, responnya adalah grade pinjaman A sampai G.

Pada analisis ini model diestimasi menggunakan fungsi MASS::polr. Spesifikasi model polr adalah:

\[ \log\left(\frac{P(Y \leq j)}{P(Y > j)}\right) = \alpha_j - x\beta \]

Artinya, tanda koefisien harus dibaca dengan hati-hati. Jika koefisien beta bernilai positif, maka nilai alpha_j - x beta menjadi lebih kecil. Akibatnya, peluang kumulatif untuk berada pada kategori rendah P(Y <= j) menurun, sehingga peluang berada pada kategori yang lebih tinggi meningkat. Dengan urutan grade $A < B < C < D < E < F < G$, koefisien positif berarti kecenderungan pinjaman bergeser ke grade yang lebih buruk atau lebih berisiko.

3.3 Regresi Logistik Multinomial

Regresi multinomial dipakai ketika respon memiliki lebih dari dua kategori dan kategorinya tidak diperlakukan sebagai urutan. Dalam laporan ini, status pinjaman dibandingkan terhadap kategori acuan Completed.

3.4 Regresi Poisson

Regresi Poisson dipakai ketika respon berupa jumlah kejadian. Dalam laporan ini, responnya adalah jumlah pinjaman bermasalah (CHGOFF) pada setiap kelompok pinjaman SBA.

\[ Y_i \sim Poisson(\mu_i) \]

\[ \log(\mu_i) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \log(Total\_Loan_i) \]

Total_Loan digunakan sebagai offset, supaya model menganalisis rate pinjaman bermasalah, bukan hanya jumlah mentah.

4 Persiapan Package

required_packages <- c(
  "readxl", "readr", "dplyr", "tidyr", "ggplot2",
  "MASS", "nnet", "broom", "knitr", "scales", "stringr", "forcats", "tibble", "purrr",
  "pROC", "ordinal"
)

missing_packages <- required_packages[!(required_packages %in% rownames(installed.packages()))]
if (length(missing_packages) > 0) {
  install.packages(missing_packages, repos = "https://cloud.r-project.org")
}

invisible(lapply(required_packages, library, character.only = TRUE))

5 Import Data

data_dir <- "."
file_biner <- file.path(data_dir, "default of credit card clients.xls")
file_ordinal <- file.path(data_dir, "loans_full_schema.csv")
file_multinom <- file.path(data_dir, "prosperLoanData.csv")
file_poisson <- file.path(data_dir, "foia-7a-fy2010-fy2019-asof-260331.csv")

check_file <- function(path) {
  if (!file.exists(path)) {
    stop(paste("File tidak ditemukan:", path, "\nPastikan file Rmd dan dataset berada di folder yang sama atau ubah data_dir."))
  }
}

invisible(lapply(c(file_biner, file_ordinal, file_multinom, file_poisson), check_file))

data_biner_raw <- readxl::read_excel(file_biner, skip = 1)
data_ordinal_raw <- readr::read_csv(file_ordinal, show_col_types = FALSE)
data_multinom_raw <- readr::read_csv(file_multinom, show_col_types = FALSE)
data_poisson_raw <- readr::read_csv(file_poisson, show_col_types = FALSE)

dimensi_data <- tibble::tibble(
  Dataset = c("Default Credit Card", "Lending Club", "Prosper Loan", "SBA 7(a) FOIA"),
  Jumlah_Baris = c(nrow(data_biner_raw), nrow(data_ordinal_raw), nrow(data_multinom_raw), nrow(data_poisson_raw)),
  Jumlah_Kolom = c(ncol(data_biner_raw), ncol(data_ordinal_raw), ncol(data_multinom_raw), ncol(data_poisson_raw))
)
knitr::kable(dimensi_data, caption = "Dimensi Data Awal")

Dimensi Data Awal

Dataset	Jumlah_Baris	Jumlah_Kolom
Default Credit Card	30000	25
Lending Club	10000	55
Prosper Loan	113937	81
SBA 7(a) FOIA	545751	43

6 Bagian I — Regresi Logistik Biner

6.1 Tujuan Analisis

Tujuan analisis ini adalah mengetahui faktor-faktor yang berhubungan dengan peluang nasabah kartu kredit mengalami gagal bayar pada bulan berikutnya. Gagal bayar berarti nasabah tidak membayar sesuai kewajiban pada periode yang diamati.

6.2 Variabel yang Digunakan

Variabel respon adalah Y:

Nilai Y	Arti sederhana
0	Nasabah tidak gagal bayar
1	Nasabah gagal bayar

Prediktor yang digunakan adalah X1 sampai X23. Seluruh prediktor ini digunakan karena dataset memang dirancang dengan 23 variabel penjelas untuk menganalisis default pembayaran kartu kredit.

Variabel yang Dipakai pada Model Biner

Variabel	Makna	Alasan_dipakai
X1	Jumlah kredit yang diberikan	Menggambarkan kapasitas/limit kredit nasabah
X2	Gender	Karakteristik demografi nasabah
X3	Pendidikan	Karakteristik sosial ekonomi nasabah
X4	Status perkawinan	Karakteristik demografi nasabah
X5	Umur	Umur dapat berkaitan dengan perilaku pembayaran
X6-X11	Riwayat status pembayaran April-September 2005	Riwayat keterlambatan adalah indikator penting risiko gagal bayar
X12-X17	Jumlah tagihan April-September 2005	Tagihan menggambarkan beban kewajiban nasabah
X18-X23	Jumlah pembayaran sebelumnya April-September 2005	Pembayaran sebelumnya menggambarkan kemampuan dan kemauan bayar

6.3 Cleaning Data Biner

# Setelah skip = 1, kolom pertama sampai ke-25 adalah ID, X1-X23, dan Y.
names(data_biner_raw)[1:25] <- c("ID", paste0("X", 1:23), "Y")

money_vars_biner <- c("X1", paste0("X", 12:23))

data_biner <- data_biner_raw %>%
  dplyr::select(ID, dplyr::all_of(paste0("X", 1:23)), Y) %>%
  dplyr::mutate(dplyr::across(dplyr::everything(), as.numeric)) %>%
  tidyr::drop_na() %>%
  dplyr::mutate(
    Y_num = Y,
    Y_label = factor(Y, levels = c(0, 1), labels = c("Tidak gagal bayar", "Gagal bayar")),
    X2 = factor(dplyr::case_when(
      X2 == 1 ~ "Male",
      X2 == 2 ~ "Female",
      TRUE ~ "Other"
    )),
    X3 = factor(dplyr::case_when(
      X3 == 1 ~ "Graduate school",
      X3 == 2 ~ "University",
      X3 == 3 ~ "High school",
      TRUE ~ "Others"
    )),
    X4 = factor(dplyr::case_when(
      X4 == 1 ~ "Married",
      X4 == 2 ~ "Single",
      TRUE ~ "Others"
    ))
  ) %>%
  dplyr::mutate(dplyr::across(dplyr::all_of(money_vars_biner), ~ .x / 1000, .names = "{.col}_k"))

knitr::kable(head(data_biner, 6), caption = "Cuplikan Data Biner Setelah Cleaning")

Cuplikan Data Biner Setelah Cleaning

ID	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11	X12	X13	X14	X15	X16	X17	X18	X19	X20	X21	X22	X23	Y	Y_num	Y_label	X1_k	X12_k	X13_k	X14_k	X15_k	X16_k	X17_k	X18_k	X19_k	X20_k	X21_k	X22_k	X23_k
1	20000	Female	University	Married	24	2	2	-1	-1	-2	-2	3913	3102	689	0	0	0	0	689	0	0	0	0	1	1	Gagal bayar	20	3.913	3.102	0.689	0.000	0.000	0.000	0.000	0.689	0.000	0.0	0.000	0.000
2	120000	Female	University	Single	26	-1	2	0	0	0	2	2682	1725	2682	3272	3455	3261	0	1000	1000	1000	0	2000	1	1	Gagal bayar	120	2.682	1.725	2.682	3.272	3.455	3.261	0.000	1.000	1.000	1.0	0.000	2.000
3	90000	Female	University	Single	34	0	0	0	0	0	0	29239	14027	13559	14331	14948	15549	1518	1500	1000	1000	1000	5000	0	0	Tidak gagal bayar	90	29.239	14.027	13.559	14.331	14.948	15.549	1.518	1.500	1.000	1.0	1.000	5.000
4	50000	Female	University	Married	37	0	0	0	0	0	0	46990	48233	49291	28314	28959	29547	2000	2019	1200	1100	1069	1000	0	0	Tidak gagal bayar	50	46.990	48.233	49.291	28.314	28.959	29.547	2.000	2.019	1.200	1.1	1.069	1.000
5	50000	Male	University	Married	57	-1	0	-1	0	0	0	8617	5670	35835	20940	19146	19131	2000	36681	10000	9000	689	679	0	0	Tidak gagal bayar	50	8.617	5.670	35.835	20.940	19.146	19.131	2.000	36.681	10.000	9.0	0.689	0.679
6	50000	Male	Graduate school	Single	37	0	0	0	0	0	0	64400	57069	57608	19394	19619	20024	2500	1815	657	1000	1000	800	0	0	Tidak gagal bayar	50	64.400	57.069	57.608	19.394	19.619	20.024	2.500	1.815	0.657	1.0	1.000	0.800

Variabel uang seperti X1, X12 sampai X23 diskalakan dalam ribuan agar interpretasi lebih mudah. X1_k berarti limit kredit dalam ribuan NT dollar.

6.4 Analisis Deskriptif Data Biner

dist_biner <- data_biner %>%
  dplyr::count(Y_label) %>%
  dplyr::mutate(Persen = scales::percent(n / sum(n)))
knitr::kable(dist_biner, caption = "Distribusi Status Gagal Bayar")

Distribusi Status Gagal Bayar

Y_label	n	Persen
Tidak gagal bayar	23364	78%
Gagal bayar	6636	22%

summary_biner <- data_biner %>%
  dplyr::summarise(
    Rata_rata_limit_k = mean(X1_k),
    Median_limit_k = median(X1_k),
    Rata_rata_umur = mean(X5),
    Median_umur = median(X5)
  )
knitr::kable(summary_biner, caption = "Ringkasan Prediktor Utama Data Biner")

Ringkasan Prediktor Utama Data Biner

Rata_rata_limit_k	Median_limit_k	Rata_rata_umur	Median_umur
167.4843	140	35.4855	34

ggplot(data_biner, aes(x = Y_label)) +
  geom_bar() +
  labs(
    title = "Distribusi Gagal Bayar Kartu Kredit",
    x = "Status nasabah",
    y = "Jumlah nasabah"
  ) +
  theme_minimal()

6.5 Pembentukan Model Regresi Logistik Biner

Model biner dibentuk untuk menjelaskan peluang Y = 1, yaitu nasabah gagal bayar.

\[ \log\left(\frac{P(Y=1)}{P(Y=0)}\right) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_{23}X_{23} \]

formula_biner <- as.formula(paste(
  "Y_num ~ X1_k + X2 + X3 + X4 + X5 +",
  paste(paste0("X", 6:11), collapse = " + "), "+",
  paste(paste0("X", 12:23, "_k"), collapse = " + ")
))

model_biner <- glm(
  formula_biner,
  data = data_biner,
  family = binomial(link = "logit")
)

summary(model_biner)

## 
## Call:
## glm(formula = formula_biner, family = binomial(link = "logit"), 
##     data = data_biner)
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error z value             Pr(>|z|)    
## (Intercept)   -1.1074252  0.0821938 -13.473 < 0.0000000000000002 ***
## X1_k          -0.0007133  0.0001577  -4.522       0.000006114973 ***
## X2Male         0.1129693  0.0307258   3.677             0.000236 ***
## X3High school -0.1130401  0.0475987  -2.375             0.017556 *  
## X3Others      -1.1624892  0.1884460  -6.169       0.000000000688 ***
## X3University  -0.0845189  0.0355734  -2.376             0.017506 *  
## X4Others      -0.1932064  0.1319446  -1.464             0.143112    
## X4Single      -0.1877621  0.0346303  -5.422       0.000000058970 ***
## X5             0.0056350  0.0018594   3.031             0.002441 ** 
## X6             0.5774743  0.0177087  32.610 < 0.0000000000000002 ***
## X7             0.0811208  0.0201961   4.017       0.000059030160 ***
## X8             0.0710667  0.0226075   3.143             0.001669 ** 
## X9             0.0228907  0.0250040   0.915             0.359938    
## X10            0.0341754  0.0268869   1.271             0.203700    
## X11            0.0071786  0.0221513   0.324             0.745886    
## X12_k         -0.0054952  0.0011374  -4.831       0.000001355474 ***
## X13_k          0.0023935  0.0015047   1.591             0.111683    
## X14_k          0.0013958  0.0013238   1.054             0.291694    
## X15_k         -0.0001765  0.0013519  -0.131             0.896140    
## X16_k          0.0007716  0.0015225   0.507             0.612305    
## X17_k          0.0001770  0.0011977   0.148             0.882525    
## X18_k         -0.0136808  0.0023079  -5.928       0.000000003069 ***
## X19_k         -0.0095322  0.0020889  -4.563       0.000005034879 ***
## X20_k         -0.0026224  0.0017191  -1.525             0.127151    
## X21_k         -0.0040673  0.0017859  -2.278             0.022756 *  
## X22_k         -0.0031418  0.0017786  -1.766             0.077325 .  
## X23_k         -0.0020692  0.0012966  -1.596             0.110534    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 31705  on 29999  degrees of freedom
## Residual deviance: 27840  on 29973  degrees of freedom
## AIC: 27894
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 6

6.6 Persamaan Model Hasil Estimasi Biner

Chunk model-biner di atas sudah membangun model regresi logistik biner menggunakan fungsi glm() dengan family = binomial(link = "logit"). Model yang diestimasi adalah model peluang gagal bayar, yaitu peluang ketika Y_num = 1.

Persamaan umumnya adalah:

\[ \widehat{\eta_i} = \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i=1)}{\widehat{P}(Y_i=0)}\right) = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1X_{1i} + \cdots + \hat{\beta}_{23}X_{23i} \]

Persamaan hasil estimasi model biner dapat ditulis sebagai berikut:

\[ \widehat{\eta_i} = -1.1074 - 0.0007\,X_{1k} + 0.113\,X_{2Male} - 0.113\,X_{3HighSchool} - 1.1625\,X_{3Others} - 0.0845\,X_{3University} - 0.1932\,X_{4Others} - 0.1878\,X_{4Single} + 0.0056\,X_5 + 0.5775\,X_6 + 0.0811\,X_7 + 0.0711\,X_8 + 0.0229\,X_9 + 0.0342\,X_{10} + 0.0072\,X_{11} - 0.0055\,X_{12k} + 0.0024\,X_{13k} + 0.0014\,X_{14k} - 0.0002\,X_{15k} + 0.0008\,X_{16k} + 0.0002\,X_{17k} - 0.0137\,X_{18k} - 0.0095\,X_{19k} - 0.0026\,X_{20k} - 0.0041\,X_{21k} - 0.0031\,X_{22k} - 0.0021\,X_{23k} \]

\[ \widehat{\eta_i} = \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i=1)}{\widehat{P}(Y_i=0)}\right) \]

Dengan:

\[ \widehat{P}(Y_i=1) = \frac{\exp(\widehat{\eta_i})}{1+\exp(\widehat{\eta_i})} \]

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa setiap koefisien masuk ke dalam log-odds gagal bayar. Koefisien positif meningkatkan log-odds gagal bayar, sedangkan koefisien negatif menurunkan log-odds gagal bayar.

Parameter yang Membentuk Persamaan Regresi Logistik Biner

Variabel_Mudah	term	estimate	Odds_Ratio
(Intercept)	(Intercept)	-1.1074	0.3304
jumlah limit kredit (per 1.000 NT dollar)	X1_k	-0.0007	0.9993
jenis kelamin: Male dibanding kategori acuan	X2Male	0.1130	1.1196
pendidikan: High school dibanding kategori acuan	X3High school	-0.1130	0.8931
pendidikan: Others dibanding kategori acuan	X3Others	-1.1625	0.3127
pendidikan: University dibanding kategori acuan	X3University	-0.0845	0.9190
status perkawinan: Others dibanding kategori acuan	X4Others	-0.1932	0.8243
status perkawinan: Single dibanding kategori acuan	X4Single	-0.1878	0.8288
umur nasabah	X5	0.0056	1.0057
status pembayaran September 2005	X6	0.5775	1.7815
status pembayaran Agustus 2005	X7	0.0811	1.0845
status pembayaran Juli 2005	X8	0.0711	1.0737
status pembayaran Juni 2005	X9	0.0229	1.0232
status pembayaran Mei 2005	X10	0.0342	1.0348
status pembayaran April 2005	X11	0.0072	1.0072
tagihan September 2005 (per 1.000 NT dollar)	X12_k	-0.0055	0.9945
tagihan Agustus 2005 (per 1.000 NT dollar)	X13_k	0.0024	1.0024
tagihan Juli 2005 (per 1.000 NT dollar)	X14_k	0.0014	1.0014
tagihan Juni 2005 (per 1.000 NT dollar)	X15_k	-0.0002	0.9998
tagihan Mei 2005 (per 1.000 NT dollar)	X16_k	0.0008	1.0008
tagihan April 2005 (per 1.000 NT dollar)	X17_k	0.0002	1.0002
pembayaran September 2005 (per 1.000 NT dollar)	X18_k	-0.0137	0.9864
pembayaran Agustus 2005 (per 1.000 NT dollar)	X19_k	-0.0095	0.9905
pembayaran Juli 2005 (per 1.000 NT dollar)	X20_k	-0.0026	0.9974
pembayaran Juni 2005 (per 1.000 NT dollar)	X21_k	-0.0041	0.9959
pembayaran Mei 2005 (per 1.000 NT dollar)	X22_k	-0.0031	0.9969
pembayaran April 2005 (per 1.000 NT dollar)	X23_k	-0.0021	0.9979

6.7 Koefisien dan Odds Ratio Model Biner

tabel_biner <- broom::tidy(model_biner) %>%
  dplyr::mutate(
    Odds_Ratio = exp(estimate),
    Variabel_Mudah = purrr::map_chr(term, label_biner),
    Keputusan_5persen = ifelse(p.value < 0.05, "Signifikan", "Tidak signifikan")
  ) %>%
  dplyr::arrange(p.value)

knitr::kable(
  tabel_biner %>% dplyr::select(Variabel_Mudah, term, estimate, std.error, statistic, p.value, Odds_Ratio, Keputusan_5persen) %>% head(25),
  digits = 4,
  caption = "Koefisien dan Odds Ratio Regresi Logistik Biner"
)

Koefisien dan Odds Ratio Regresi Logistik Biner

Variabel_Mudah	term	estimate	std.error	statistic	p.value	Odds_Ratio	Keputusan_5persen
status pembayaran September 2005	X6	0.5775	0.0177	32.6097	0.0000	1.7815	Signifikan
(Intercept)	(Intercept)	-1.1074	0.0822	-13.4733	0.0000	0.3304	Signifikan
pendidikan: Others dibanding kategori acuan	X3Others	-1.1625	0.1884	-6.1688	0.0000	0.3127	Signifikan
pembayaran September 2005 (per 1.000 NT dollar)	X18_k	-0.0137	0.0023	-5.9279	0.0000	0.9864	Signifikan
status perkawinan: Single dibanding kategori acuan	X4Single	-0.1878	0.0346	-5.4219	0.0000	0.8288	Signifikan
tagihan September 2005 (per 1.000 NT dollar)	X12_k	-0.0055	0.0011	-4.8314	0.0000	0.9945	Signifikan
pembayaran Agustus 2005 (per 1.000 NT dollar)	X19_k	-0.0095	0.0021	-4.5633	0.0000	0.9905	Signifikan
jumlah limit kredit (per 1.000 NT dollar)	X1_k	-0.0007	0.0002	-4.5224	0.0000	0.9993	Signifikan
status pembayaran Agustus 2005	X7	0.0811	0.0202	4.0167	0.0001	1.0845	Signifikan
jenis kelamin: Male dibanding kategori acuan	X2Male	0.1130	0.0307	3.6767	0.0002	1.1196	Signifikan
status pembayaran Juli 2005	X8	0.0711	0.0226	3.1435	0.0017	1.0737	Signifikan
umur nasabah	X5	0.0056	0.0019	3.0305	0.0024	1.0057	Signifikan
pendidikan: University dibanding kategori acuan	X3University	-0.0845	0.0356	-2.3759	0.0175	0.9190	Signifikan
pendidikan: High school dibanding kategori acuan	X3High school	-0.1130	0.0476	-2.3749	0.0176	0.8931	Signifikan
pembayaran Juni 2005 (per 1.000 NT dollar)	X21_k	-0.0041	0.0018	-2.2775	0.0228	0.9959	Signifikan
pembayaran Mei 2005 (per 1.000 NT dollar)	X22_k	-0.0031	0.0018	-1.7664	0.0773	0.9969	Tidak signifikan
pembayaran April 2005 (per 1.000 NT dollar)	X23_k	-0.0021	0.0013	-1.5958	0.1105	0.9979	Tidak signifikan
tagihan Agustus 2005 (per 1.000 NT dollar)	X13_k	0.0024	0.0015	1.5907	0.1117	1.0024	Tidak signifikan
pembayaran Juli 2005 (per 1.000 NT dollar)	X20_k	-0.0026	0.0017	-1.5254	0.1272	0.9974	Tidak signifikan
status perkawinan: Others dibanding kategori acuan	X4Others	-0.1932	0.1319	-1.4643	0.1431	0.8243	Tidak signifikan
status pembayaran Mei 2005	X10	0.0342	0.0269	1.2711	0.2037	1.0348	Tidak signifikan
tagihan Juli 2005 (per 1.000 NT dollar)	X14_k	0.0014	0.0013	1.0544	0.2917	1.0014	Tidak signifikan
status pembayaran Juni 2005	X9	0.0229	0.0250	0.9155	0.3599	1.0232	Tidak signifikan
tagihan Mei 2005 (per 1.000 NT dollar)	X16_k	0.0008	0.0015	0.5068	0.6123	1.0008	Tidak signifikan
status pembayaran April 2005	X11	0.0072	0.0222	0.3241	0.7459	1.0072	Tidak signifikan

6.8 Evaluasi Model Biner

data_biner$prob_default <- predict(model_biner, type = "response")
data_biner$pred_default <- ifelse(data_biner$prob_default >= 0.5, 1, 0)

tabel_klasifikasi_biner <- table(
  Prediksi = factor(data_biner$pred_default, levels = c(0, 1), labels = c("Tidak gagal bayar", "Gagal bayar")),
  Aktual = data_biner$Y_label
)
tabel_klasifikasi_biner

##                    Aktual
## Prediksi            Tidak gagal bayar Gagal bayar
##   Tidak gagal bayar             22729        5034
##   Gagal bayar                     635        1602

akurasi_biner <- mean(data_biner$pred_default == data_biner$Y_num)
akurasi_biner

## [1] 0.8110333

AIC_biner <- AIC(model_biner)
AIC_biner

## [1] 27894.21

6.9 Visualisasi Probabilitas Prediksi Model Biner

Visualisasi ini digunakan untuk melihat sebaran probabilitas gagal bayar yang dihasilkan oleh model. Probabilitas yang lebih tinggi menunjukkan nasabah yang diprediksi memiliki risiko gagal bayar lebih besar.

ggplot(data_biner, aes(x = prob_default)) +
  geom_histogram(bins = 40) +
  labs(
    title = "Distribusi Probabilitas Prediksi Gagal Bayar",
    x = "Probabilitas prediksi gagal bayar",
    y = "Jumlah nasabah"
  ) +
  theme_minimal()

ggplot(data_biner, aes(x = Y_label, y = prob_default)) +
  geom_boxplot() +
  labs(
    title = "Probabilitas Prediksi Gagal Bayar menurut Status Aktual",
    x = "Status aktual",
    y = "Probabilitas prediksi gagal bayar"
  ) +
  theme_minimal()

Grafik pertama menunjukkan sebaran probabilitas gagal bayar hasil model. Grafik kedua membandingkan probabilitas prediksi antara nasabah yang benar-benar gagal bayar dan tidak gagal bayar. Jika model cukup membedakan risiko, maka kelompok yang aktual gagal bayar seharusnya memiliki probabilitas prediksi yang lebih tinggi.

6.10 Evaluasi Tambahan: ROC Curve dan AUC

ROC Curve digunakan untuk melihat kemampuan model membedakan nasabah gagal bayar dan tidak gagal bayar pada berbagai threshold. AUC mendekati 1 menunjukkan kemampuan pemisahan yang lebih baik, sedangkan AUC mendekati 0,5 menunjukkan kemampuan model mendekati tebakan acak.

roc_biner <- pROC::roc(
  response = data_biner$Y_num,
  predictor = data_biner$prob_default,
  quiet = TRUE
)

auc_biner <- pROC::auc(roc_biner)
auc_biner

## Area under the curve: 0.7259

plot(
  roc_biner,
  main = paste("ROC Curve Model Biner | AUC =", round(as.numeric(auc_biner), 3))
)

AUC menunjukkan kemampuan model membedakan nasabah yang gagal bayar dan tidak gagal bayar. Semakin besar AUC, semakin baik kemampuan diskriminasi model. Namun AUC tidak menjelaskan arah pengaruh variabel; arah pengaruh tetap dibaca melalui koefisien dan odds ratio.

6.11 Catatan Asumsi Regresi Logistik Biner

Regresi logistik biner digunakan karena variabel respon hanya memiliki dua kategori, yaitu gagal bayar dan tidak gagal bayar. Model ini mengasumsikan bahwa observasi bersifat independen, tidak terdapat multikolinearitas berat antar prediktor, tidak terjadi perfect separation, dan prediktor numerik memiliki hubungan yang cukup linear terhadap log-odds gagal bayar.

Pada analisis credit risk, jumlah nasabah gagal bayar sering kali lebih kecil daripada nasabah tidak gagal bayar. Oleh karena itu, akurasi tidak boleh menjadi satu-satunya ukuran evaluasi. Confusion matrix, probabilitas prediksi, dan AUC perlu dibaca bersama dengan interpretasi odds ratio.

6.12 Interpretasi dan Kesimpulan Model Biner

sig_biner <- tabel_biner %>%
  dplyr::filter(term != "(Intercept)", p.value < 0.05) %>%
  dplyr::arrange(p.value)

cat("Pada taraf signifikansi 5%, model biner menemukan ", nrow(sig_biner),
    " prediktor yang berhubungan signifikan dengan peluang gagal bayar.\n\n", sep = "")

Pada taraf signifikansi 5%, model biner menemukan 14 prediktor yang berhubungan signifikan dengan peluang gagal bayar.

if (nrow(sig_biner) > 0) {
  cat("Prediktor paling penting berdasarkan p-value terkecil adalah:\n\n")
  top_biner <- head(sig_biner, 8)
  for (i in seq_len(nrow(top_biner))) {
    row <- top_biner[i, ]
    arah <- ifelse(row$Odds_Ratio > 1,
                   "meningkatkan odds gagal bayar",
                   "menurunkan odds gagal bayar")
    cat("- **", row$Variabel_Mudah, "** memiliki OR = ", fmt_num(row$Odds_Ratio, 3),
        " dan p-value = ", fmt_p(row$p.value), ", sehingga variabel ini ", arah,
        ", dengan asumsi variabel lain tetap.\n", sep = "")
  }
  cat("\n")
}

Prediktor paling penting berdasarkan p-value terkecil adalah:

• status pembayaran September 2005 memiliki OR = 1.782 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.
• pendidikan: Others dibanding kategori acuan memiliki OR = 0.313 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.
• pembayaran September 2005 (per 1.000 NT dollar) memiliki OR = 0.986 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status perkawinan: Single dibanding kategori acuan memiliki OR = 0.829 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tagihan September 2005 (per 1.000 NT dollar) memiliki OR = 0.995 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.
• pembayaran Agustus 2005 (per 1.000 NT dollar) memiliki OR = 0.991 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.
• jumlah limit kredit (per 1.000 NT dollar) memiliki OR = 0.999 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status pembayaran Agustus 2005 memiliki OR = 1.085 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan odds gagal bayar, dengan asumsi variabel lain tetap.

cat("Akurasi klasifikasi model biner adalah **", scales::percent(akurasi_biner),
    "**. AIC model adalah **", fmt_num(AIC_biner, 2), "**.\n\n", sep = "")

Akurasi klasifikasi model biner adalah 81%. AIC model adalah 27,894.21.

if (any(sig_biner$term %in% paste0("X", 6:11))) {
  cat("**Kesimpulan substantif:** riwayat pembayaran sebelumnya menjadi faktor penting dalam menjelaskan gagal bayar. Dalam konteks risiko kredit, nasabah yang memiliki riwayat keterlambatan pembayaran cenderung lebih berisiko mengalami gagal bayar pada periode berikutnya.\n")
} else {
  cat("**Kesimpulan substantif:** model menunjukkan bahwa risiko gagal bayar dapat dijelaskan oleh kombinasi limit kredit, karakteristik demografi, tagihan, dan pembayaran sebelumnya. Variabel signifikan pada tabel di atas menjadi faktor utama yang perlu diperhatikan dalam penilaian risiko kartu kredit.\n")
}

Kesimpulan substantif: riwayat pembayaran sebelumnya menjadi faktor penting dalam menjelaskan gagal bayar. Dalam konteks risiko kredit, nasabah yang memiliki riwayat keterlambatan pembayaran cenderung lebih berisiko mengalami gagal bayar pada periode berikutnya.

7 Bagian II — Regresi Logistik Ordinal

7.1 Tujuan Analisis

Tujuan analisis ini adalah mengetahui faktor-faktor yang berhubungan dengan tingkat risiko pinjaman pada data Lending Club. Tingkat risiko diwakili oleh grade, dari A sampai G.

7.2 Variabel yang Digunakan

Variabel respon adalah grade dengan urutan:

\[ A < B < C < D < E < F < G \]

Dalam bahasa sederhana, A adalah risiko lebih rendah dan G adalah risiko lebih tinggi.

Variabel yang Dipakai pada Model Ordinal

Variabel	Peran	Alasan_dipakai
grade	Respon	Mewakili tingkat risiko pinjaman dari A sampai G
annual_income	Prediktor	Menggambarkan kemampuan pendapatan peminjam
debt_to_income	Prediktor	Mengukur beban utang dibanding pendapatan
delinq_2y	Prediktor	Riwayat keterlambatan kredit 2 tahun terakhir
inquiries_last_12m	Prediktor	Banyaknya pemeriksaan kredit terbaru
total_credit_lines	Prediktor	Menggambarkan pengalaman kredit peminjam
open_credit_lines	Prediktor	Menggambarkan kredit aktif
total_credit_limit	Prediktor	Menggambarkan total fasilitas kredit
total_credit_utilized	Prediktor	Menggambarkan total kredit yang sedang digunakan
num_historical_failed_to_pay	Prediktor	Riwayat gagal bayar sebelumnya
public_record_bankrupt	Prediktor	Riwayat kebangkrutan
loan_amount	Prediktor	Besar pinjaman yang diterima
term	Prediktor	Tenor atau lama pinjaman
homeownership	Prediktor	Status tempat tinggal peminjam
verified_income	Prediktor	Status verifikasi pendapatan
loan_purpose	Prediktor	Tujuan penggunaan pinjaman
application_type	Prediktor	Aplikasi individu atau joint

Variabel sub_grade, interest_rate, loan_status, balance, paid_total, paid_principal, paid_interest, dan paid_late_fees tidak digunakan. Alasannya, variabel-variabel tersebut terlalu dekat dengan hasil penilaian grade atau muncul setelah pinjaman berjalan. Jika dipakai, model berisiko mengalami data leakage.

7.3 Cleaning Data Ordinal

prediktor_ordinal <- c(
  "annual_income", "debt_to_income", "delinq_2y", "inquiries_last_12m",
  "total_credit_lines", "open_credit_lines", "total_credit_limit", "total_credit_utilized",
  "num_historical_failed_to_pay", "public_record_bankrupt", "loan_amount", "term",
  "homeownership", "verified_income", "loan_purpose", "application_type"
)

data_ordinal <- data_ordinal_raw %>%
  dplyr::select(grade, dplyr::all_of(prediktor_ordinal)) %>%
  tidyr::drop_na() %>%
  dplyr::mutate(
    grade = ordered(grade, levels = c("A", "B", "C", "D", "E", "F", "G")),
    homeownership = factor(homeownership),
    verified_income = factor(verified_income),
    loan_purpose = factor(loan_purpose),
    application_type = factor(application_type),
    term = factor(term),
    annual_income_k = annual_income / 1000,
    total_credit_limit_k = total_credit_limit / 1000,
    total_credit_utilized_k = total_credit_utilized / 1000,
    loan_amount_k = loan_amount / 1000
  )

knitr::kable(head(data_ordinal, 6), caption = "Cuplikan Data Ordinal Setelah Cleaning")

Cuplikan Data Ordinal Setelah Cleaning

grade	annual_income	debt_to_income	delinq_2y	inquiries_last_12m	total_credit_lines	open_credit_lines	total_credit_limit	total_credit_utilized	num_historical_failed_to_pay	public_record_bankrupt	loan_amount	term	homeownership	verified_income	loan_purpose	application_type	annual_income_k	total_credit_limit_k	total_credit_utilized_k	loan_amount_k
C	90000	18.01	0	6	28	10	70795	38767	0	0	28000	60	MORTGAGE	Verified	moving	individual	90	70.795	38.767	28.0
C	40000	5.04	0	1	30	14	28800	4321	1	1	5000	36	RENT	Not Verified	debt_consolidation	individual	40	28.800	4.321	5.0
D	40000	21.15	0	4	31	10	24193	16000	0	0	2000	36	RENT	Source Verified	other	individual	40	24.193	16.000	2.0
A	30000	10.16	0	0	4	4	25400	4997	1	0	21600	36	RENT	Not Verified	debt_consolidation	individual	30	25.400	4.997	21.6
C	35000	57.96	0	7	22	16	69839	52722	0	0	23000	36	RENT	Verified	credit_card	joint	35	69.839	52.722	23.0
A	34000	6.46	1	6	32	12	42100	3898	0	0	5000	36	OWN	Not Verified	other	individual	34	42.100	3.898	5.0

7.4 Analisis Deskriptif Data Ordinal

dist_ordinal <- data_ordinal %>%
  dplyr::count(grade) %>%
  dplyr::mutate(Persen = scales::percent(n / sum(n)))
knitr::kable(dist_ordinal, caption = "Distribusi Grade Pinjaman")

Distribusi Grade Pinjaman

grade	n	Persen
A	2454	24.60%
B	3032	30.39%
C	2649	26.55%
D	1438	14.41%
E	334	3.35%
F	57	0.57%
G	12	0.12%

ringkasan_ordinal <- data_ordinal %>%
  dplyr::summarise(
    Rata_rata_income_k = mean(annual_income_k),
    Median_income_k = median(annual_income_k),
    Rata_rata_dti = mean(debt_to_income),
    Median_dti = median(debt_to_income),
    Rata_rata_loan_amount_k = mean(loan_amount_k)
  )
knitr::kable(ringkasan_ordinal, caption = "Ringkasan Prediktor Utama Data Ordinal")

Ringkasan Prediktor Utama Data Ordinal

Rata_rata_income_k	Median_income_k	Rata_rata_dti	Median_dti	Rata_rata_loan_amount_k
79.41274	65	19.30819	17.57	16.35753

ggplot(data_ordinal, aes(x = grade)) +
  geom_bar() +
  labs(
    title = "Distribusi Grade Pinjaman Lending Club",
    x = "Grade",
    y = "Jumlah pinjaman"
  ) +
  theme_minimal()

7.5 Pembentukan Model Regresi Logistik Ordinal

Model ordinal dibentuk untuk menjelaskan faktor-faktor yang berhubungan dengan tingkat grade pinjaman. Model ini menggunakan spesifikasi MASS::polr() sebagai berikut:

\[ \log\left(\frac{P(Y \leq j)}{P(Y > j)}\right) = \alpha_j - x\beta \]

Dalam penelitian ini, variabel respon adalah grade, dengan urutan:

\[ A < B < C < D < E < F < G \]

Sehingga bentuk modelnya dapat ditulis sebagai:

\[ \log\left(\frac{P(Y \leq j)}{P(Y > j)}\right) = \alpha_j - \left( \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \cdots + \beta_p X_p \right) \]

Karena model menggunakan bentuk \(\alpha_j - x\beta\), maka koefisien positif menunjukkan penurunan peluang kumulatif berada pada kategori rendah. Dengan kata lain, koefisien positif menunjukkan peningkatan kecenderungan pinjaman masuk ke grade yang lebih tinggi atau risiko yang lebih buruk.

model_ordinal <- MASS::polr(
  grade ~ annual_income_k + debt_to_income + delinq_2y + inquiries_last_12m +
    total_credit_lines + open_credit_lines + total_credit_limit_k + total_credit_utilized_k +
    num_historical_failed_to_pay + public_record_bankrupt + loan_amount_k + term +
    homeownership + verified_income + loan_purpose + application_type,
  data = data_ordinal,
  Hess = TRUE
)

summary(model_ordinal)

## Call:
## MASS::polr(formula = grade ~ annual_income_k + debt_to_income + 
##     delinq_2y + inquiries_last_12m + total_credit_lines + open_credit_lines + 
##     total_credit_limit_k + total_credit_utilized_k + num_historical_failed_to_pay + 
##     public_record_bankrupt + loan_amount_k + term + homeownership + 
##     verified_income + loan_purpose + application_type, data = data_ordinal, 
##     Hess = TRUE)
## 
## Coefficients:
##                                     Value Std. Error  t value
## annual_income_k                -0.0004366  0.0004111  -1.0622
## debt_to_income                  0.0189670  0.0018607  10.1936
## delinq_2y                       0.3863916  0.0280135  13.7930
## inquiries_last_12m              0.1206014  0.0080931  14.9018
## total_credit_lines             -0.0210112  0.0025525  -8.2315
## open_credit_lines               0.0082993  0.0049402   1.6800
## total_credit_limit_k           -0.0024280  0.0001605 -15.1249
## total_credit_utilized_k         0.0045864  0.0004819   9.5181
## num_historical_failed_to_pay    0.0836537  0.0280557   2.9817
## public_record_bankrupt          0.1050426  0.0611649   1.7174
## loan_amount_k                  -0.0141142  0.0022054  -6.3999
## term60                          1.7053905  0.0457152  37.3046
## homeownershipOWN                0.0399999  0.0596143   0.6710
## homeownershipRENT               0.1695171  0.0485386   3.4924
## verified_incomeSource Verified  0.5204831  0.0434310  11.9841
## verified_incomeVerified         1.1085540  0.0531020  20.8759
## loan_purposecredit_card        -0.2174709  0.1237707  -1.7570
## loan_purposedebt_consolidation  0.2336611  0.1206111   1.9373
## loan_purposehome_improvement   -0.1360832  0.1372344  -0.9916
## loan_purposehouse              -0.5827169  0.1899838  -3.0672
## loan_purposemajor_purchase     -0.0925206  0.1567966  -0.5901
## loan_purposemedical             0.0837639  0.1837933   0.4558
## loan_purposemoving             -0.0292612  0.2470419  -0.1184
## loan_purposeother               0.0487276  0.1315205   0.3705
## loan_purposerenewable_energy    0.3465701  0.2819415   1.2292
## loan_purposesmall_business      0.3061349  0.1983514   1.5434
## loan_purposevacation            0.7064138  0.2559893   2.7595
## application_typejoint          -0.1742241  0.0584236  -2.9821
## 
## Intercepts:
##     Value    Std. Error t value 
## A|B  -0.4266   0.1338    -3.1890
## B|C   1.2191   0.1342     9.0844
## C|D   2.7940   0.1367    20.4317
## D|E   4.6826   0.1451    32.2696
## E|F   6.5509   0.1823    35.9443
## F|G   8.3210   0.3196    26.0362
## 
## Residual Deviance: 26566.23 
## AIC: 26634.23

7.6 Persamaan Model Hasil Estimasi Ordinal

Chunk model-ordinal di atas sudah membangun model regresi logistik ordinal menggunakan MASS::polr(). Bentuk hasil estimasinya adalah:

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(grade_i \leq j)}{\widehat{P}(grade_i > j)}\right) = \hat{\alpha}_j - \widehat{\eta_i} \]

Dengan:

\[ \widehat{\eta_i} = \hat{\beta}_1X_{1i} + \hat{\beta}_2X_{2i} + \cdots + \hat{\beta}_pX_{pi} \]

Karena MASS::polr() memakai bentuk alpha_j - x beta, maka exp(beta) dibaca sebagai odds menuju grade yang lebih tinggi. Dalam laporan ini grade lebih tinggi berarti risiko lebih buruk.

\[ \widehat{\eta_i} = - 0.0004\,X_{income} + 0.019\,X_{dti} + 0.3864\,X_{delinq} + 0.1206\,X_{inq} - 0.021\,X_{tcl} + 0.0083\,X_{ocl} - 0.0024\,X_{limit} + 0.0046\,X_{utilized} + 0.0837\,X_{failed} + 0.105\,X_{bankrupt} - 0.0141\,X_{loan} + 1.7054\,X_{term60} + 0.04\,X_{homeownershipOWN} + 0.1695\,X_{homeownershipRENT} + 0.5205\,X_{verifiedincomeSourceVerified} + 1.1086\,X_{verifiedincomeVerified} - 0.2175\,X_{loanpurposecreditcard} + 0.2337\,X_{loanpurposedebtconsolidation} - 0.1361\,X_{loanpurposehomeimprovement} - 0.5827\,X_{loanpurposehouse} - 0.0925\,X_{loanpurposemajorpurchase} + 0.0838\,X_{loanpurposemedical} - 0.0293\,X_{loanpurposemoving} + 0.0487\,X_{loanpurposeother} + 0.3466\,X_{loanpurposerenewableenergy} + 0.3061\,X_{loanpurposesmallbusiness} + 0.7064\,X_{loanpurposevacation} - 0.1742\,X_{applicationtypejoint} \]

Dengan spesifikasi MASS::polr(), persamaan untuk setiap batas kumulatif adalah:

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i \leq A\mid B)}{\widehat{P}(Y_i > A\mid B)}\right) = -0.4266 - \widehat{\eta_i} \]

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i \leq B\mid C)}{\widehat{P}(Y_i > B\mid C)}\right) = 1.2191 - \widehat{\eta_i} \]

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i \leq C\mid D)}{\widehat{P}(Y_i > C\mid D)}\right) = 2.794 - \widehat{\eta_i} \]

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i \leq D\mid E)}{\widehat{P}(Y_i > D\mid E)}\right) = 4.6826 - \widehat{\eta_i} \]

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i \leq E\mid F)}{\widehat{P}(Y_i > E\mid F)}\right) = 6.5509 - \widehat{\eta_i} \]

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i \leq F\mid G)}{\widehat{P}(Y_i > F\mid G)}\right) = 8.321 - \widehat{\eta_i} \]

7.7 Koefisien dan Odds Ratio Model Ordinal

Pada tabel berikut, Odds_Ratio_Higher_Grade = exp(estimate) dibaca sebagai odds untuk berada pada kategori grade yang lebih tinggi. Ini sesuai dengan parameterisasi MASS::polr() yang berbentuk:

\[ \operatorname{logit}\{P(Y \leq j)\} = \alpha_j - x\beta \]

Jika ingin membaca odds kumulatif untuk berada pada kategori rendah atau sama dengan batas tertentu, gunakan Odds_Ratio_Lower_Cumulative = exp(-estimate).

coef_ordinal <- coef(summary(model_ordinal)) %>%
  as.data.frame()
coef_ordinal$term <- rownames(coef_ordinal)
names(coef_ordinal)[1:3] <- c("estimate", "std_error", "t_value")

coef_ordinal <- coef_ordinal %>%
  dplyr::mutate(
    p_value = 2 * pnorm(abs(t_value), lower.tail = FALSE),
    Odds_Ratio_Higher_Grade = exp(estimate),
    Odds_Ratio_Lower_Cumulative = exp(-estimate),
    Jenis = ifelse(stringr::str_detect(term, "\\|"), "Cutpoint", "Prediktor"),
    Variabel_Mudah = purrr::map_chr(term, label_ordinal),
    Keputusan_5persen = ifelse(p_value < 0.05, "Signifikan", "Tidak signifikan")
  ) %>%
  dplyr::relocate(term, Jenis)

knitr::kable(
  coef_ordinal %>% dplyr::filter(Jenis == "Prediktor") %>% dplyr::arrange(p_value) %>%
    dplyr::select(Variabel_Mudah, term, estimate, std_error, t_value, p_value, Odds_Ratio_Higher_Grade, Odds_Ratio_Lower_Cumulative, Keputusan_5persen) %>% head(25),
  digits = 4,
  caption = "Koefisien dan Odds Ratio Regresi Ordinal MASS::polr"
)

Koefisien dan Odds Ratio Regresi Ordinal MASS::polr

	Variabel_Mudah	term	estimate	std_error	t_value	p_value	Odds_Ratio_Higher_Grade	Odds_Ratio_Lower_Cumulative	Keputusan_5persen
term60	tenor pinjaman: 60 dibanding kategori acuan	term60	1.7054	0.0457	37.3046	0.0000	5.5035	0.1817	Signifikan
verified_incomeVerified	verifikasi pendapatan: Verified dibanding kategori acuan	verified_incomeVerified	1.1086	0.0531	20.8759	0.0000	3.0300	0.3300	Signifikan
total_credit_limit_k	total limit kredit (per 1.000 dollar)	total_credit_limit_k	-0.0024	0.0002	-15.1249	0.0000	0.9976	1.0024	Signifikan
inquiries_last_12m	jumlah pemeriksaan kredit 12 bulan terakhir	inquiries_last_12m	0.1206	0.0081	14.9018	0.0000	1.1282	0.8864	Signifikan
delinq_2y	jumlah keterlambatan 2 tahun terakhir	delinq_2y	0.3864	0.0280	13.7930	0.0000	1.4717	0.6795	Signifikan
verified_incomeSource Verified	verifikasi pendapatan: Source Verified dibanding kategori acuan	verified_incomeSource Verified	0.5205	0.0434	11.9841	0.0000	1.6828	0.5942	Signifikan
debt_to_income	rasio utang terhadap pendapatan	debt_to_income	0.0190	0.0019	10.1936	0.0000	1.0191	0.9812	Signifikan
total_credit_utilized_k	total kredit yang digunakan (per 1.000 dollar)	total_credit_utilized_k	0.0046	0.0005	9.5181	0.0000	1.0046	0.9954	Signifikan
total_credit_lines	total riwayat fasilitas kredit	total_credit_lines	-0.0210	0.0026	-8.2315	0.0000	0.9792	1.0212	Signifikan
loan_amount_k	jumlah pinjaman (per 1.000 dollar)	loan_amount_k	-0.0141	0.0022	-6.3999	0.0000	0.9860	1.0142	Signifikan
homeownershipRENT	kepemilikan rumah: RENT dibanding kategori acuan	homeownershipRENT	0.1695	0.0485	3.4924	0.0005	1.1847	0.8441	Signifikan
loan_purposehouse	tujuan pinjaman: house dibanding kategori acuan	loan_purposehouse	-0.5827	0.1900	-3.0672	0.0022	0.5584	1.7909	Signifikan
application_typejoint	jenis aplikasi: joint dibanding kategori acuan	application_typejoint	-0.1742	0.0584	-2.9821	0.0029	0.8401	1.1903	Signifikan
num_historical_failed_to_pay	riwayat gagal bayar sebelumnya	num_historical_failed_to_pay	0.0837	0.0281	2.9817	0.0029	1.0873	0.9197	Signifikan
loan_purposevacation	tujuan pinjaman: vacation dibanding kategori acuan	loan_purposevacation	0.7064	0.2560	2.7595	0.0058	2.0267	0.4934	Signifikan
loan_purposedebt_consolidation	tujuan pinjaman: debt_consolidation dibanding kategori acuan	loan_purposedebt_consolidation	0.2337	0.1206	1.9373	0.0527	1.2632	0.7916	Tidak signifikan
loan_purposecredit_card	tujuan pinjaman: credit_card dibanding kategori acuan	loan_purposecredit_card	-0.2175	0.1238	-1.7570	0.0789	0.8046	1.2429	Tidak signifikan
public_record_bankrupt	catatan kebangkrutan publik	public_record_bankrupt	0.1050	0.0612	1.7174	0.0859	1.1108	0.9003	Tidak signifikan
open_credit_lines	jumlah fasilitas kredit yang masih terbuka	open_credit_lines	0.0083	0.0049	1.6800	0.0930	1.0083	0.9917	Tidak signifikan
loan_purposesmall_business	tujuan pinjaman: small_business dibanding kategori acuan	loan_purposesmall_business	0.3061	0.1984	1.5434	0.1227	1.3582	0.7363	Tidak signifikan
loan_purposerenewable_energy	tujuan pinjaman: renewable_energy dibanding kategori acuan	loan_purposerenewable_energy	0.3466	0.2819	1.2292	0.2190	1.4142	0.7071	Tidak signifikan
annual_income_k	pendapatan tahunan (per 1.000 dollar)	annual_income_k	-0.0004	0.0004	-1.0622	0.2881	0.9996	1.0004	Tidak signifikan
loan_purposehome_improvement	tujuan pinjaman: home_improvement dibanding kategori acuan	loan_purposehome_improvement	-0.1361	0.1372	-0.9916	0.3214	0.8728	1.1458	Tidak signifikan
homeownershipOWN	kepemilikan rumah: OWN dibanding kategori acuan	homeownershipOWN	0.0400	0.0596	0.6710	0.5022	1.0408	0.9608	Tidak signifikan
loan_purposemajor_purchase	tujuan pinjaman: major_purchase dibanding kategori acuan	loan_purposemajor_purchase	-0.0925	0.1568	-0.5901	0.5551	0.9116	1.0969	Tidak signifikan

Pada model ordinal dengan MASS::polr(), nilai Odds_Ratio_Higher_Grade = exp(\beta) digunakan untuk membaca kecenderungan menuju grade yang lebih tinggi. Karena grade diurutkan sebagai:

\[ A < B < C < D < E < F < G \]

maka grade yang lebih tinggi berarti risiko lebih buruk.

Sementara itu, Odds_Ratio_Lower_Cumulative = exp(-\beta) membaca odds kumulatif untuk berada pada kategori rendah atau sama dengan batas tertentu, yaitu:

\[ P(Y \leq j) \]

Dalam laporan ini, interpretasi substantif difokuskan pada Odds_Ratio_Higher_Grade.

7.8 Evaluasi Model Ordinal

pred_ordinal <- predict(model_ordinal, newdata = data_ordinal, type = "class")
grade_levels <- levels(data_ordinal$grade)
pred_ordinal_f <- factor(as.character(pred_ordinal), levels = grade_levels, ordered = TRUE)
aktual_ordinal_f <- factor(as.character(data_ordinal$grade), levels = grade_levels, ordered = TRUE)

conf_ordinal <- table(Prediksi = pred_ordinal_f, Aktual = aktual_ordinal_f)
conf_ordinal

##         Aktual
## Prediksi    A    B    C    D    E    F    G
##        A 1167  631  243   82    9    1    0
##        B 1118 1485 1120  458   63    4    1
##        C  164  805 1024  587  148   27    8
##        D    4  107  258  306  111   24    3
##        E    1    2    3    5    3    1    0
##        F    0    0    1    0    0    0    0
##        G    0    2    0    0    0    0    0

akurasi_ordinal <- mean(as.character(pred_ordinal_f) == as.character(aktual_ordinal_f), na.rm = TRUE)
akurasi_ordinal

## [1] 0.3994587

AIC_ordinal <- AIC(model_ordinal)
AIC_ordinal

## [1] 26634.23

prob_ordinal <- predict(model_ordinal, type = "probs")
knitr::kable(head(prob_ordinal, 6), digits = 4, caption = "Cuplikan Prediksi Probabilitas untuk Model Ordinal")

Cuplikan Prediksi Probabilitas untuk Model Ordinal

A	B	C	D	E	F	G
0.0341	0.1207	0.3147	0.3845	0.1203	0.0212	0.0045
0.3584	0.3849	0.1900	0.0560	0.0090	0.0014	0.0003
0.1901	0.3588	0.3057	0.1203	0.0211	0.0033	0.0007
0.3321	0.3884	0.2051	0.0623	0.0101	0.0016	0.0003
0.0654	0.2008	0.3705	0.2838	0.0663	0.0109	0.0023
0.2679	0.3869	0.2468	0.0822	0.0137	0.0021	0.0004

7.9 Visualisasi Probabilitas Prediksi Model Ordinal

Visualisasi ini digunakan untuk melihat bagaimana peluang masing-masing grade berubah ketika debt_to_income meningkat. Variabel lain ditahan pada nilai median atau kategori paling umum agar hubungan lebih mudah dibaca.

grid_ordinal <- data.frame(
  annual_income_k = median(data_ordinal$annual_income_k, na.rm = TRUE),
  debt_to_income = seq(
    quantile(data_ordinal$debt_to_income, 0.05, na.rm = TRUE),
    quantile(data_ordinal$debt_to_income, 0.95, na.rm = TRUE),
    length.out = 120
  ),
  delinq_2y = median(data_ordinal$delinq_2y, na.rm = TRUE),
  inquiries_last_12m = median(data_ordinal$inquiries_last_12m, na.rm = TRUE),
  total_credit_lines = median(data_ordinal$total_credit_lines, na.rm = TRUE),
  open_credit_lines = median(data_ordinal$open_credit_lines, na.rm = TRUE),
  total_credit_limit_k = median(data_ordinal$total_credit_limit_k, na.rm = TRUE),
  total_credit_utilized_k = median(data_ordinal$total_credit_utilized_k, na.rm = TRUE),
  num_historical_failed_to_pay = median(data_ordinal$num_historical_failed_to_pay, na.rm = TRUE),
  public_record_bankrupt = median(data_ordinal$public_record_bankrupt, na.rm = TRUE),
  loan_amount_k = median(data_ordinal$loan_amount_k, na.rm = TRUE),
  term = factor(modus(data_ordinal$term), levels = levels(data_ordinal$term)),
  homeownership = factor(modus(data_ordinal$homeownership), levels = levels(data_ordinal$homeownership)),
  verified_income = factor(modus(data_ordinal$verified_income), levels = levels(data_ordinal$verified_income)),
  loan_purpose = factor(modus(data_ordinal$loan_purpose), levels = levels(data_ordinal$loan_purpose)),
  application_type = factor(modus(data_ordinal$application_type), levels = levels(data_ordinal$application_type))
)

prob_grid_ordinal <- predict(
  model_ordinal,
  newdata = grid_ordinal,
  type = "probs"
)

plot_prob_ordinal <- grid_ordinal %>%
  dplyr::bind_cols(as.data.frame(prob_grid_ordinal)) %>%
  tidyr::pivot_longer(
    cols = levels(data_ordinal$grade),
    names_to = "grade",
    values_to = "Probabilitas"
  )

ggplot(
  plot_prob_ordinal,
  aes(x = debt_to_income, y = Probabilitas, color = grade)
) +
  geom_line(linewidth = 1.1) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) +
  labs(
    title = "Prediksi Probabilitas Grade Berdasarkan Debt-to-Income Ratio",
    subtitle = "Variabel lain ditahan pada median atau kategori paling umum",
    x = "Debt-to-Income Ratio",
    y = "Probabilitas prediksi",
    color = "Grade"
  ) +
  theme_minimal()

Grafik ini membantu melihat perubahan peluang grade ketika rasio utang terhadap pendapatan meningkat. Jika probabilitas grade tinggi seperti D, E, F, atau G meningkat ketika debt_to_income naik, maka model menunjukkan bahwa beban utang yang lebih tinggi berkaitan dengan risiko kredit yang lebih buruk.

7.10 Pemeriksaan Asumsi Proportional Odds

Asumsi utama regresi logistik ordinal adalah proportional odds atau parallel lines. Artinya, pengaruh prediktor diasumsikan sama pada setiap batas kumulatif grade.

Dalam analisis ini, pemeriksaan dilakukan menggunakan fungsi clm() dan nominal_test() dari paket ordinal.

cek_proportional_odds <- tryCatch({
  model_ordinal_clm_simple <- ordinal::clm(
    grade ~ annual_income_k + debt_to_income + delinq_2y +
      inquiries_last_12m + loan_amount_k + term,
    data = data_ordinal,
    link = "logit"
  )

  print(summary(model_ordinal_clm_simple))

  ordinal::nominal_test(model_ordinal_clm_simple)

}, error = function(e) {
  cat("Pemeriksaan proportional odds dengan nominal_test() tidak berhasil dijalankan.\n")
  cat("Pesan error:", e$message, "\n")
  NULL
})

## formula: 
## grade ~ annual_income_k + debt_to_income + delinq_2y + inquiries_last_12m + loan_amount_k + term
## data:    data_ordinal
## 
##  link  threshold nobs logLik    AIC      niter max.grad cond.H 
##  logit flexible  9976 -13884.82 27793.64 7(0)  2.65e-11 2.5e+06
## 
## Coefficients:
##                      Estimate Std. Error z value             Pr(>|z|)    
## annual_income_k    -0.0039610  0.0004048  -9.784 < 0.0000000000000002 ***
## debt_to_income      0.0157440  0.0015465  10.180 < 0.0000000000000002 ***
## delinq_2y           0.3232870  0.0268864  12.024 < 0.0000000000000002 ***
## inquiries_last_12m  0.1057767  0.0077237  13.695 < 0.0000000000000002 ***
## loan_amount_k      -0.0084878  0.0021147  -4.014            0.0000598 ***
## term60              1.5669873  0.0446407  35.102 < 0.0000000000000002 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Threshold coefficients:
##     Estimate Std. Error z value
## A|B -0.66176    0.05296  -12.50
## B|C  0.85255    0.05310   16.06
## C|D  2.30485    0.05776   39.90
## D|E  4.09772    0.07433   55.13
## E|F  5.93822    0.13290   44.68
## F|G  7.70270    0.29416   26.18

cek_proportional_odds

cat("::: {.interpret-box}\n")

if (is.null(cek_proportional_odds)) {
  cat("Pemeriksaan proportional odds dengan `nominal_test()` tidak berhasil dijalankan secara stabil. Oleh karena itu, pada laporan ini asumsi proportional odds dicatat sebagai keterbatasan analisis. Model ordinal tetap digunakan sebagai model utama karena tujuan analisis adalah memahami hubungan antara karakteristik pinjaman dan tingkat grade risiko.\n")
} else {
  hasil_po <- as.data.frame(cek_proportional_odds)
  hasil_po$Variabel <- rownames(hasil_po)

  kolom_p <- grep("Pr", names(hasil_po), value = TRUE)[1]

  if (is.na(kolom_p)) {
    cat("Hasil `nominal_test()` berhasil diperoleh, tetapi kolom p-value tidak terdeteksi secara otomatis. Oleh karena itu, interpretasi dilakukan secara deskriptif melalui tabel output uji.\n")
  } else {
    hasil_po <- hasil_po %>%
      dplyr::filter(!is.na(.data[[kolom_p]]))

    signif_po <- hasil_po %>%
      dplyr::filter(.data[[kolom_p]] < 0.05)

    tidak_signif_po <- hasil_po %>%
      dplyr::filter(.data[[kolom_p]] >= 0.05)

    cat("Pemeriksaan proportional odds dilakukan menggunakan `ordinal::nominal_test()` pada model ordinal sederhana. ")

    if (nrow(signif_po) == 0) {
      cat("Berdasarkan hasil uji, tidak terdapat prediktor dengan p-value di bawah 0,05. Artinya, tidak ditemukan indikasi kuat bahwa asumsi proportional odds dilanggar pada model pemeriksaan ini. Dengan demikian, penggunaan model ordinal cumulative logit masih dapat diterima sebagai model awal.\n")
    } else {
      cat("Berdasarkan hasil uji, terdapat ", nrow(signif_po), " prediktor dengan p-value di bawah 0,05, yaitu: ",
          paste(signif_po$Variabel, collapse = ", "),
          ". Hal ini menunjukkan adanya indikasi bahwa efek prediktor tersebut tidak sepenuhnya konstan pada seluruh batas kumulatif grade. Dengan kata lain, asumsi proportional odds berpotensi tidak terpenuhi untuk prediktor tersebut.\n\n", sep = "")

      cat("Secara substantif, hasil ini berarti pengaruh beberapa karakteristik peminjam terhadap perpindahan dari grade rendah ke grade tinggi tidak selalu sama pada setiap batas grade. Misalnya, pengaruh suatu prediktor dalam membedakan grade A-B dengan grade C-G dapat berbeda dari pengaruhnya dalam membedakan grade A-D dengan grade E-G.\n")
    }
  }
}

Pemeriksaan proportional odds dilakukan menggunakan ordinal::nominal_test() pada model ordinal sederhana. Berdasarkan hasil uji, terdapat 4 prediktor dengan p-value di bawah 0,05, yaitu: delinq_2y, inquiries_last_12m, loan_amount_k, term. Hal ini menunjukkan adanya indikasi bahwa efek prediktor tersebut tidak sepenuhnya konstan pada seluruh batas kumulatif grade. Dengan kata lain, asumsi proportional odds berpotensi tidak terpenuhi untuk prediktor tersebut.

Secara substantif, hasil ini berarti pengaruh beberapa karakteristik peminjam terhadap perpindahan dari grade rendah ke grade tinggi tidak selalu sama pada setiap batas grade. Misalnya, pengaruh suatu prediktor dalam membedakan grade A-B dengan grade C-G dapat berbeda dari pengaruhnya dalam membedakan grade A-D dengan grade E-G.

cat(":::\n")

cat("::: {.warning-box}\n")

if (is.null(cek_proportional_odds)) {
  cat("Karena uji proportional odds tidak berhasil dijalankan secara stabil, hasil model ordinal perlu dibaca dengan hati-hati. Keterbatasan ini tidak membatalkan model, tetapi menunjukkan bahwa pemeriksaan asumsi belum dapat disimpulkan secara kuat dari output uji.\n")
} else {
  hasil_po <- as.data.frame(cek_proportional_odds)
  hasil_po$Variabel <- rownames(hasil_po)

  kolom_p <- grep("Pr", names(hasil_po), value = TRUE)[1]

  if (!is.na(kolom_p)) {
    signif_po <- hasil_po %>%
      dplyr::filter(!is.na(.data[[kolom_p]]), .data[[kolom_p]] < 0.05)

    if (nrow(signif_po) == 0) {
      cat("Kesimpulan pemeriksaan asumsi: tidak ada bukti kuat pelanggaran proportional odds pada taraf 5%. Oleh karena itu, model ordinal `MASS::polr()` tetap layak digunakan sebagai model utama untuk menjelaskan tingkat risiko pinjaman berdasarkan grade.\n")
    } else {
      cat("Kesimpulan pemeriksaan asumsi: terdapat indikasi pelanggaran proportional odds pada sebagian prediktor. Oleh karena itu, hasil model ordinal tetap dapat digunakan sebagai model awal, tetapi interpretasinya perlu dilakukan dengan hati-hati. Jika analisis ingin dikembangkan lebih lanjut, alternatif yang dapat dipertimbangkan adalah partial proportional odds model, generalized ordered logit model, atau regresi multinomial sebagai pembanding non-ordinal.\n")
    }
  } else {
    cat("Kesimpulan pemeriksaan asumsi belum dapat dibuat secara otomatis karena kolom p-value tidak terdeteksi. Output `nominal_test()` tetap perlu diperiksa secara manual.\n")
  }
}

Kesimpulan pemeriksaan asumsi: terdapat indikasi pelanggaran proportional odds pada sebagian prediktor. Oleh karena itu, hasil model ordinal tetap dapat digunakan sebagai model awal, tetapi interpretasinya perlu dilakukan dengan hati-hati. Jika analisis ingin dikembangkan lebih lanjut, alternatif yang dapat dipertimbangkan adalah partial proportional odds model, generalized ordered logit model, atau regresi multinomial sebagai pembanding non-ordinal.

cat(":::\n")

7.11 Interpretasi dan Kesimpulan Model Ordinal

sig_ordinal <- coef_ordinal %>%
  dplyr::filter(Jenis == "Prediktor", p_value < 0.05) %>%
  dplyr::arrange(p_value)

cat("Pada taraf signifikansi 5%, model ordinal menemukan ", nrow(sig_ordinal),
    " prediktor yang berhubungan signifikan dengan grade risiko pinjaman.\n\n", sep = "")

Pada taraf signifikansi 5%, model ordinal menemukan 15 prediktor yang berhubungan signifikan dengan grade risiko pinjaman.

if (nrow(sig_ordinal) > 0) {
  cat("Prediktor paling penting berdasarkan p-value terkecil adalah:\n\n")
  top_ordinal <- head(sig_ordinal, 8)
  for (i in seq_len(nrow(top_ordinal))) {
    row <- top_ordinal[i, ]
    arah <- ifelse(row$Odds_Ratio_Higher_Grade > 1,
                   "meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G",
                   "menurunkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi")
    cat("- **", row$Variabel_Mudah, "** memiliki OR kategori lebih tinggi = ", fmt_num(row$Odds_Ratio_Higher_Grade, 3),
        " dan p-value = ", fmt_p(row$p_value), ", sehingga variabel ini ", arah,
        ", dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi `polr`, ini berasal dari model `logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta`.\n", sep = "")
  }
  cat("\n")
}

Prediktor paling penting berdasarkan p-value terkecil adalah:

• tenor pinjaman: 60 dibanding kategori acuan memiliki OR kategori lebih tinggi = 5.504 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
• verifikasi pendapatan: Verified dibanding kategori acuan memiliki OR kategori lebih tinggi = 3.030 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
• total limit kredit (per 1.000 dollar) memiliki OR kategori lebih tinggi = 0.998 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
• jumlah pemeriksaan kredit 12 bulan terakhir memiliki OR kategori lebih tinggi = 1.128 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
• jumlah keterlambatan 2 tahun terakhir memiliki OR kategori lebih tinggi = 1.472 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
• verifikasi pendapatan: Source Verified dibanding kategori acuan memiliki OR kategori lebih tinggi = 1.683 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
• rasio utang terhadap pendapatan memiliki OR kategori lebih tinggi = 1.019 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.
• total kredit yang digunakan (per 1.000 dollar) memiliki OR kategori lebih tinggi = 1.005 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan pinjaman masuk ke grade risiko yang lebih tinggi, yaitu mendekati G, dengan asumsi variabel lain tetap. Dalam parameterisasi polr, ini berasal dari model logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta.

cat("Akurasi klasifikasi model ordinal adalah **", scales::percent(akurasi_ordinal),
    "**. AIC model adalah **", fmt_num(AIC_ordinal, 2), "**.\n\n", sep = "")

Akurasi klasifikasi model ordinal adalah 40%. AIC model adalah 26,634.23.

cat("**Kesimpulan substantif:** model ordinal menunjukkan faktor-faktor yang membedakan pinjaman berisiko rendah dan tinggi. Karena model menggunakan `MASS::polr` dengan bentuk `logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta`, maka `exp(beta)` dibaca sebagai odds untuk berada pada kategori grade yang lebih tinggi. Dengan urutan A sampai G, OR kategori lebih tinggi di atas 1 berarti variabel tersebut berkaitan dengan grade risiko lebih buruk, sedangkan OR di bawah 1 berarti berkaitan dengan grade risiko lebih rendah.\n")

Kesimpulan substantif: model ordinal menunjukkan faktor-faktor yang membedakan pinjaman berisiko rendah dan tinggi. Karena model menggunakan MASS::polr dengan bentuk logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta, maka exp(beta) dibaca sebagai odds untuk berada pada kategori grade yang lebih tinggi. Dengan urutan A sampai G, OR kategori lebih tinggi di atas 1 berarti variabel tersebut berkaitan dengan grade risiko lebih buruk, sedangkan OR di bawah 1 berarti berkaitan dengan grade risiko lebih rendah.

8 Bagian III — Regresi Logistik Multinomial

8.1 Tujuan Analisis

Tujuan analisis ini adalah mengetahui faktor-faktor yang berhubungan dengan status pinjaman Prosper. Status pinjaman tidak diperlakukan sebagai urutan, karena Current, Completed, Chargedoff, Defaulted, dan PastDue adalah jenis kondisi pinjaman yang berbeda.

8.2 Variabel yang Digunakan

Variabel respon adalah LoanStatus, yang kemudian dirapikan menjadi LoanStatus_recode.

Variabel yang Dipakai pada Model Multinomial

Kategori baru	Arti sederhana
Completed	Pinjaman sudah selesai dibayar
Current	Pinjaman masih berjalan
Chargedoff	Pinjaman sudah dianggap macet/rugi
Defaulted	Pinjaman gagal bayar
PastDue	Pinjaman sedang terlambat bayar

Variabel	Peran	Alasan_dipakai
LoanStatus_recode	Respon	Mewakili status pinjaman Prosper
BorrowerAPR	Prediktor	Menggambarkan biaya pinjaman tahunan
LoanOriginalAmount	Prediktor	Menggambarkan besar pinjaman awal
Term	Prediktor	Menggambarkan tenor pinjaman
EmploymentStatus	Prediktor	Menggambarkan kondisi pekerjaan peminjam
IncomeRange	Prediktor	Menggambarkan rentang pendapatan peminjam
DebtToIncomeRatio	Prediktor	Mengukur beban utang terhadap pendapatan
CreditScoreRangeLower	Prediktor	Menggambarkan skor kredit peminjam
ListingCategory (numeric)	Prediktor	Menggambarkan kategori tujuan pinjaman
StatedMonthlyIncome	Prediktor	Menggambarkan pendapatan bulanan yang dilaporkan

Variabel seperti LoanCurrentDaysDelinquent, LoanFirstDefaultedCycleNumber, dan variabel LP_... tidak digunakan karena muncul setelah pinjaman berjalan dan terlalu dekat dengan status pinjaman. Variabel seperti ini dapat menyebabkan data leakage.

8.3 Cleaning Data Multinomial

data_multinom <- data_multinom_raw %>%
  dplyr::rename(
    ProsperRating_Alpha = `ProsperRating (Alpha)`,
    ListingCategory_numeric = `ListingCategory (numeric)`
  ) %>%
  dplyr::mutate(
    LoanStatus_recode = dplyr::case_when(
      stringr::str_detect(LoanStatus, "Past Due") ~ "PastDue",
      LoanStatus %in% c("Completed", "Current", "Chargedoff", "Defaulted") ~ LoanStatus,
      TRUE ~ "Other"
    )
  ) %>%
  dplyr::filter(LoanStatus_recode %in% c("Completed", "Current", "Chargedoff", "Defaulted", "PastDue")) %>%
  dplyr::mutate(
    LoanStatus_recode = relevel(factor(LoanStatus_recode), ref = "Completed"),
    Term = factor(Term),
    EmploymentStatus = forcats::fct_lump_n(factor(EmploymentStatus), n = 6, other_level = "Other"),
    IncomeRange = factor(IncomeRange),
    ListingCategory_numeric = factor(ListingCategory_numeric),
    LoanOriginalAmount_k = LoanOriginalAmount / 1000,
    StatedMonthlyIncome_k = StatedMonthlyIncome / 1000
  ) %>%
  dplyr::select(
    LoanStatus_recode, BorrowerAPR, LoanOriginalAmount_k, Term,
    EmploymentStatus, IncomeRange, DebtToIncomeRatio, CreditScoreRangeLower,
    ListingCategory_numeric, StatedMonthlyIncome_k
  ) %>%
  tidyr::drop_na()

knitr::kable(head(data_multinom, 6), caption = "Cuplikan Data Multinomial Setelah Cleaning")

Cuplikan Data Multinomial Setelah Cleaning

LoanStatus_recode	BorrowerAPR	LoanOriginalAmount_k	Term	EmploymentStatus	IncomeRange	DebtToIncomeRatio	CreditScoreRangeLower	ListingCategory_numeric	StatedMonthlyIncome_k
Completed	0.16516	9.425	36	Self-employed	$25,000-49,999	0.17	640	0	3.083333
Current	0.12016	10.000	36	Employed	$50,000-74,999	0.18	680	2	6.125000
Completed	0.28269	3.001	36	Not available	Not displayed	0.06	480	0	2.083333
Current	0.12528	10.000	36	Employed	$25,000-49,999	0.15	800	16	2.875000
Current	0.24614	15.000	36	Employed	$100,000+	0.26	680	2	9.583333
Current	0.15425	15.000	60	Employed	$100,000+	0.36	740	1	8.333333

Completed digunakan sebagai kategori acuan. Jadi hasil model akan membaca status lain dibanding pinjaman yang sudah selesai dibayar.

8.4 Analisis Deskriptif Data Multinomial

dist_multinom <- data_multinom %>%
  dplyr::count(LoanStatus_recode) %>%
  dplyr::mutate(Persen = scales::percent(n / sum(n)))
knitr::kable(dist_multinom, caption = "Distribusi Loan Status Setelah Recode")

Distribusi Loan Status Setelah Recode

LoanStatus_recode	n	Persen
Completed	33917	32.9%
Chargedoff	10463	10.2%
Current	52478	51.0%
Defaulted	4249	4.1%
PastDue	1857	1.8%

ringkasan_multinom <- data_multinom %>%
  dplyr::summarise(
    Rata_rata_APR = mean(BorrowerAPR),
    Median_APR = median(BorrowerAPR),
    Rata_rata_loan_amount_k = mean(LoanOriginalAmount_k),
    Median_loan_amount_k = median(LoanOriginalAmount_k),
    Rata_rata_DTI = mean(DebtToIncomeRatio)
  )
knitr::kable(ringkasan_multinom, caption = "Ringkasan Prediktor Utama Data Multinomial")

Ringkasan Prediktor Utama Data Multinomial

Rata_rata_APR	Median_APR	Rata_rata_loan_amount_k	Median_loan_amount_k	Rata_rata_DTI
0.2166657	0.2073	8.527668	6.6	0.2779702

ggplot(data_multinom, aes(x = LoanStatus_recode)) +
  geom_bar() +
  labs(
    title = "Distribusi Status Pinjaman Prosper",
    x = "Loan Status",
    y = "Jumlah pinjaman"
  ) +
  theme_minimal()

8.5 Pembentukan Model Regresi Logistik Multinomial

Model multinomial membandingkan setiap kategori status pinjaman terhadap kategori acuan Completed. Karena kategori selain Completed adalah Current, Chargedoff, Defaulted, dan PastDue, model membangun empat persamaan logit sekaligus.

Untuk setiap kategori status \(k\) selain Completed, bentuk modelnya adalah:

\[ \log\left( \frac{P(Y_i = k)}{P(Y_i = Completed)} \right) = \beta_{0k} + \beta_{1k}X_{1i} + \cdots + \beta_{pk}X_{pi} \]

Artinya, setiap koefisien selalu dibaca relatif terhadap kategori acuan Completed.

model_multinom <- nnet::multinom(
  LoanStatus_recode ~ BorrowerAPR + LoanOriginalAmount_k + Term + EmploymentStatus +
    IncomeRange + DebtToIncomeRatio + CreditScoreRangeLower +
    ListingCategory_numeric + StatedMonthlyIncome_k,
  data = data_multinom,
  trace = FALSE,
  maxit = 200,
  MaxNWts = 10000
)

summary(model_multinom)

## Call:
## nnet::multinom(formula = LoanStatus_recode ~ BorrowerAPR + LoanOriginalAmount_k + 
##     Term + EmploymentStatus + IncomeRange + DebtToIncomeRatio + 
##     CreditScoreRangeLower + ListingCategory_numeric + StatedMonthlyIncome_k, 
##     data = data_multinom, trace = FALSE, maxit = 200, MaxNWts = 10000)
## 
## Coefficients:
##            (Intercept) BorrowerAPR LoanOriginalAmount_k   Term36   Term60
## Chargedoff  -0.6295027    6.684549           0.06960958 1.543688 1.928403
## Current     -9.0123432   -6.171438           0.07133498 4.251528 5.047080
## Defaulted   -2.0802445    5.890494           0.08078609 2.288127 2.373327
## PastDue    -12.3376523    4.685553           0.08554448 2.849515 3.675825
##            EmploymentStatusFull-time EmploymentStatusNot available
## Chargedoff                0.03631025                    0.01860717
## Current                  -3.59344482                   19.58240081
## Defaulted                 0.67753261                    1.04107783
## PastDue                  -2.82464528                   -3.40871471
##            EmploymentStatusPart-time EmploymentStatusSelf-employed
## Chargedoff                -0.2877912                     0.4939120
## Current                   -4.4946527                    -3.2763642
## Defaulted                  0.1666370                     0.9999379
## PastDue                   -1.9619289                   -27.2650565
##            EmploymentStatusOther IncomeRange$1-24,999 IncomeRange$100,000+
## Chargedoff             0.4989151            0.3378266           -0.3613065
## Current                0.3201893            8.8117782            8.6567855
## Defaulted              0.7929610           -0.3501685           -0.1367631
## PastDue                0.1793325            7.0312452            6.7596505
##            IncomeRange$25,000-49,999 IncomeRange$50,000-74,999
## Chargedoff                 0.2086400               -0.05227022
## Current                    8.8280347                8.82613270
## Defaulted                 -0.1517018               -0.21522729
## PastDue                    6.9924241                6.86682065
##            IncomeRange$75,000-99,999 IncomeRangeNot displayed
## Chargedoff                -0.1699349               -0.3250956
## Current                    8.7365207              -23.4326132
## Defaulted                 -0.2175515               -0.1434447
## PastDue                    6.7891067               -2.7346498
##            IncomeRangeNot employed DebtToIncomeRatio CreditScoreRangeLower
## Chargedoff              -0.2673620        0.04322748          -0.005686828
## Current                -29.4389818        0.32910003          -0.010713248
## Defaulted               -0.8653875        0.07493480          -0.005769732
## PastDue                -44.0422496        0.27404756          -0.008016763
##            ListingCategory_numeric1 ListingCategory_numeric2
## Chargedoff               -0.5708640               -0.4102319
## Current                   5.5951129                5.3244649
## Defaulted                -0.6890061               -0.8126204
## PastDue                   4.1759018                4.4049329
##            ListingCategory_numeric3 ListingCategory_numeric4
## Chargedoff               -0.1091526              -0.09164516
## Current                   4.9849066             -19.31941238
## Defaulted                -0.4161347              -0.32889454
## PastDue                   4.2382908            -145.72917520
##            ListingCategory_numeric5 ListingCategory_numeric6
## Chargedoff               -0.5295448               -0.7036627
## Current                 -27.2799821                4.9521401
## Defaulted                -0.8701874               -1.0376967
## PastDue                 -26.1512089                3.8806954
##            ListingCategory_numeric7 ListingCategory_numeric8
## Chargedoff               -0.5496470                0.1609483
## Current                   4.9726225                6.0041333
## Defaulted                -0.8979768              -19.8076383
## PastDue                   3.8253652                4.7507223
##            ListingCategory_numeric9 ListingCategory_numeric10
## Chargedoff                -1.148400                 -0.368280
## Current                    4.984668                  5.251689
## Defaulted                -14.410266                 -1.004847
## PastDue                    3.949680                  4.303154
##            ListingCategory_numeric11 ListingCategory_numeric12
## Chargedoff                 -1.793221                 0.4877906
## Current                     5.413090                 5.4237962
## Defaulted                 -21.741148                 0.1127084
## PastDue                     4.359630                 4.8957947
##            ListingCategory_numeric13 ListingCategory_numeric14
## Chargedoff                 0.1619101                -0.3259399
## Current                    5.9994923                 5.8951513
## Defaulted                 -0.6488704                -0.8857277
## PastDue                    4.8947403                 5.1462304
##            ListingCategory_numeric15 ListingCategory_numeric16
## Chargedoff                0.03404026                 -2.787390
## Current                   6.07860353                  5.341409
## Defaulted                -0.71102302                 -1.981023
## PastDue                   5.31452702                  4.129824
##            ListingCategory_numeric17 ListingCategory_numeric18
## Chargedoff               -16.8872324                -0.3701332
## Current                    4.9597574                 6.0569545
## Defaulted                 -0.7242184                -1.1094231
## PastDue                    3.3796574                 4.8894867
##            ListingCategory_numeric19 ListingCategory_numeric20
## Chargedoff                -0.2054259                -0.5058006
## Current                    6.0258047                 5.8110789
## Defaulted                 -0.9403849                -1.0029376
## PastDue                    4.7436539                 4.3776057
##            StatedMonthlyIncome_k
## Chargedoff          -0.007556906
## Current             -0.002472433
## Defaulted           -0.062486512
## PastDue             -0.013091727
## 
## Std. Errors:
##            (Intercept) BorrowerAPR LoanOriginalAmount_k     Term36     Term60
## Chargedoff 0.045536970 0.037083609          0.002590117 0.03231556 0.03709095
## Current    0.042940975 0.050384682          0.002148251 0.02868112 0.02991584
## Defaulted  0.025610152 0.017306644          0.003441570 0.04344827 0.04479088
## PastDue    0.004453529 0.004306967          0.004991918 0.02952604 0.02885220
##            EmploymentStatusFull-time EmploymentStatusNot available
## Chargedoff               0.026669563              0.02018490998192
## Current                  0.032502948              0.00000010584371
## Defaulted                0.040883021              0.02267829817536
## PastDue                  0.006324081              0.00000000312831
##            EmploymentStatusPart-time EmploymentStatusSelf-employed
## Chargedoff               0.073529020        0.06388159859828143605
## Current                  0.002106384        0.00387143576458124196
## Defaulted                0.016589231        0.02788475866400276504
## PastDue                  0.001314815        0.00000000000001235172
##            EmploymentStatusOther IncomeRange$1-24,999 IncomeRange$100,000+
## Chargedoff            0.05829488           0.03983956           0.04657958
## Current               0.04134132           0.03579038           0.02876603
## Defaulted             0.02005086           0.06382447           0.06673275
## PastDue               0.02078589           0.03965622           0.04205807
##            IncomeRange$25,000-49,999 IncomeRange$50,000-74,999
## Chargedoff                0.02522149                0.02543147
## Current                   0.02005919                0.01989183
## Defaulted                 0.04027661                0.03782352
## PastDue                   0.04931018                0.04641457
##            IncomeRange$75,000-99,999 IncomeRangeNot displayed
## Chargedoff                0.03377200        0.020756548914746
## Current                   0.02424256        0.000000105843708
## Defaulted                 0.05014490        0.022853289120219
## PastDue                   0.05373256        0.000000004784348
##                      IncomeRangeNot employed DebtToIncomeRatio
## Chargedoff 0.0036259403988203055789474316128        0.01663586
## Current    0.0000000000000000085881086399226        0.03016698
## Defaulted  0.0015947819525250392889981210232        0.01896800
## PastDue    0.0000000000000000000000001404215        0.05639278
##            CreditScoreRangeLower ListingCategory_numeric1
## Chargedoff          0.0001471156               0.02873817
## Current             0.0001393542               0.02356747
## Defaulted           0.0001432285               0.04045566
## PastDue             0.0001145706               0.04461606
##            ListingCategory_numeric2 ListingCategory_numeric3
## Chargedoff               0.05006704               0.04684950
## Current                  0.03561136               0.04099614
## Defaulted                0.06018821               0.06931139
## PastDue                  0.06930417               0.06522677
##                                                                ListingCategory_numeric4
## Chargedoff 0.05616956550329447322988940527466183993965387344360351562500000000000000000
## Current    0.00000000000106822452679283688714313022005697462191164959222078323364257812
## Defaulted  0.07526216027288142040863050397092592902481555938720703125000000000000000000
## PastDue    0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001973953
##             ListingCategory_numeric5 ListingCategory_numeric6
## Chargedoff 0.02588308410529137348899              0.071878564
## Current    0.00000000000000005055312              0.052408358
## Defaulted  0.00594903836636222552170              0.009998349
## PastDue    0.00000000000000007009299              0.010097548
##            ListingCategory_numeric7 ListingCategory_numeric8
## Chargedoff               0.04065510     0.001102603846008551
## Current                  0.03185993     0.002186677187282552
## Defaulted                0.06607299     0.000000000000712633
## PastDue                  0.07005652     0.000546422384865483
##            ListingCategory_numeric9 ListingCategory_numeric10
## Chargedoff       0.0002448132412289              0.0006498580
## Current          0.0012111145759105              0.0012244402
## Defaulted        0.0000000001615604              0.0001227801
## PastDue          0.0002086859400089              0.0002965393
##            ListingCategory_numeric11 ListingCategory_numeric12
## Chargedoff     0.0002922166267297219              0.0004505171
## Current        0.0028446576926797317              0.0006599993
## Defaulted      0.0000000000001831248              0.0001282290
## PastDue        0.0006493307834530542              0.0001941926
##            ListingCategory_numeric13 ListingCategory_numeric14
## Chargedoff               0.056033285               0.016831564
## Current                  0.051702952               0.076020967
## Defaulted                0.004037303               0.001839924
## PastDue                  0.026698277               0.018723003
##            ListingCategory_numeric15 ListingCategory_numeric16
## Chargedoff               0.021330744              0.0001996018
## Current                  0.055934511              0.0056386055
## Defaulted                0.001958656              0.0001317935
## PastDue                  0.016634871              0.0009508215
##            ListingCategory_numeric17 ListingCategory_numeric18
## Chargedoff       0.00000000003706055               0.019576242
## Current          0.00065983728541946               0.079580967
## Defaulted        0.00013859277502570               0.001717409
## PastDue          0.00011865885701263               0.014504357
##            ListingCategory_numeric19 ListingCategory_numeric20
## Chargedoff               0.023230141               0.020786823
## Current                  0.078774850               0.081056264
## Defaulted                0.001881095               0.002258808
## PastDue                  0.010945065               0.011165208
##            StatedMonthlyIncome_k
## Chargedoff           0.004694496
## Current              0.002150989
## Defaulted            0.009234341
## PastDue              0.008540678
## 
## Residual Deviance: 158451.7 
## AIC: 158763.7

8.6 Persamaan Model Hasil Estimasi Multinomial

Untuk kategori Chargedoff dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{Chargedoff})}{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{Completed})}\right) = -0.6295 + 6.6845\,\mathrm{BorrowerAPR} + 0.0696\,\mathrm{LoanAmount_k} + 1.5437\,\mathrm{Term36} + 1.9284\,\mathrm{Term60} + 0.0363\,\mathrm{EmploymentStatusFulltime} + 0.0186\,\mathrm{EmploymentStatusNotavailable} - 0.2878\,\mathrm{EmploymentStatusParttime} + 0.4939\,\mathrm{EmploymentStatusSelfemployed} + 0.4989\,\mathrm{EmploymentStatusOther} + 0.3378\,\mathrm{IncomeRange124999} - 0.3613\,\mathrm{IncomeRange100000} + 0.2086\,\mathrm{IncomeRange2500049999} - 0.0523\,\mathrm{IncomeRange5000074999} - 0.1699\,\mathrm{IncomeRange7500099999} - 0.3251\,\mathrm{IncomeRangeNotdisplayed} - 0.2674\,\mathrm{IncomeRangeNotemployed} + 0.0432\,\mathrm{DTI} - 0.0057\,\mathrm{CreditScore} - 0.5709\,\mathrm{ListingCategory_numeric1} - 0.4102\,\mathrm{ListingCategory_numeric2} - 0.1092\,\mathrm{ListingCategory_numeric3} - 0.0916\,\mathrm{ListingCategory_numeric4} - 0.5295\,\mathrm{ListingCategory_numeric5} - 0.7037\,\mathrm{ListingCategory_numeric6} - 0.5496\,\mathrm{ListingCategory_numeric7} + 0.1609\,\mathrm{ListingCategory_numeric8} - 1.1484\,\mathrm{ListingCategory_numeric9} - 0.3683\,\mathrm{ListingCategory_numeric10} - 1.7932\,\mathrm{ListingCategory_numeric11} + 0.4878\,\mathrm{ListingCategory_numeric12} + 0.1619\,\mathrm{ListingCategory_numeric13} - 0.3259\,\mathrm{ListingCategory_numeric14} + 0.034\,\mathrm{ListingCategory_numeric15} - 2.7874\,\mathrm{ListingCategory_numeric16} - 16.8872\,\mathrm{ListingCategory_numeric17} - 0.3701\,\mathrm{ListingCategory_numeric18} - 0.2054\,\mathrm{ListingCategory_numeric19} - 0.5058\,\mathrm{ListingCategory_numeric20} - 0.0076\,\mathrm{Income_k} \]

Untuk kategori Current dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{Current})}{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{Completed})}\right) = -9.0123 - 6.1714\,\mathrm{BorrowerAPR} + 0.0713\,\mathrm{LoanAmount_k} + 4.2515\,\mathrm{Term36} + 5.0471\,\mathrm{Term60} - 3.5934\,\mathrm{EmploymentStatusFulltime} + 19.5824\,\mathrm{EmploymentStatusNotavailable} - 4.4947\,\mathrm{EmploymentStatusParttime} - 3.2764\,\mathrm{EmploymentStatusSelfemployed} + 0.3202\,\mathrm{EmploymentStatusOther} + 8.8118\,\mathrm{IncomeRange124999} + 8.6568\,\mathrm{IncomeRange100000} + 8.828\,\mathrm{IncomeRange2500049999} + 8.8261\,\mathrm{IncomeRange5000074999} + 8.7365\,\mathrm{IncomeRange7500099999} - 23.4326\,\mathrm{IncomeRangeNotdisplayed} - 29.439\,\mathrm{IncomeRangeNotemployed} + 0.3291\,\mathrm{DTI} - 0.0107\,\mathrm{CreditScore} + 5.5951\,\mathrm{ListingCategory_numeric1} + 5.3245\,\mathrm{ListingCategory_numeric2} + 4.9849\,\mathrm{ListingCategory_numeric3} - 19.3194\,\mathrm{ListingCategory_numeric4} - 27.28\,\mathrm{ListingCategory_numeric5} + 4.9521\,\mathrm{ListingCategory_numeric6} + 4.9726\,\mathrm{ListingCategory_numeric7} + 6.0041\,\mathrm{ListingCategory_numeric8} + 4.9847\,\mathrm{ListingCategory_numeric9} + 5.2517\,\mathrm{ListingCategory_numeric10} + 5.4131\,\mathrm{ListingCategory_numeric11} + 5.4238\,\mathrm{ListingCategory_numeric12} + 5.9995\,\mathrm{ListingCategory_numeric13} + 5.8952\,\mathrm{ListingCategory_numeric14} + 6.0786\,\mathrm{ListingCategory_numeric15} + 5.3414\,\mathrm{ListingCategory_numeric16} + 4.9598\,\mathrm{ListingCategory_numeric17} + 6.057\,\mathrm{ListingCategory_numeric18} + 6.0258\,\mathrm{ListingCategory_numeric19} + 5.8111\,\mathrm{ListingCategory_numeric20} - 0.0025\,\mathrm{Income_k} \]

Untuk kategori Defaulted dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{Defaulted})}{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{Completed})}\right) = -2.0802 + 5.8905\,\mathrm{BorrowerAPR} + 0.0808\,\mathrm{LoanAmount_k} + 2.2881\,\mathrm{Term36} + 2.3733\,\mathrm{Term60} + 0.6775\,\mathrm{EmploymentStatusFulltime} + 1.0411\,\mathrm{EmploymentStatusNotavailable} + 0.1666\,\mathrm{EmploymentStatusParttime} + 0.9999\,\mathrm{EmploymentStatusSelfemployed} + 0.793\,\mathrm{EmploymentStatusOther} - 0.3502\,\mathrm{IncomeRange124999} - 0.1368\,\mathrm{IncomeRange100000} - 0.1517\,\mathrm{IncomeRange2500049999} - 0.2152\,\mathrm{IncomeRange5000074999} - 0.2176\,\mathrm{IncomeRange7500099999} - 0.1434\,\mathrm{IncomeRangeNotdisplayed} - 0.8654\,\mathrm{IncomeRangeNotemployed} + 0.0749\,\mathrm{DTI} - 0.0058\,\mathrm{CreditScore} - 0.689\,\mathrm{ListingCategory_numeric1} - 0.8126\,\mathrm{ListingCategory_numeric2} - 0.4161\,\mathrm{ListingCategory_numeric3} - 0.3289\,\mathrm{ListingCategory_numeric4} - 0.8702\,\mathrm{ListingCategory_numeric5} - 1.0377\,\mathrm{ListingCategory_numeric6} - 0.898\,\mathrm{ListingCategory_numeric7} - 19.8076\,\mathrm{ListingCategory_numeric8} - 14.4103\,\mathrm{ListingCategory_numeric9} - 1.0048\,\mathrm{ListingCategory_numeric10} - 21.7411\,\mathrm{ListingCategory_numeric11} + 0.1127\,\mathrm{ListingCategory_numeric12} - 0.6489\,\mathrm{ListingCategory_numeric13} - 0.8857\,\mathrm{ListingCategory_numeric14} - 0.711\,\mathrm{ListingCategory_numeric15} - 1.981\,\mathrm{ListingCategory_numeric16} - 0.7242\,\mathrm{ListingCategory_numeric17} - 1.1094\,\mathrm{ListingCategory_numeric18} - 0.9404\,\mathrm{ListingCategory_numeric19} - 1.0029\,\mathrm{ListingCategory_numeric20} - 0.0625\,\mathrm{Income_k} \]

Untuk kategori PastDue dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{PastDue})}{\widehat{P}(Y_i=\mathrm{Completed})}\right) = -12.3377 + 4.6856\,\mathrm{BorrowerAPR} + 0.0855\,\mathrm{LoanAmount_k} + 2.8495\,\mathrm{Term36} + 3.6758\,\mathrm{Term60} - 2.8246\,\mathrm{EmploymentStatusFulltime} - 3.4087\,\mathrm{EmploymentStatusNotavailable} - 1.9619\,\mathrm{EmploymentStatusParttime} - 27.2651\,\mathrm{EmploymentStatusSelfemployed} + 0.1793\,\mathrm{EmploymentStatusOther} + 7.0312\,\mathrm{IncomeRange124999} + 6.7597\,\mathrm{IncomeRange100000} + 6.9924\,\mathrm{IncomeRange2500049999} + 6.8668\,\mathrm{IncomeRange5000074999} + 6.7891\,\mathrm{IncomeRange7500099999} - 2.7346\,\mathrm{IncomeRangeNotdisplayed} - 44.0422\,\mathrm{IncomeRangeNotemployed} + 0.274\,\mathrm{DTI} - 0.008\,\mathrm{CreditScore} + 4.1759\,\mathrm{ListingCategory_numeric1} + 4.4049\,\mathrm{ListingCategory_numeric2} + 4.2383\,\mathrm{ListingCategory_numeric3} - 145.7292\,\mathrm{ListingCategory_numeric4} - 26.1512\,\mathrm{ListingCategory_numeric5} + 3.8807\,\mathrm{ListingCategory_numeric6} + 3.8254\,\mathrm{ListingCategory_numeric7} + 4.7507\,\mathrm{ListingCategory_numeric8} + 3.9497\,\mathrm{ListingCategory_numeric9} + 4.3032\,\mathrm{ListingCategory_numeric10} + 4.3596\,\mathrm{ListingCategory_numeric11} + 4.8958\,\mathrm{ListingCategory_numeric12} + 4.8947\,\mathrm{ListingCategory_numeric13} + 5.1462\,\mathrm{ListingCategory_numeric14} + 5.3145\,\mathrm{ListingCategory_numeric15} + 4.1298\,\mathrm{ListingCategory_numeric16} + 3.3797\,\mathrm{ListingCategory_numeric17} + 4.8895\,\mathrm{ListingCategory_numeric18} + 4.7437\,\mathrm{ListingCategory_numeric19} + 4.3776\,\mathrm{ListingCategory_numeric20} - 0.0131\,\mathrm{Income_k} \]

Chunk model-multinomial di atas sudah membangun model regresi logistik multinomial menggunakan nnet::multinom(). Persamaan logit yang dibentuk adalah sebagai berikut.

Untuk kategori Chargedoff dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{P(Y=\mathrm{Chargedoff})}{P(Y=\mathrm{Completed})}\right) = \beta_{0,\mathrm{Chargedoff}} + \beta_{1,\mathrm{Chargedoff}}\mathrm{BorrowerAPR} + \cdots + \beta_{p,\mathrm{Chargedoff}}X_p \]

Untuk kategori Current dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{P(Y=\mathrm{Current})}{P(Y=\mathrm{Completed})}\right) = \beta_{0,\mathrm{Current}} + \beta_{1,\mathrm{Current}}\mathrm{BorrowerAPR} + \cdots + \beta_{p,\mathrm{Current}}X_p \]

Untuk kategori Defaulted dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{P(Y=\mathrm{Defaulted})}{P(Y=\mathrm{Completed})}\right) = \beta_{0,\mathrm{Defaulted}} + \beta_{1,\mathrm{Defaulted}}\mathrm{BorrowerAPR} + \cdots + \beta_{p,\mathrm{Defaulted}}X_p \]

Untuk kategori PastDue dibanding Completed:

\[ \log\left(\frac{P(Y=\mathrm{PastDue})}{P(Y=\mathrm{Completed})}\right) = \beta_{0,\mathrm{PastDue}} + \beta_{1,\mathrm{PastDue}}\mathrm{BorrowerAPR} + \cdots + \beta_{p,\mathrm{PastDue}}X_p \]

8.7 Koefisien dan Relative Risk Ratio Model Multinomial

summary_multinom <- summary(model_multinom)
coef_multinom <- summary_multinom$coefficients
se_multinom <- summary_multinom$standard.errors

multinom_table <- purrr::map_dfr(rownames(coef_multinom), function(kelas) {
  tibble::tibble(
    Kategori = kelas,
    term = colnames(coef_multinom),
    estimate = as.numeric(coef_multinom[kelas, ]),
    std_error = as.numeric(se_multinom[kelas, ])
  )
}) %>%
  dplyr::mutate(
    z_value = estimate / std_error,
    p_value = 2 * pnorm(abs(z_value), lower.tail = FALSE),
    Relative_Risk_Ratio = exp(estimate),
    Variabel_Mudah = purrr::map_chr(term, label_multinom),
    Keputusan_5persen = ifelse(p_value < 0.05, "Signifikan", "Tidak signifikan")
  ) %>%
  dplyr::arrange(Kategori, p_value)

knitr::kable(
  multinom_table %>% dplyr::select(Kategori, Variabel_Mudah, term, estimate, std_error, z_value, p_value, Relative_Risk_Ratio, Keputusan_5persen) %>% head(35),
  digits = 4,
  caption = "Koefisien dan Relative Risk Ratio Regresi Multinomial"
)

Koefisien dan Relative Risk Ratio Regresi Multinomial

Kategori	Variabel_Mudah	term	estimate	std_error	z_value	p_value	Relative_Risk_Ratio	Keputusan_5persen
Chargedoff	APR/biaya pinjaman tahunan	BorrowerAPR	6.6845	0.0371	180.2562	0.0000	799.9501	Signifikan
Chargedoff	tenor pinjaman: 36 bulan dibanding kategori acuan	Term36	1.5437	0.0323	47.7692	0.0000	4.6818	Signifikan
Chargedoff	tenor pinjaman: 60 bulan dibanding kategori acuan	Term60	1.9284	0.0371	51.9912	0.0000	6.8785	Signifikan
Chargedoff	rentang pendapatan: Not employed dibanding kategori acuan	IncomeRangeNot employed	-0.2674	0.0036	-73.7359	0.0000	0.7654	Signifikan
Chargedoff	batas bawah skor kredit	CreditScoreRangeLower	-0.0057	0.0001	-38.6555	0.0000	0.9943	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 8 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric8	0.1609	0.0011	145.9711	0.0000	1.1746	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 9 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric9	-1.1484	0.0002	-4690.9212	0.0000	0.3171	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 10 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric10	-0.3683	0.0006	-566.7084	0.0000	0.6919	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 11 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric11	-1.7932	0.0003	-6136.6152	0.0000	0.1664	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 12 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric12	0.4878	0.0005	1082.7348	0.0000	1.6287	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 16 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric16	-2.7874	0.0002	-13964.7523	0.0000	0.0616	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 17 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric17	-16.8872	0.0000	-455665951831.1931	0.0000	0.0000	Signifikan
Chargedoff	jumlah pinjaman awal (per 1.000 dollar)	LoanOriginalAmount_k	0.0696	0.0026	26.8751	0.0000	1.0721	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 20 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric20	-0.5058	0.0208	-24.3327	0.0000	0.6030	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 5 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric5	-0.5295	0.0259	-20.4591	0.0000	0.5889	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 1 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric1	-0.5709	0.0287	-19.8643	0.0000	0.5650	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 14 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric14	-0.3259	0.0168	-19.3648	0.0000	0.7218	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 18 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric18	-0.3701	0.0196	-18.9073	0.0000	0.6906	Signifikan
Chargedoff	rentang pendapatan: Not displayed dibanding kategori acuan	IncomeRangeNot displayed	-0.3251	0.0208	-15.6623	0.0000	0.7225	Signifikan
Chargedoff	(Intercept)	(Intercept)	-0.6295	0.0455	-13.8240	0.0000	0.5329	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 7 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric7	-0.5496	0.0407	-13.5198	0.0000	0.5772	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 6 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric6	-0.7037	0.0719	-9.7896	0.0000	0.4948	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 19 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric19	-0.2054	0.0232	-8.8431	0.0000	0.8143	Signifikan
Chargedoff	status pekerjaan: Other dibanding kategori acuan	EmploymentStatusOther	0.4989	0.0583	8.5585	0.0000	1.6469	Signifikan
Chargedoff	rentang pendapatan: $1-24,999 dibanding kategori acuan	IncomeRange$1-24,999	0.3378	0.0398	8.4797	0.0000	1.4019	Signifikan
Chargedoff	rentang pendapatan: $25,000-49,999 dibanding kategori acuan	IncomeRange$25,000-49,999	0.2086	0.0252	8.2723	0.0000	1.2320	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 2 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric2	-0.4102	0.0501	-8.1937	0.0000	0.6635	Signifikan
Chargedoff	rentang pendapatan: $100,000+ dibanding kategori acuan	IncomeRange$100,000+	-0.3613	0.0466	-7.7568	0.0000	0.6968	Signifikan
Chargedoff	status pekerjaan: Self-employed dibanding kategori acuan	EmploymentStatusSelf-employed	0.4939	0.0639	7.7317	0.0000	1.6387	Signifikan
Chargedoff	rentang pendapatan: $75,000-99,999 dibanding kategori acuan	IncomeRange$75,000-99,999	-0.1699	0.0338	-5.0318	0.0000	0.8437	Signifikan
Chargedoff	status pekerjaan: Part-time dibanding kategori acuan	EmploymentStatusPart-time	-0.2878	0.0735	-3.9140	0.0001	0.7499	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 13 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric13	0.1619	0.0560	2.8895	0.0039	1.1758	Signifikan
Chargedoff	rasio utang terhadap pendapatan	DebtToIncomeRatio	0.0432	0.0166	2.5985	0.0094	1.0442	Signifikan
Chargedoff	kategori tujuan listing: 3 dibanding kategori acuan	ListingCategory_numeric3	-0.1092	0.0468	-2.3299	0.0198	0.8966	Signifikan
Chargedoff	rentang pendapatan: $50,000-74,999 dibanding kategori acuan	IncomeRange$50,000-74,999	-0.0523	0.0254	-2.0553	0.0398	0.9491	Signifikan

8.8 Evaluasi Model Multinomial

pred_multinom <- predict(model_multinom, type = "class")
conf_multinom <- table(Prediksi = pred_multinom, Aktual = data_multinom$LoanStatus_recode)
conf_multinom

##             Aktual
## Prediksi     Completed Chargedoff Current Defaulted PastDue
##   Completed      22573       6120    2196      3016     151
##   Chargedoff       851        986      51       396       9
##   Current        10371       3214   50231       586    1697
##   Defaulted        122        143       0       251       0
##   PastDue            0          0       0         0       0

akurasi_multinom <- mean(as.character(pred_multinom) == as.character(data_multinom$LoanStatus_recode))
akurasi_multinom

## [1] 0.719096

AIC_multinom <- AIC(model_multinom)
AIC_multinom

## [1] 158763.7

prob_multinom <- predict(model_multinom, type = "probs")
knitr::kable(head(prob_multinom, 6), digits = 4, caption = "Cuplikan Prediksi Probabilitas untuk Model Multinomial")

Cuplikan Prediksi Probabilitas untuk Model Multinomial

Completed	Chargedoff	Current	Defaulted	PastDue
0.4768	0.3608	0.0008	0.1616	0.0000
0.1041	0.0147	0.8677	0.0029	0.0106
0.3237	0.3121	0.0000	0.3642	0.0000
0.3010	0.0027	0.6838	0.0017	0.0107
0.1572	0.0525	0.7393	0.0119	0.0390
0.0689	0.0112	0.9040	0.0029	0.0131

8.9 Visualisasi Probabilitas Prediksi Model Multinomial

Visualisasi probabilitas prediksi digunakan untuk melihat bagaimana peluang masing-masing status pinjaman berubah ketika salah satu prediktor berubah. Dalam analisis ini, prediktor yang digunakan adalah BorrowerAPR, yaitu biaya pinjaman tahunan. Variabel lain ditahan pada nilai yang umum atau nilai terbanyak agar perubahan grafik lebih mudah dibaca.

grid_multinom <- data.frame(
  BorrowerAPR = seq(
    quantile(data_multinom$BorrowerAPR, 0.05, na.rm = TRUE),
    quantile(data_multinom$BorrowerAPR, 0.95, na.rm = TRUE),
    length.out = 100
  ),
  LoanOriginalAmount_k = median(data_multinom$LoanOriginalAmount_k, na.rm = TRUE),
  Term = factor(modus(data_multinom$Term), levels = levels(data_multinom$Term)),
  EmploymentStatus = factor(
    modus(data_multinom$EmploymentStatus),
    levels = levels(data_multinom$EmploymentStatus)
  ),
  IncomeRange = factor(
    modus(data_multinom$IncomeRange),
    levels = levels(data_multinom$IncomeRange)
  ),
  DebtToIncomeRatio = median(data_multinom$DebtToIncomeRatio, na.rm = TRUE),
  CreditScoreRangeLower = median(data_multinom$CreditScoreRangeLower, na.rm = TRUE),
  ListingCategory_numeric = factor(
    modus(data_multinom$ListingCategory_numeric),
    levels = levels(data_multinom$ListingCategory_numeric)
  ),
  StatedMonthlyIncome_k = median(data_multinom$StatedMonthlyIncome_k, na.rm = TRUE)
)

prob_grid_multinom <- predict(
  model_multinom,
  newdata = grid_multinom,
  type = "probs"
)

plot_prob_multinom <- grid_multinom %>%
  dplyr::bind_cols(as.data.frame(prob_grid_multinom)) %>%
  tidyr::pivot_longer(
    cols = levels(data_multinom$LoanStatus_recode),
    names_to = "LoanStatus_recode",
    values_to = "Probabilitas"
  )

ggplot(
  plot_prob_multinom,
  aes(x = BorrowerAPR, y = Probabilitas, color = LoanStatus_recode)
) +
  geom_line(linewidth = 1.1) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) +
  labs(
    title = "Prediksi Probabilitas Status Pinjaman Berdasarkan BorrowerAPR",
    subtitle = "Variabel lain ditahan pada median atau kategori paling umum",
    x = "BorrowerAPR",
    y = "Probabilitas prediksi",
    color = "Status pinjaman"
  ) +
  theme_minimal()

Grafik ini membantu membaca hasil regresi multinomial secara lebih substantif. Jika probabilitas Chargedoff, Defaulted, atau PastDue meningkat ketika BorrowerAPR naik, maka model menunjukkan bahwa pinjaman dengan biaya pinjaman lebih tinggi cenderung memiliki peluang lebih besar masuk ke status bermasalah. Sebaliknya, jika probabilitas Completed menurun ketika BorrowerAPR naik, maka pinjaman dengan APR lebih tinggi cenderung lebih kecil peluangnya untuk selesai dibayar.

8.10 Catatan Evaluasi dan Asumsi Model Multinomial

Pada analisis ini, uji goodness-of-fit devians \(G^2\) tidak digunakan sebagai evaluasi utama karena data Prosper berbentuk data individu, yaitu satu baris untuk satu pinjaman, serta memiliki beberapa prediktor kontinu seperti BorrowerAPR, DebtToIncomeRatio, LoanOriginalAmount_k, dan CreditScoreRangeLower. Uji \(G^2\) lebih cocok digunakan pada data berbentuk grouped data atau tabel frekuensi, yaitu ketika satu baris mewakili satu kelompok dan respons ditampilkan sebagai jumlah atau frekuensi kategori.

Oleh karena itu, evaluasi model multinomial dalam laporan ini difokuskan pada koefisien model, relative risk ratio, AIC, prediksi probabilitas, dan confusion matrix.

Regresi logistik multinomial memiliki asumsi Independence of Irrelevant Alternatives atau IIA. Secara sederhana, asumsi ini menyatakan bahwa perbandingan peluang antara dua kategori status pinjaman tidak berubah secara drastis hanya karena kategori lain ditambahkan atau dihapus. Dalam konteks Prosper, asumsi ini perlu dicatat sebagai keterbatasan karena beberapa kategori seperti Chargedoff, Defaulted, dan PastDue sama-sama menggambarkan kondisi pinjaman yang kurang baik. Untuk tugas ini, asumsi IIA dicatat sebagai keterbatasan, bukan diuji secara mendalam.

8.11 Interpretasi dan Kesimpulan Model Multinomial

sig_multi <- multinom_table %>%
  dplyr::filter(term != "(Intercept)", p_value < 0.05) %>%
  dplyr::arrange(Kategori, p_value)

cat("Pada taraf signifikansi 5%, model multinomial menemukan ", nrow(sig_multi),
    " kombinasi prediktor-kategori yang signifikan. Semua interpretasi dibandingkan terhadap kategori acuan `Completed`.\n\n", sep = "")

Pada taraf signifikansi 5%, model multinomial menemukan 149 kombinasi prediktor-kategori yang signifikan. Semua interpretasi dibandingkan terhadap kategori acuan Completed.

if (nrow(sig_multi) > 0) {
  for (kelas in unique(sig_multi$Kategori)) {
    cat("**Status ", kelas, " dibanding Completed**\n\n", sep = "")
    top_kelas <- sig_multi %>% dplyr::filter(Kategori == kelas) %>% head(5)
    for (i in seq_len(nrow(top_kelas))) {
      row <- top_kelas[i, ]
      arah <- ifelse(row$Relative_Risk_Ratio > 1,
                     paste0("meningkatkan kecenderungan status ", kelas, " dibanding Completed"),
                     paste0("menurunkan kecenderungan status ", kelas, " dibanding Completed"))
      cat("- **", row$Variabel_Mudah, "** memiliki RRR = ", fmt_num(row$Relative_Risk_Ratio, 3),
          " dan p-value = ", fmt_p(row$p_value), ", sehingga variabel ini ", arah,
          ", dengan asumsi variabel lain tetap.\n", sep = "")
    }
    cat("\n")
  }
}

Status Chargedoff dibanding Completed

• APR/biaya pinjaman tahunan memiliki RRR = 799.950 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Chargedoff dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 36 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 4.682 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Chargedoff dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 60 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 6.879 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Chargedoff dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• rentang pendapatan: Not employed dibanding kategori acuan memiliki RRR = 0.765 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan kecenderungan status Chargedoff dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• batas bawah skor kredit memiliki RRR = 0.994 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan kecenderungan status Chargedoff dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.

Status Current dibanding Completed

• APR/biaya pinjaman tahunan memiliki RRR = 0.002 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan kecenderungan status Current dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 36 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 70.213 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Current dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 60 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 155.568 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Current dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status pekerjaan: Full-time dibanding kategori acuan memiliki RRR = 0.028 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan kecenderungan status Current dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status pekerjaan: Not available dibanding kategori acuan memiliki RRR = 319,542,489.978 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Current dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.

Status Defaulted dibanding Completed

• APR/biaya pinjaman tahunan memiliki RRR = 361.584 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Defaulted dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 36 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 9.856 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Defaulted dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 60 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 10.733 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Defaulted dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status pekerjaan: Not available dibanding kategori acuan memiliki RRR = 2.832 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Defaulted dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status pekerjaan: Other dibanding kategori acuan memiliki RRR = 2.210 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status Defaulted dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.

Status PastDue dibanding Completed

• APR/biaya pinjaman tahunan memiliki RRR = 108.370 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status PastDue dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 36 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 17.279 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status PastDue dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: 60 bulan dibanding kategori acuan memiliki RRR = 39.481 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini meningkatkan kecenderungan status PastDue dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status pekerjaan: Full-time dibanding kategori acuan memiliki RRR = 0.059 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan kecenderungan status PastDue dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status pekerjaan: Not available dibanding kategori acuan memiliki RRR = 0.033 dan p-value = < 0.001, sehingga variabel ini menurunkan kecenderungan status PastDue dibanding Completed, dengan asumsi variabel lain tetap.

cat("Akurasi klasifikasi model multinomial adalah **", scales::percent(akurasi_multinom),
    "**. AIC model adalah **", fmt_num(AIC_multinom, 2), "**.\n\n", sep = "")

Akurasi klasifikasi model multinomial adalah 72%. AIC model adalah 158,763.70.

cat("**Kesimpulan substantif:** model multinomial menunjukkan karakteristik pinjaman dan peminjam yang membedakan status pinjaman yang sudah selesai dibayar (`Completed`) dengan status lain seperti masih berjalan, macet, gagal bayar, atau terlambat. Faktor signifikan dengan RRR lebih dari 1 meningkatkan kecenderungan suatu status dibanding `Completed`, sedangkan RRR kurang dari 1 menurunkannya.\n")

Kesimpulan substantif: model multinomial menunjukkan karakteristik pinjaman dan peminjam yang membedakan status pinjaman yang sudah selesai dibayar (Completed) dengan status lain seperti masih berjalan, macet, gagal bayar, atau terlambat. Faktor signifikan dengan RRR lebih dari 1 meningkatkan kecenderungan suatu status dibanding Completed, sedangkan RRR kurang dari 1 menurunkannya.

9 Bagian IV — Regresi Poisson

9.1 Tujuan Analisis

Tujuan analisis ini adalah mengetahui faktor-faktor yang berhubungan dengan jumlah pinjaman SBA 7(a) yang bermasalah. Dalam data SBA, pinjaman bermasalah diwakili oleh status CHGOFF, yaitu pinjaman yang sudah dianggap macet atau rugi oleh pemberi pinjaman.

9.2 Variabel yang Digunakan

Data awal SBA berbentuk satu baris per pinjaman. Untuk regresi Poisson, data diubah menjadi satu baris per kelompok pinjaman. Respon akhirnya adalah jumlah pinjaman bermasalah dalam setiap kelompok.

Variabel yang Dipakai pada Model Poisson

Variabel	Peran	Alasan_dipakai
LoanStatus	Dasar pembentukan respon	Dipakai untuk menandai pinjaman PIF atau CHGOFF
ChargedOff	Variabel baru	Bernilai 1 jika CHGOFF dan 0 jika PIF
ApprovalFY	Prediktor kelompok	Risiko bisa berbeda antar tahun persetujuan pinjaman
BorrState	Prediktor kelompok	Risiko bisa berbeda antar lokasi peminjam
Sector	Prediktor kelompok	Risiko bisa berbeda antar sektor industri
Loan_Size_Band	Prediktor kelompok	Risiko bisa berbeda menurut ukuran pinjaman
Term_Band	Prediktor kelompok	Risiko bisa berbeda menurut tenor pinjaman
BusinessType	Prediktor kelompok	Risiko bisa berbeda menurut bentuk usaha
CollateralInd	Prediktor kelompok	Agunan dapat berkaitan dengan risiko kredit
Total_Loan	Offset/exposure	Jumlah pinjaman dalam kelompok, digunakan agar model membaca rate bukan jumlah mentah
Jumlah_ChargedOff	Respon Poisson	Jumlah pinjaman CHGOFF dalam setiap kelompok

9.3 Variabel yang Tidak Digunakan pada Model Poisson

Variabel yang Tidak Digunakan pada Model Poisson

Variabel	Alasan_sederhana
BorrName, BorrStreet, BorrZip	Identitas dan alamat peminjam terlalu detail, sulit diinterpretasikan, dan bukan fokus model risiko
BankName, BankStreet, BankZip	Identitas bank terlalu detail untuk model awal
LocationID, BankFDICNumber, BankNCUANumber	Hanya kode teknis atau nomor identitas
PaidInFullDate, ChargeOffDate	Terlalu dekat dengan hasil akhir pinjaman sehingga bisa menyebabkan data leakage
GrossChargeOffAmount	Jumlah kerugian baru diketahui setelah pinjaman bermasalah
JobsSupported	Bukan fokus utama risiko kredit dan bersifat laporan estimasi dari lender
BusinessAge	Secara konsep relevan, tetapi banyak kosong untuk tahun 2010-2017 sehingga tidak dipakai pada model awal

9.4 Cleaning dan Pembentukan Data Agregat

data_poisson_clean <- data_poisson_raw %>%
  dplyr::filter(loanstatus %in% c("P I F", "CHGOFF")) %>%
  dplyr::mutate(
    ChargedOff = ifelse(loanstatus == "CHGOFF", 1L, 0L),
    Sector = stringr::str_sub(as.character(naicscode), 1, 2),
    Loan_Size_Band = dplyr::case_when(
      grossapproval <= 50000 ~ "Small",
      grossapproval <= 350000 ~ "Medium",
      grossapproval > 350000 ~ "Large",
      TRUE ~ NA_character_
    ),
    Term_Band = dplyr::case_when(
      terminmonths <= 60 ~ "Short",
      terminmonths <= 120 ~ "Medium",
      terminmonths > 120 ~ "Long",
      TRUE ~ NA_character_
    ),
    CollateralInd_clean = dplyr::case_when(
      tolower(as.character(collateralind)) %in% c("true", "1", "yes", "y") ~ "Collateral",
      tolower(as.character(collateralind)) %in% c("false", "0", "no", "n") ~ "No_Collateral",
      TRUE ~ NA_character_
    ),
    ApprovalFY = factor(approvalfy),
    BorrState = factor(borrstate),
    Sector = factor(Sector),
    Loan_Size_Band = factor(Loan_Size_Band, levels = c("Small", "Medium", "Large")),
    Term_Band = factor(Term_Band, levels = c("Short", "Medium", "Long")),
    BusinessType = factor(businesstype),
    CollateralInd = factor(CollateralInd_clean)
  ) %>%
  tidyr::drop_na(
    ApprovalFY, BorrState, Sector, Loan_Size_Band, Term_Band,
    BusinessType, CollateralInd, ChargedOff
  )

data_poisson_agg <- data_poisson_clean %>%
  dplyr::group_by(
    ApprovalFY, BorrState, Sector, Loan_Size_Band,
    Term_Band, BusinessType, CollateralInd
  ) %>%
  dplyr::summarise(
    Total_Loan = dplyr::n(),
    Jumlah_ChargedOff = sum(ChargedOff),
    .groups = "drop"
  ) %>%
  dplyr::filter(Total_Loan > 0)

knitr::kable(head(data_poisson_agg, 10), caption = "Cuplikan Data Agregat untuk Regresi Poisson")

Cuplikan Data Agregat untuk Regresi Poisson

ApprovalFY	BorrState	Sector	Loan_Size_Band	Term_Band	BusinessType	CollateralInd	Total_Loan	Jumlah_ChargedOff
2010	AK	11	Small	Medium	CORPORATION	No_Collateral	1	0
2010	AK	11	Small	Long	CORPORATION	Collateral	1	0
2010	AK	11	Medium	Long	INDIVIDUAL	Collateral	1	0
2010	AK	11	Large	Short	CORPORATION	No_Collateral	1	1
2010	AK	11	Large	Medium	CORPORATION	Collateral	1	0
2010	AK	23	Small	Short	INDIVIDUAL	Collateral	1	0
2010	AK	23	Small	Medium	CORPORATION	No_Collateral	2	0
2010	AK	23	Medium	Short	CORPORATION	Collateral	1	0
2010	AK	23	Medium	Short	INDIVIDUAL	Collateral	1	0
2010	AK	23	Medium	Medium	INDIVIDUAL	Collateral	1	0

9.5 Analisis Deskriptif Data Poisson

ringkasan_poisson <- data_poisson_agg %>%
  dplyr::summarise(
    Jumlah_kelompok = dplyr::n(),
    Total_pinjaman = sum(Total_Loan),
    Total_pinjaman_bermasalah = sum(Jumlah_ChargedOff),
    Rata_rata_bermasalah_per_kelompok = mean(Jumlah_ChargedOff),
    Median_bermasalah_per_kelompok = median(Jumlah_ChargedOff)
  )
knitr::kable(ringkasan_poisson, caption = "Ringkasan Data Agregat Poisson")

Ringkasan Data Agregat Poisson

Jumlah_kelompok	Total_pinjaman	Total_pinjaman_bermasalah	Rata_rata_bermasalah_per_kelompok	Median_bermasalah_per_kelompok
98766	422523	30838	0.312233	0

knitr::kable(
  data_poisson_clean %>%
    dplyr::count(loanstatus) %>%
    dplyr::mutate(Persen = scales::percent(n / sum(n))),
  caption = "Distribusi Status Pinjaman yang Digunakan"
)

Distribusi Status Pinjaman yang Digunakan

loanstatus	n	Persen
CHGOFF	30838	7%
P I F	391685	93%

plot_poisson_data <- data_poisson_agg %>%
  dplyr::filter(Jumlah_ChargedOff <= quantile(Jumlah_ChargedOff, 0.99))

ggplot(plot_poisson_data, aes(x = Jumlah_ChargedOff)) +
  geom_histogram(binwidth = 1) +
  labs(
    title = "Distribusi Jumlah Pinjaman Bermasalah per Kelompok",
    x = "Jumlah pinjaman bermasalah",
    y = "Jumlah kelompok"
  ) +
  theme_minimal()

9.6 Rate Pinjaman Bermasalah Berdasarkan Kelompok Utama

Rate pinjaman bermasalah dihitung sebagai:

\[ Rate = \frac{Jumlah\_ChargedOff}{Total\_Loan} \]

Rate ini membantu membandingkan risiko antar kelompok, karena jumlah pinjaman setiap kelompok tidak sama.

rate_by_size_term <- data_poisson_agg %>%
  dplyr::group_by(Loan_Size_Band, Term_Band) %>%
  dplyr::summarise(
    Total_Loan = sum(Total_Loan),
    Jumlah_ChargedOff = sum(Jumlah_ChargedOff),
    Rate_ChargedOff = Jumlah_ChargedOff / Total_Loan,
    .groups = "drop"
  ) %>%
  dplyr::arrange(desc(Rate_ChargedOff))

knitr::kable(
  rate_by_size_term %>%
    dplyr::mutate(Rate_ChargedOff = scales::percent(Rate_ChargedOff, accuracy = 0.01)),
  caption = "Rate Pinjaman Bermasalah berdasarkan Ukuran Pinjaman dan Tenor"
)

Rate Pinjaman Bermasalah berdasarkan Ukuran Pinjaman dan Tenor

Loan_Size_Band	Term_Band	Total_Loan	Jumlah_ChargedOff	Rate_ChargedOff
Large	Short	5558	1354	24.36%
Medium	Short	35390	6594	18.63%
Small	Short	49785	8775	17.63%
Large	Medium	36146	2231	6.17%
Medium	Medium	115298	6529	5.66%
Small	Long	1867	70	3.75%
Small	Medium	102612	3570	3.48%
Large	Long	53893	1248	2.32%
Medium	Long	21974	467	2.13%

9.7 Pembentukan Model Regresi Poisson

Model Poisson yang digunakan:

\[ \log(\mu_i) = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \cdots + \beta_p X_{pi} + \log(Total\_Loan_i) \]

Dalam model ini, \(X_{1i}, X_{2i}, \ldots, X_{pi}\) mewakili ApprovalFY, BorrState, Sector, Loan_Size_Band, Term_Band, BusinessType, dan CollateralInd. Komponen \(\log(Total\_Loan_i)\) adalah offset.

Bagian offset(log(Total_Loan)) membuat model membandingkan rate pinjaman bermasalah. Artinya, kelompok dengan jumlah pinjaman lebih banyak tidak otomatis dianggap lebih berisiko hanya karena jumlah kasusnya lebih besar.

model_poisson <- glm(
  Jumlah_ChargedOff ~ ApprovalFY + BorrState + Sector +
    Loan_Size_Band + Term_Band + BusinessType + CollateralInd +
    offset(log(Total_Loan)),
  data = data_poisson_agg,
  family = poisson(link = "log")
)

summary(model_poisson)

## 
## Call:
## glm(formula = Jumlah_ChargedOff ~ ApprovalFY + BorrState + Sector + 
##     Loan_Size_Band + Term_Band + BusinessType + CollateralInd + 
##     offset(log(Total_Loan)), family = poisson(link = "log"), 
##     data = data_poisson_agg)
## 
## Coefficients:
##                             Estimate Std. Error  z value             Pr(>|z|)
## (Intercept)                 -2.46947    0.15788  -15.641 < 0.0000000000000002
## ApprovalFY2011              -0.24209    0.02716   -8.913 < 0.0000000000000002
## ApprovalFY2012              -0.29396    0.02893  -10.161 < 0.0000000000000002
## ApprovalFY2013              -0.29279    0.02878  -10.173 < 0.0000000000000002
## ApprovalFY2014              -0.19727    0.02697   -7.316 0.000000000000256404
## ApprovalFY2015              -0.06903    0.02523   -2.736             0.006228
## ApprovalFY2016               0.05423    0.02471    2.194             0.028215
## ApprovalFY2017               0.18465    0.02443    7.559 0.000000000000040696
## ApprovalFY2018               0.27549    0.02453   11.230 < 0.0000000000000002
## ApprovalFY2019               0.24332    0.02663    9.135 < 0.0000000000000002
## BorrStateAL                  0.41684    0.15676    2.659             0.007834
## BorrStateAR                  0.27004    0.16264    1.660             0.096847
## BorrStateAZ                  0.32399    0.15000    2.160             0.030780
## BorrStateCA                  0.22843    0.14533    1.572             0.116011
## BorrStateCO                  0.06094    0.14983    0.407             0.684210
## BorrStateCT                 -0.09801    0.15511   -0.632             0.527483
## BorrStateDC                  0.08759    0.19524    0.449             0.653695
## BorrStateDE                  0.08016    0.17878    0.448             0.653890
## BorrStateFL                  0.61101    0.14595    4.187 0.000028328546656523
## BorrStateFM                 -7.43694  104.72036   -0.071             0.943384
## BorrStateGA                  0.53549    0.14827    3.612             0.000304
## BorrStateGU                 -0.99354    0.28882   -3.440             0.000582
## BorrStateHI                 -0.56223    0.16309   -3.447             0.000566
## BorrStateIA                 -0.01058    0.15769   -0.067             0.946492
## BorrStateID                 -0.36327    0.16500   -2.202             0.027686
## BorrStateIL                  0.34962    0.14724    2.374             0.017575
## BorrStateIN                 -0.31480    0.15020   -2.096             0.036094
## BorrStateKS                 -0.12426    0.15879   -0.783             0.433920
## BorrStateKY                 -0.09080    0.15634   -0.581             0.561375
## BorrStateLA                  0.38275    0.15597    2.454             0.014126
## BorrStateMA                 -0.46103    0.14809   -3.113             0.001851
## BorrStateMD                  0.06567    0.15143    0.434             0.664516
## BorrStateME                 -0.55411    0.17128   -3.235             0.001216
## BorrStateMH                 -8.48450  104.72036   -0.081             0.935426
## BorrStateMI                 -0.52699    0.14846   -3.550             0.000386
## BorrStateMN                 -0.28438    0.14962   -1.901             0.057339
## BorrStateMO                  0.21966    0.14962    1.468             0.142056
## BorrStateMP                  0.31445    1.01052    0.311             0.755668
## BorrStateMS                  0.09516    0.15712    0.606             0.544723
## BorrStateMT                 -0.88110    0.18354   -4.801 0.000001582041871745
## BorrStateNC                  0.25033    0.14989    1.670             0.094902
## BorrStateND                 -1.01273    0.20124   -5.032 0.000000484197663264
## BorrStateNE                 -0.19367    0.16285   -1.189             0.234340
## BorrStateNH                 -0.53755    0.15946   -3.371             0.000749
## BorrStateNJ                  0.35466    0.14757    2.403             0.016246
## BorrStateNM                 -0.01682    0.17025   -0.099             0.921283
## BorrStateNV                  0.36220    0.15671    2.311             0.020820
## BorrStateNY                  0.09597    0.14586    0.658             0.510574
## BorrStateOH                 -0.44622    0.14682   -3.039             0.002372
## BorrStateOK                  0.03046    0.15604    0.195             0.845224
## BorrStateOR                 -0.19393    0.15498   -1.251             0.210807
## BorrStatePA                 -0.08363    0.14811   -0.565             0.572324
## BorrStatePR                 -0.29434    0.15772   -1.866             0.062008
## BorrStateRI                 -0.23438    0.16553   -1.416             0.156798
## BorrStateSC                  0.53736    0.15500    3.467             0.000527
## BorrStateSD                 -0.45081    0.20117   -2.241             0.025028
## BorrStateTN                  0.29929    0.15551    1.925             0.054276
## BorrStateTX                  0.52534    0.14546    3.611             0.000304
## BorrStateUT                 -0.09849    0.15165   -0.649             0.516067
## BorrStateVA                  0.17141    0.15051    1.139             0.254740
## BorrStateVI                  0.26294    0.40464    0.650             0.515806
## BorrStateVT                 -0.73539    0.18223   -4.036 0.000054462509707384
## BorrStateWA                 -0.19821    0.15068   -1.315             0.188375
## BorrStateWI                 -0.20688    0.15048   -1.375             0.169189
## BorrStateWV                 -0.35734    0.19164   -1.865             0.062232
## BorrStateWY                 -0.28210    0.19934   -1.415             0.157008
## Sector21                     0.16780    0.12352    1.359             0.174285
## Sector22                     0.09301    0.23178    0.401             0.688201
## Sector23                     0.53213    0.06314    8.428 < 0.0000000000000002
## Sector31                     0.52780    0.07341    7.190 0.000000000000650111
## Sector32                     0.40767    0.07561    5.392 0.000000069725213239
## Sector33                     0.31752    0.06862    4.627 0.000003708985025159
## Sector42                     0.48216    0.06533    7.380 0.000000000000158234
## Sector44                     0.69365    0.06332   10.955 < 0.0000000000000002
## Sector45                     0.76351    0.06613   11.546 < 0.0000000000000002
## Sector48                     0.37120    0.06512    5.700 0.000000011947801913
## Sector49                     0.52290    0.10912    4.792 0.000001649625681084
## Sector51                     0.48543    0.07999    6.069 0.000000001288851830
## Sector52                     0.12758    0.08236    1.549             0.121379
## Sector53                     0.36788    0.07617    4.830 0.000001367504057940
## Sector54                     0.40733    0.06396    6.369 0.000000000190651353
## Sector55                    -0.24403    0.38296   -0.637             0.523985
## Sector56                     0.47257    0.06620    7.139 0.000000000000939939
## Sector61                     0.65300    0.07674    8.510 < 0.0000000000000002
## Sector62                     0.26157    0.06531    4.005 0.000061925924576628
## Sector71                     0.85793    0.06758   12.696 < 0.0000000000000002
## Sector72                     0.79440    0.06278   12.654 < 0.0000000000000002
## Sector81                     0.62187    0.06372    9.759 < 0.0000000000000002
## Sector92                     0.51861    0.41284    1.256             0.209038
## Loan_Size_BandMedium         0.29419    0.01345   21.871 < 0.0000000000000002
## Loan_Size_BandLarge          0.43938    0.02020   21.753 < 0.0000000000000002
## Term_BandMedium             -1.55411    0.01235 -125.836 < 0.0000000000000002
## Term_BandLong               -2.44891    0.02798  -87.535 < 0.0000000000000002
## BusinessTypeINDIVIDUAL      -0.01455    0.01928   -0.755             0.450351
## BusinessTypePARTNERSHIP     -0.46048    0.05616   -8.199 0.000000000000000243
## CollateralIndNo_Collateral   0.39095    0.01323   29.546 < 0.0000000000000002
##                               
## (Intercept)                ***
## ApprovalFY2011             ***
## ApprovalFY2012             ***
## ApprovalFY2013             ***
## ApprovalFY2014             ***
## ApprovalFY2015             ** 
## ApprovalFY2016             *  
## ApprovalFY2017             ***
## ApprovalFY2018             ***
## ApprovalFY2019             ***
## BorrStateAL                ** 
## BorrStateAR                .  
## BorrStateAZ                *  
## BorrStateCA                   
## BorrStateCO                   
## BorrStateCT                   
## BorrStateDC                   
## BorrStateDE                   
## BorrStateFL                ***
## BorrStateFM                   
## BorrStateGA                ***
## BorrStateGU                ***
## BorrStateHI                ***
## BorrStateIA                   
## BorrStateID                *  
## BorrStateIL                *  
## BorrStateIN                *  
## BorrStateKS                   
## BorrStateKY                   
## BorrStateLA                *  
## BorrStateMA                ** 
## BorrStateMD                   
## BorrStateME                ** 
## BorrStateMH                   
## BorrStateMI                ***
## BorrStateMN                .  
## BorrStateMO                   
## BorrStateMP                   
## BorrStateMS                   
## BorrStateMT                ***
## BorrStateNC                .  
## BorrStateND                ***
## BorrStateNE                   
## BorrStateNH                ***
## BorrStateNJ                *  
## BorrStateNM                   
## BorrStateNV                *  
## BorrStateNY                   
## BorrStateOH                ** 
## BorrStateOK                   
## BorrStateOR                   
## BorrStatePA                   
## BorrStatePR                .  
## BorrStateRI                   
## BorrStateSC                ***
## BorrStateSD                *  
## BorrStateTN                .  
## BorrStateTX                ***
## BorrStateUT                   
## BorrStateVA                   
## BorrStateVI                   
## BorrStateVT                ***
## BorrStateWA                   
## BorrStateWI                   
## BorrStateWV                .  
## BorrStateWY                   
## Sector21                      
## Sector22                      
## Sector23                   ***
## Sector31                   ***
## Sector32                   ***
## Sector33                   ***
## Sector42                   ***
## Sector44                   ***
## Sector45                   ***
## Sector48                   ***
## Sector49                   ***
## Sector51                   ***
## Sector52                      
## Sector53                   ***
## Sector54                   ***
## Sector55                      
## Sector56                   ***
## Sector61                   ***
## Sector62                   ***
## Sector71                   ***
## Sector72                   ***
## Sector81                   ***
## Sector92                      
## Loan_Size_BandMedium       ***
## Loan_Size_BandLarge        ***
## Term_BandMedium            ***
## Term_BandLong              ***
## BusinessTypeINDIVIDUAL        
## BusinessTypePARTNERSHIP    ***
## CollateralIndNo_Collateral ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 83781  on 98765  degrees of freedom
## Residual deviance: 59081  on 98670  degrees of freedom
## AIC: 102778
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 8

9.8 Persamaan Model Hasil Estimasi Poisson

Chunk model-poisson di atas sudah membangun model regresi Poisson menggunakan glm() dengan family = poisson(link = "log"). Bentuk hasil estimasinya adalah:

\[ \log(\hat{\mu_i}) = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1X_{1i} + \cdots + \log(Total\_Loan_i) \]

Karena terdapat offset(log(Total_Loan)), model membaca rate pinjaman bermasalah, bukan sekadar jumlah mentah. Koefisien yang dieksponensialkan menjadi Incidence Rate Ratio atau IRR.

\[ \log(\widehat{\mu_i}) = -2.4695 - 0.2421\,\mathrm{FY2011} - 0.294\,\mathrm{FY2012} - 0.2928\,\mathrm{FY2013} - 0.1973\,\mathrm{FY2014} - 0.069\,\mathrm{FY2015} + 0.0542\,\mathrm{FY2016} + 0.1847\,\mathrm{FY2017} + 0.2755\,\mathrm{FY2018} + 0.2433\,\mathrm{FY2019} + 0.4168\,\mathrm{StateAL} + 0.27\,\mathrm{StateAR} + 0.324\,\mathrm{StateAZ} + 0.2284\,\mathrm{StateCA} + 0.0609\,\mathrm{StateCO} - 0.098\,\mathrm{StateCT} + 0.0876\,\mathrm{StateDC} + 0.0802\,\mathrm{StateDE} + 0.611\,\mathrm{StateFL} - 7.4369\,\mathrm{StateFM} + 0.5355\,\mathrm{StateGA} - 0.9935\,\mathrm{StateGU} - 0.5622\,\mathrm{StateHI} - 0.0106\,\mathrm{StateIA} - 0.3633\,\mathrm{StateID} + 0.3496\,\mathrm{StateIL} - 0.3148\,\mathrm{StateIN} - 0.1243\,\mathrm{StateKS} - 0.0908\,\mathrm{StateKY} + 0.3828\,\mathrm{StateLA} - 0.461\,\mathrm{StateMA} + 0.0657\,\mathrm{StateMD} - 0.5541\,\mathrm{StateME} - 8.4845\,\mathrm{StateMH} - 0.527\,\mathrm{StateMI} - 0.2844\,\mathrm{StateMN} + 0.2197\,\mathrm{StateMO} + 0.3144\,\mathrm{StateMP} + 0.0952\,\mathrm{StateMS} - 0.8811\,\mathrm{StateMT} + 0.2503\,\mathrm{StateNC} - 1.0127\,\mathrm{StateND} - 0.1937\,\mathrm{StateNE} - 0.5376\,\mathrm{StateNH} + 0.3547\,\mathrm{StateNJ} - 0.0168\,\mathrm{StateNM} + 0.3622\,\mathrm{StateNV} + 0.096\,\mathrm{StateNY} - 0.4462\,\mathrm{StateOH} + 0.0305\,\mathrm{StateOK} - 0.1939\,\mathrm{StateOR} - 0.0836\,\mathrm{StatePA} - 0.2943\,\mathrm{StatePR} - 0.2344\,\mathrm{StateRI} + 0.5374\,\mathrm{StateSC} - 0.4508\,\mathrm{StateSD} + 0.2993\,\mathrm{StateTN} + 0.5253\,\mathrm{StateTX} - 0.0985\,\mathrm{StateUT} + 0.1714\,\mathrm{StateVA} + 0.2629\,\mathrm{StateVI} - 0.7354\,\mathrm{StateVT} - 0.1982\,\mathrm{StateWA} - 0.2069\,\mathrm{StateWI} - 0.3573\,\mathrm{StateWV} - 0.2821\,\mathrm{StateWY} + 0.1678\,\mathrm{Sector21} + 0.093\,\mathrm{Sector22} + 0.5321\,\mathrm{Sector23} + 0.5278\,\mathrm{Sector31} + 0.4077\,\mathrm{Sector32} + 0.3175\,\mathrm{Sector33} + 0.4822\,\mathrm{Sector42} + 0.6936\,\mathrm{Sector44} + 0.7635\,\mathrm{Sector45} + 0.3712\,\mathrm{Sector48} + 0.5229\,\mathrm{Sector49} + 0.4854\,\mathrm{Sector51} + 0.1276\,\mathrm{Sector52} + 0.3679\,\mathrm{Sector53} + 0.4073\,\mathrm{Sector54} - 0.244\,\mathrm{Sector55} + 0.4726\,\mathrm{Sector56} + 0.653\,\mathrm{Sector61} + 0.2616\,\mathrm{Sector62} + 0.8579\,\mathrm{Sector71} + 0.7944\,\mathrm{Sector72} + 0.6219\,\mathrm{Sector81} + 0.5186\,\mathrm{Sector92} + 0.2942\,\mathrm{LoanSizeMedium} + 0.4394\,\mathrm{LoanSizeLarge} - 1.5541\,\mathrm{TermMedium} - 2.4489\,\mathrm{TermLong} - 0.0146\,\mathrm{BusinessTypeINDIVIDUAL} - 0.4605\,\mathrm{BusinessTypePARTNERSHIP} + 0.391\,\mathrm{CollateralNo_Collateral} + \log(Total\_Loan_i) \]

Karena terdapat offset, bentuk rate-nya dapat ditulis sebagai:

\[ \log\left(\frac{\widehat{\mu_i}}{Total\_Loan_i}\right) = -2.4695 - 0.2421\,\mathrm{FY2011} - 0.294\,\mathrm{FY2012} - 0.2928\,\mathrm{FY2013} - 0.1973\,\mathrm{FY2014} - 0.069\,\mathrm{FY2015} + 0.0542\,\mathrm{FY2016} + 0.1847\,\mathrm{FY2017} + 0.2755\,\mathrm{FY2018} + 0.2433\,\mathrm{FY2019} + 0.4168\,\mathrm{StateAL} + 0.27\,\mathrm{StateAR} + 0.324\,\mathrm{StateAZ} + 0.2284\,\mathrm{StateCA} + 0.0609\,\mathrm{StateCO} - 0.098\,\mathrm{StateCT} + 0.0876\,\mathrm{StateDC} + 0.0802\,\mathrm{StateDE} + 0.611\,\mathrm{StateFL} - 7.4369\,\mathrm{StateFM} + 0.5355\,\mathrm{StateGA} - 0.9935\,\mathrm{StateGU} - 0.5622\,\mathrm{StateHI} - 0.0106\,\mathrm{StateIA} - 0.3633\,\mathrm{StateID} + 0.3496\,\mathrm{StateIL} - 0.3148\,\mathrm{StateIN} - 0.1243\,\mathrm{StateKS} - 0.0908\,\mathrm{StateKY} + 0.3828\,\mathrm{StateLA} - 0.461\,\mathrm{StateMA} + 0.0657\,\mathrm{StateMD} - 0.5541\,\mathrm{StateME} - 8.4845\,\mathrm{StateMH} - 0.527\,\mathrm{StateMI} - 0.2844\,\mathrm{StateMN} + 0.2197\,\mathrm{StateMO} + 0.3144\,\mathrm{StateMP} + 0.0952\,\mathrm{StateMS} - 0.8811\,\mathrm{StateMT} + 0.2503\,\mathrm{StateNC} - 1.0127\,\mathrm{StateND} - 0.1937\,\mathrm{StateNE} - 0.5376\,\mathrm{StateNH} + 0.3547\,\mathrm{StateNJ} - 0.0168\,\mathrm{StateNM} + 0.3622\,\mathrm{StateNV} + 0.096\,\mathrm{StateNY} - 0.4462\,\mathrm{StateOH} + 0.0305\,\mathrm{StateOK} - 0.1939\,\mathrm{StateOR} - 0.0836\,\mathrm{StatePA} - 0.2943\,\mathrm{StatePR} - 0.2344\,\mathrm{StateRI} + 0.5374\,\mathrm{StateSC} - 0.4508\,\mathrm{StateSD} + 0.2993\,\mathrm{StateTN} + 0.5253\,\mathrm{StateTX} - 0.0985\,\mathrm{StateUT} + 0.1714\,\mathrm{StateVA} + 0.2629\,\mathrm{StateVI} - 0.7354\,\mathrm{StateVT} - 0.1982\,\mathrm{StateWA} - 0.2069\,\mathrm{StateWI} - 0.3573\,\mathrm{StateWV} - 0.2821\,\mathrm{StateWY} + 0.1678\,\mathrm{Sector21} + 0.093\,\mathrm{Sector22} + 0.5321\,\mathrm{Sector23} + 0.5278\,\mathrm{Sector31} + 0.4077\,\mathrm{Sector32} + 0.3175\,\mathrm{Sector33} + 0.4822\,\mathrm{Sector42} + 0.6936\,\mathrm{Sector44} + 0.7635\,\mathrm{Sector45} + 0.3712\,\mathrm{Sector48} + 0.5229\,\mathrm{Sector49} + 0.4854\,\mathrm{Sector51} + 0.1276\,\mathrm{Sector52} + 0.3679\,\mathrm{Sector53} + 0.4073\,\mathrm{Sector54} - 0.244\,\mathrm{Sector55} + 0.4726\,\mathrm{Sector56} + 0.653\,\mathrm{Sector61} + 0.2616\,\mathrm{Sector62} + 0.8579\,\mathrm{Sector71} + 0.7944\,\mathrm{Sector72} + 0.6219\,\mathrm{Sector81} + 0.5186\,\mathrm{Sector92} + 0.2942\,\mathrm{LoanSizeMedium} + 0.4394\,\mathrm{LoanSizeLarge} - 1.5541\,\mathrm{TermMedium} - 2.4489\,\mathrm{TermLong} - 0.0146\,\mathrm{BusinessTypeINDIVIDUAL} - 0.4605\,\mathrm{BusinessTypePARTNERSHIP} + 0.391\,\mathrm{CollateralNo_Collateral} \]

9.9 Koefisien dan Incidence Rate Ratio Model Poisson

Pada regresi Poisson, koefisien model berada pada skala log. Agar lebih mudah diinterpretasikan, koefisien diubah menjadi Incidence Rate Ratio atau IRR dengan rumus:

\[ IRR = \exp(\beta) \]

Jika IRR lebih dari 1, maka rate pinjaman bermasalah lebih tinggi dibanding kategori acuan. Jika IRR kurang dari 1, maka rate pinjaman bermasalah lebih rendah dibanding kategori acuan.

tabel_poisson <- broom::tidy(model_poisson) %>%
  dplyr::mutate(
    Incidence_Rate_Ratio = exp(estimate),
    Perubahan_Persen = 100 * (Incidence_Rate_Ratio - 1),
    Variabel_Mudah = purrr::map_chr(term, label_poisson),
    Keputusan_5persen = ifelse(p.value < 0.05, "Signifikan", "Tidak signifikan")
  ) %>%
  dplyr::arrange(p.value)

knitr::kable(
  tabel_poisson %>%
    dplyr::select(
      Variabel_Mudah,
      term,
      estimate,
      std.error,
      statistic,
      p.value,
      Incidence_Rate_Ratio,
      Perubahan_Persen,
      Keputusan_5persen
    ) %>%
    head(35),
  digits = 4,
  caption = "Koefisien dan Incidence Rate Ratio Regresi Poisson"
)

Koefisien dan Incidence Rate Ratio Regresi Poisson

Variabel_Mudah	term	estimate	std.error	statistic	p.value	Incidence_Rate_Ratio	Perubahan_Persen	Keputusan_5persen
tenor pinjaman: Medium dibanding tenor pendek	Term_BandMedium	-1.5541	0.0124	-125.8356	0.0000	0.2114	-78.8622	Signifikan
tenor pinjaman: Long dibanding tenor pendek	Term_BandLong	-2.4489	0.0280	-87.5349	0.0000	0.0864	-91.3612	Signifikan
status agunan: No_Collateral dibanding kategori acuan	CollateralIndNo_Collateral	0.3910	0.0132	29.5461	0.0000	1.4784	47.8387	Signifikan
ukuran pinjaman: Medium dibanding pinjaman kecil	Loan_Size_BandMedium	0.2942	0.0135	21.8709	0.0000	1.3420	34.2034	Signifikan
ukuran pinjaman: Large dibanding pinjaman kecil	Loan_Size_BandLarge	0.4394	0.0202	21.7530	0.0000	1.5517	55.1747	Signifikan
(Intercept)	(Intercept)	-2.4695	0.1579	-15.6413	0.0000	0.0846	-91.5371	Signifikan
sektor industri: 71 dibanding sektor acuan	Sector71	0.8579	0.0676	12.6959	0.0000	2.3583	135.8283	Signifikan
sektor industri: 72 dibanding sektor acuan	Sector72	0.7944	0.0628	12.6543	0.0000	2.2131	121.3112	Signifikan
sektor industri: 45 dibanding sektor acuan	Sector45	0.7635	0.0661	11.5463	0.0000	2.1458	114.5786	Signifikan
tahun persetujuan: 2018 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2018	0.2755	0.0245	11.2297	0.0000	1.3172	31.7181	Signifikan
sektor industri: 44 dibanding sektor acuan	Sector44	0.6936	0.0633	10.9546	0.0000	2.0010	100.1000	Signifikan
tahun persetujuan: 2013 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2013	-0.2928	0.0288	-10.1733	0.0000	0.7462	-25.3821	Signifikan
tahun persetujuan: 2012 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2012	-0.2940	0.0289	-10.1612	0.0000	0.7453	-25.4695	Signifikan
sektor industri: 81 dibanding sektor acuan	Sector81	0.6219	0.0637	9.7587	0.0000	1.8624	86.2408	Signifikan
tahun persetujuan: 2019 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2019	0.2433	0.0266	9.1354	0.0000	1.2755	27.5476	Signifikan
tahun persetujuan: 2011 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2011	-0.2421	0.0272	-8.9128	0.0000	0.7850	-21.5015	Signifikan
sektor industri: 61 dibanding sektor acuan	Sector61	0.6530	0.0767	8.5096	0.0000	1.9213	92.1300	Signifikan
sektor industri: 23 dibanding sektor acuan	Sector23	0.5321	0.0631	8.4282	0.0000	1.7026	70.2555	Signifikan
jenis usaha: PARTNERSHIP dibanding kategori acuan	BusinessTypePARTNERSHIP	-0.4605	0.0562	-8.1989	0.0000	0.6310	-36.9017	Signifikan
tahun persetujuan: 2017 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2017	0.1847	0.0244	7.5588	0.0000	1.2028	20.2801	Signifikan
sektor industri: 42 dibanding sektor acuan	Sector42	0.4822	0.0653	7.3800	0.0000	1.6196	61.9563	Signifikan
tahun persetujuan: 2014 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2014	-0.1973	0.0270	-7.3155	0.0000	0.8210	-17.9029	Signifikan
sektor industri: 31 dibanding sektor acuan	Sector31	0.5278	0.0734	7.1895	0.0000	1.6952	69.5205	Signifikan
sektor industri: 56 dibanding sektor acuan	Sector56	0.4726	0.0662	7.1390	0.0000	1.6041	60.4118	Signifikan
sektor industri: 54 dibanding sektor acuan	Sector54	0.4073	0.0640	6.3687	0.0000	1.5028	50.2794	Signifikan
sektor industri: 51 dibanding sektor acuan	Sector51	0.4854	0.0800	6.0688	0.0000	1.6249	62.4878	Signifikan
sektor industri: 48 dibanding sektor acuan	Sector48	0.3712	0.0651	5.7005	0.0000	1.4495	44.9477	Signifikan
sektor industri: 32 dibanding sektor acuan	Sector32	0.4077	0.0756	5.3919	0.0000	1.5033	50.3305	Signifikan
state peminjam: ND dibanding state acuan	BorrStateND	-1.0127	0.2012	-5.0325	0.0000	0.3632	-63.6773	Signifikan
sektor industri: 53 dibanding sektor acuan	Sector53	0.3679	0.0762	4.8297	0.0000	1.4447	44.4673	Signifikan
state peminjam: MT dibanding state acuan	BorrStateMT	-0.8811	0.1835	-4.8006	0.0000	0.4143	-58.5672	Signifikan
sektor industri: 49 dibanding sektor acuan	Sector49	0.5229	0.1091	4.7922	0.0000	1.6869	68.6918	Signifikan
sektor industri: 33 dibanding sektor acuan	Sector33	0.3175	0.0686	4.6271	0.0000	1.3737	37.3723	Signifikan
state peminjam: FL dibanding state acuan	BorrStateFL	0.6110	0.1459	4.1865	0.0000	1.8423	84.2283	Signifikan
state peminjam: VT dibanding state acuan	BorrStateVT	-0.7354	0.1822	-4.0356	0.0001	0.4793	-52.0682	Signifikan

9.10 Evaluasi Model Poisson

AIC_poisson <- AIC(model_poisson)
AIC_poisson

## [1] 102778.3

dispersion_poisson <- deviance(model_poisson) / df.residual(model_poisson)
dispersion_poisson

## [1] 0.5987723

if (dispersion_poisson > 1.5) {
  cat("Terdapat indikasi overdispersion. Inferensi p-value sebaiknya dilihat juga menggunakan quasi-Poisson.\n")
} else {
  cat("Tidak ada indikasi overdispersion yang kuat berdasarkan rasio deviance/df residual.\n")
}

## Tidak ada indikasi overdispersion yang kuat berdasarkan rasio deviance/df residual.

9.11 Pemeriksaan Overdispersion dengan Pearson Dispersion

Selain rasio deviance terhadap derajat bebas residual, overdispersion juga dapat diperiksa menggunakan Pearson dispersion.

\[ \hat{\phi} = \frac{\sum r_{P,i}^2}{df} \]

Jika nilai dispersion jauh lebih besar dari 1, maka terdapat indikasi overdispersion.

pearson_dispersion <- sum(residuals(model_poisson, type = "pearson")^2) /
  df.residual(model_poisson)

tibble::tibble(
  Ukuran = "Pearson dispersion",
  Nilai = pearson_dispersion,
  Interpretasi = dplyr::case_when(
    pearson_dispersion < 1.5 ~ "Tidak ada indikasi overdispersion berat",
    pearson_dispersion < 2.5 ~ "Ada indikasi overdispersion sedang",
    TRUE ~ "Ada indikasi overdispersion kuat"
  )
) %>%
  dplyr::mutate(Nilai = round(Nilai, 3)) %>%
  knitr::kable(caption = "Pemeriksaan Overdispersion dengan Pearson Dispersion")

Pemeriksaan Overdispersion dengan Pearson Dispersion

Ukuran	Nilai	Interpretasi
Pearson dispersion	1.148	Tidak ada indikasi overdispersion berat

Jika nilai Pearson dispersion jauh lebih besar dari 1, maka variasi jumlah pinjaman bermasalah lebih besar daripada yang diasumsikan oleh model Poisson. Dalam kondisi tersebut, hasil signifikansi dari model Poisson standar perlu dibaca hati-hati dan model quasi-Poisson lebih aman digunakan sebagai pembanding.

model_quasipoisson <- glm(
  Jumlah_ChargedOff ~ ApprovalFY + BorrState + Sector +
    Loan_Size_Band + Term_Band + BusinessType + CollateralInd +
    offset(log(Total_Loan)),
  data = data_poisson_agg,
  family = quasipoisson(link = "log")
)

tabel_quasipoisson <- broom::tidy(model_quasipoisson) %>%
  dplyr::mutate(
    Incidence_Rate_Ratio = exp(estimate),
    Perubahan_Persen = 100 * (Incidence_Rate_Ratio - 1),
    Variabel_Mudah = purrr::map_chr(term, label_poisson),
    Keputusan_5persen = ifelse(p.value < 0.05, "Signifikan", "Tidak signifikan")
  ) %>%
  dplyr::arrange(p.value)

knitr::kable(
  tabel_quasipoisson %>% dplyr::select(Variabel_Mudah, term, estimate, std.error, statistic, p.value, Incidence_Rate_Ratio, Perubahan_Persen, Keputusan_5persen) %>% head(35),
  digits = 4,
  caption = "Koefisien dan IRR Quasi-Poisson"
)

Koefisien dan IRR Quasi-Poisson

Variabel_Mudah	term	estimate	std.error	statistic	p.value	Incidence_Rate_Ratio	Perubahan_Persen	Keputusan_5persen
tenor pinjaman: Medium dibanding tenor pendek	Term_BandMedium	-1.5541	0.0132	-117.4643	0.0000	0.2114	-78.8622	Signifikan
tenor pinjaman: Long dibanding tenor pendek	Term_BandLong	-2.4489	0.0300	-81.7116	0.0000	0.0864	-91.3612	Signifikan
status agunan: No_Collateral dibanding kategori acuan	CollateralIndNo_Collateral	0.3910	0.0142	27.5805	0.0000	1.4784	47.8387	Signifikan
ukuran pinjaman: Medium dibanding pinjaman kecil	Loan_Size_BandMedium	0.2942	0.0144	20.4159	0.0000	1.3420	34.2034	Signifikan
ukuran pinjaman: Large dibanding pinjaman kecil	Loan_Size_BandLarge	0.4394	0.0216	20.3059	0.0000	1.5517	55.1747	Signifikan
(Intercept)	(Intercept)	-2.4695	0.1691	-14.6008	0.0000	0.0846	-91.5371	Signifikan
sektor industri: 71 dibanding sektor acuan	Sector71	0.8579	0.0724	11.8513	0.0000	2.3583	135.8283	Signifikan
sektor industri: 72 dibanding sektor acuan	Sector72	0.7944	0.0673	11.8124	0.0000	2.2131	121.3112	Signifikan
sektor industri: 45 dibanding sektor acuan	Sector45	0.7635	0.0708	10.7781	0.0000	2.1458	114.5786	Signifikan
tahun persetujuan: 2018 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2018	0.2755	0.0263	10.4826	0.0000	1.3172	31.7181	Signifikan
sektor industri: 44 dibanding sektor acuan	Sector44	0.6936	0.0678	10.2259	0.0000	2.0010	100.1000	Signifikan
tahun persetujuan: 2013 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2013	-0.2928	0.0308	-9.4965	0.0000	0.7462	-25.3821	Signifikan
tahun persetujuan: 2012 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2012	-0.2940	0.0310	-9.4853	0.0000	0.7453	-25.4695	Signifikan
sektor industri: 81 dibanding sektor acuan	Sector81	0.6219	0.0683	9.1095	0.0000	1.8624	86.2408	Signifikan
tahun persetujuan: 2019 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2019	0.2433	0.0285	8.5276	0.0000	1.2755	27.5476	Signifikan
tahun persetujuan: 2011 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2011	-0.2421	0.0291	-8.3199	0.0000	0.7850	-21.5015	Signifikan
sektor industri: 61 dibanding sektor acuan	Sector61	0.6530	0.0822	7.9435	0.0000	1.9213	92.1300	Signifikan
sektor industri: 23 dibanding sektor acuan	Sector23	0.5321	0.0676	7.8675	0.0000	1.7026	70.2555	Signifikan
jenis usaha: PARTNERSHIP dibanding kategori acuan	BusinessTypePARTNERSHIP	-0.4605	0.0602	-7.6535	0.0000	0.6310	-36.9017	Signifikan
tahun persetujuan: 2017 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2017	0.1847	0.0262	7.0559	0.0000	1.2028	20.2801	Signifikan
sektor industri: 42 dibanding sektor acuan	Sector42	0.4822	0.0700	6.8891	0.0000	1.6196	61.9563	Signifikan
tahun persetujuan: 2014 dibanding tahun acuan	ApprovalFY2014	-0.1973	0.0289	-6.8288	0.0000	0.8210	-17.9029	Signifikan
sektor industri: 31 dibanding sektor acuan	Sector31	0.5278	0.0786	6.7112	0.0000	1.6952	69.5205	Signifikan
sektor industri: 56 dibanding sektor acuan	Sector56	0.4726	0.0709	6.6641	0.0000	1.6041	60.4118	Signifikan
sektor industri: 54 dibanding sektor acuan	Sector54	0.4073	0.0685	5.9450	0.0000	1.5028	50.2794	Signifikan
sektor industri: 51 dibanding sektor acuan	Sector51	0.4854	0.0857	5.6650	0.0000	1.6249	62.4878	Signifikan
sektor industri: 48 dibanding sektor acuan	Sector48	0.3712	0.0698	5.3212	0.0000	1.4495	44.9477	Signifikan
sektor industri: 32 dibanding sektor acuan	Sector32	0.4077	0.0810	5.0332	0.0000	1.5033	50.3305	Signifikan
state peminjam: ND dibanding state acuan	BorrStateND	-1.0127	0.2156	-4.6977	0.0000	0.3632	-63.6773	Signifikan
sektor industri: 53 dibanding sektor acuan	Sector53	0.3679	0.0816	4.5084	0.0000	1.4447	44.4673	Signifikan
state peminjam: MT dibanding state acuan	BorrStateMT	-0.8811	0.1966	-4.4812	0.0000	0.4143	-58.5672	Signifikan
sektor industri: 49 dibanding sektor acuan	Sector49	0.5229	0.1169	4.4734	0.0000	1.6869	68.6918	Signifikan
sektor industri: 33 dibanding sektor acuan	Sector33	0.3175	0.0735	4.3192	0.0000	1.3737	37.3723	Signifikan
state peminjam: FL dibanding state acuan	BorrStateFL	0.6110	0.1563	3.9080	0.0001	1.8423	84.2283	Signifikan
state peminjam: VT dibanding state acuan	BorrStateVT	-0.7354	0.1952	-3.7671	0.0002	0.4793	-52.0682	Signifikan

data_poisson_agg$fitted_poisson <- fitted(model_poisson)

ggplot(data_poisson_agg, aes(x = fitted_poisson, y = Jumlah_ChargedOff)) +
  geom_point(alpha = 0.35) +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 0, linetype = "dashed") +
  labs(
    title = "Observed vs Fitted Jumlah Pinjaman Bermasalah",
    x = "Nilai fitted model",
    y = "Jumlah pinjaman bermasalah aktual"
  ) +
  theme_minimal()

9.12 Visualisasi Prediksi Rate Pinjaman Bermasalah

Visualisasi ini digunakan untuk melihat prediksi rate pinjaman bermasalah berdasarkan ukuran pinjaman dan tenor. Pada grafik ini, exposure ditetapkan sebesar 1 agar hasil yang ditampilkan dapat dibaca sebagai rate.

grid_poisson <- expand.grid(
  ApprovalFY = factor(modus(data_poisson_agg$ApprovalFY), levels = levels(data_poisson_agg$ApprovalFY)),
  BorrState = factor(modus(data_poisson_agg$BorrState), levels = levels(data_poisson_agg$BorrState)),
  Sector = factor(modus(data_poisson_agg$Sector), levels = levels(data_poisson_agg$Sector)),
  Loan_Size_Band = factor(levels(data_poisson_agg$Loan_Size_Band), levels = levels(data_poisson_agg$Loan_Size_Band)),
  Term_Band = factor(levels(data_poisson_agg$Term_Band), levels = levels(data_poisson_agg$Term_Band)),
  BusinessType = factor(modus(data_poisson_agg$BusinessType), levels = levels(data_poisson_agg$BusinessType)),
  CollateralInd = factor(modus(data_poisson_agg$CollateralInd), levels = levels(data_poisson_agg$CollateralInd)),
  Total_Loan = 1
)

pred_rate_poisson <- predict(
  model_poisson,
  newdata = grid_poisson,
  type = "link",
  se.fit = TRUE
)

grid_poisson_plot <- grid_poisson %>%
  dplyr::mutate(
    fit_link = pred_rate_poisson$fit,
    se_link = pred_rate_poisson$se.fit,
    Predicted_Rate = exp(fit_link),
    Rate_Lower = exp(fit_link - 1.96 * se_link),
    Rate_Upper = exp(fit_link + 1.96 * se_link)
  )

ggplot(
  grid_poisson_plot,
  aes(x = Loan_Size_Band, y = Predicted_Rate, fill = Term_Band)
) +
  geom_col(position = position_dodge(width = 0.8), width = 0.7) +
  geom_errorbar(
    aes(ymin = Rate_Lower, ymax = Rate_Upper),
    position = position_dodge(width = 0.8),
    width = 0.2
  ) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) +
  labs(
    title = "Prediksi Rate Pinjaman Bermasalah",
    subtitle = "Exposure ditetapkan 1; variabel lain ditahan pada kategori paling umum",
    x = "Ukuran Pinjaman",
    y = "Prediksi rate pinjaman bermasalah",
    fill = "Tenor"
  ) +
  theme_minimal()

Grafik ini menunjukkan perbedaan prediksi rate pinjaman bermasalah menurut ukuran pinjaman dan tenor, dengan variabel lain ditahan pada kategori paling umum. Jika batang pada kategori tertentu lebih tinggi, maka kelompok tersebut diprediksi memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi.

9.13 Interpretasi dan Kesimpulan Model Poisson

if (dispersion_poisson > 1.5) {
  tabel_pakai_poisson <- tabel_quasipoisson
  metode_pakai <- "quasi-Poisson"
} else {
  tabel_pakai_poisson <- tabel_poisson
  metode_pakai <- "Poisson"
}

sig_poisson <- tabel_pakai_poisson %>%
  dplyr::filter(term != "(Intercept)", p.value < 0.05) %>%
  dplyr::arrange(p.value)

cat("Rasio deviance/df residual adalah **", fmt_num(dispersion_poisson, 3), "**. ", sep = "")

Rasio deviance/df residual adalah 0.599.

if (dispersion_poisson > 1.5) {
  cat("Nilai ini menunjukkan overdispersion, sehingga interpretasi signifikansi lebih aman mengacu pada model quasi-Poisson.\n\n")
} else {
  cat("Nilai ini tidak menunjukkan overdispersion yang kuat, sehingga model Poisson standar masih memadai sebagai model awal.\n\n")
}

Nilai ini tidak menunjukkan overdispersion yang kuat, sehingga model Poisson standar masih memadai sebagai model awal.

cat("Dengan acuan inferensi ", metode_pakai, ", terdapat ", nrow(sig_poisson),
    " prediktor signifikan pada taraf 5%.\n\n", sep = "")

Dengan acuan inferensi Poisson, terdapat 56 prediktor signifikan pada taraf 5%.

if (nrow(sig_poisson) > 0) {
  cat("Prediktor paling penting berdasarkan p-value terkecil adalah:\n\n")
  top_poisson <- head(sig_poisson, 10)
  for (i in seq_len(nrow(top_poisson))) {
    row <- top_poisson[i, ]
    arah <- ifelse(row$Incidence_Rate_Ratio > 1,
                   "memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi",
                   "memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih rendah")
    cat("- **", row$Variabel_Mudah, "** memiliki IRR = ", fmt_num(row$Incidence_Rate_Ratio, 3),
        " dengan perubahan sekitar ", fmt_num(row$Perubahan_Persen, 2), "%",
        " dan p-value = ", fmt_p(row$p.value), ", sehingga kelompok ini ", arah,
        ", dengan asumsi variabel lain tetap.\n", sep = "")
  }
  cat("\n")
}

Prediktor paling penting berdasarkan p-value terkecil adalah:

• tenor pinjaman: Medium dibanding tenor pendek memiliki IRR = 0.211 dengan perubahan sekitar -78.86% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih rendah, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tenor pinjaman: Long dibanding tenor pendek memiliki IRR = 0.086 dengan perubahan sekitar -91.36% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih rendah, dengan asumsi variabel lain tetap.
• status agunan: No_Collateral dibanding kategori acuan memiliki IRR = 1.478 dengan perubahan sekitar 47.84% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.
• ukuran pinjaman: Medium dibanding pinjaman kecil memiliki IRR = 1.342 dengan perubahan sekitar 34.20% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.
• ukuran pinjaman: Large dibanding pinjaman kecil memiliki IRR = 1.552 dengan perubahan sekitar 55.17% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.
• sektor industri: 71 dibanding sektor acuan memiliki IRR = 2.358 dengan perubahan sekitar 135.83% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.
• sektor industri: 72 dibanding sektor acuan memiliki IRR = 2.213 dengan perubahan sekitar 121.31% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.
• sektor industri: 45 dibanding sektor acuan memiliki IRR = 2.146 dengan perubahan sekitar 114.58% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.
• tahun persetujuan: 2018 dibanding tahun acuan memiliki IRR = 1.317 dengan perubahan sekitar 31.72% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.
• sektor industri: 44 dibanding sektor acuan memiliki IRR = 2.001 dengan perubahan sekitar 100.10% dan p-value = < 0.001, sehingga kelompok ini memiliki rate pinjaman bermasalah yang lebih tinggi, dengan asumsi variabel lain tetap.

cat("AIC model Poisson adalah **", fmt_num(AIC_poisson, 2), "**.\n\n", sep = "")

AIC model Poisson adalah 102,778.27.

cat("**Kesimpulan substantif:** jumlah pinjaman bermasalah pada data SBA 7(a) tidak hanya dipengaruhi oleh banyaknya pinjaman dalam kelompok, tetapi juga oleh karakteristik kelompok seperti tahun persetujuan, state peminjam, sektor industri, ukuran pinjaman, tenor, jenis usaha, dan status agunan. Penggunaan offset `Total_Loan` membuat kesimpulan berfokus pada rate pinjaman bermasalah, bukan jumlah mentah.\n")

Kesimpulan substantif: jumlah pinjaman bermasalah pada data SBA 7(a) tidak hanya dipengaruhi oleh banyaknya pinjaman dalam kelompok, tetapi juga oleh karakteristik kelompok seperti tahun persetujuan, state peminjam, sektor industri, ukuran pinjaman, tenor, jenis usaha, dan status agunan. Penggunaan offset Total_Loan membuat kesimpulan berfokus pada rate pinjaman bermasalah, bukan jumlah mentah.

10 Perbandingan Empat Model

Model	Respon	Fungsi link	Ukuran interpretasi	Evaluasi utama
Logistik biner	Gagal bayar 0/1	Logit	Odds ratio	Confusion matrix, AIC, ROC/AUC
Ordinal	Grade A-G	Cumulative logit dengan spesifikasi MASS::polr: logit(P(Y <= j)) = alpha_j - x beta	exp(beta) sebagai odds ratio menuju grade lebih tinggi	Confusion matrix, AIC, proportional odds check
Multinomial	Status pinjaman	Baseline-category logit	Relative risk ratio	Confusion matrix, AIC, prediksi probabilitas, catatan IIA
Poisson	Jumlah pinjaman bermasalah	Log	Incidence rate ratio dan perubahan persen	AIC, deviance dispersion, Pearson dispersion, overdispersion

11 Kesimpulan Umum

cat("Berdasarkan empat analisis yang dilakukan, setiap model menjawab bagian risiko kredit yang berbeda.\n\n")

Berdasarkan empat analisis yang dilakukan, setiap model menjawab bagian risiko kredit yang berbeda.

cat("- **Model biner** menjelaskan peluang nasabah kartu kredit mengalami gagal bayar. Model ini cocok karena respon hanya terdiri dari dua kategori, yaitu gagal bayar dan tidak gagal bayar.\n")

• Model biner menjelaskan peluang nasabah kartu kredit mengalami gagal bayar. Model ini cocok karena respon hanya terdiri dari dua kategori, yaitu gagal bayar dan tidak gagal bayar.

cat("- **Model ordinal** menjelaskan tingkat risiko pinjaman Lending Club berdasarkan grade A sampai G. Model ini cocok karena grade memiliki urutan risiko.\n")

• Model ordinal menjelaskan tingkat risiko pinjaman Lending Club berdasarkan grade A sampai G. Model ini cocok karena grade memiliki urutan risiko.

cat("- **Model multinomial** menjelaskan status pinjaman Prosper. Model ini cocok karena status pinjaman memiliki beberapa kategori yang tidak diperlakukan sebagai urutan.\n")

• Model multinomial menjelaskan status pinjaman Prosper. Model ini cocok karena status pinjaman memiliki beberapa kategori yang tidak diperlakukan sebagai urutan.

cat("- **Model Poisson** menjelaskan jumlah pinjaman SBA 7(a) yang bermasalah pada setiap kelompok pinjaman. Model ini cocok karena respon berupa hitungan kejadian.\n\n")

• Model Poisson menjelaskan jumlah pinjaman SBA 7(a) yang bermasalah pada setiap kelompok pinjaman. Model ini cocok karena respon berupa hitungan kejadian.

cat("Secara keseluruhan, analisis ini menunjukkan bahwa regresi untuk data kategori dan data hitungan dapat digunakan dalam konteks risk management. Model biner berguna untuk peluang gagal bayar, model ordinal untuk tingkat risiko, model multinomial untuk status pinjaman, dan model Poisson untuk jumlah kejadian pinjaman bermasalah.\n")

Secara keseluruhan, analisis ini menunjukkan bahwa regresi untuk data kategori dan data hitungan dapat digunakan dalam konteks risk management. Model biner berguna untuk peluang gagal bayar, model ordinal untuk tingkat risiko, model multinomial untuk status pinjaman, dan model Poisson untuk jumlah kejadian pinjaman bermasalah.

12 Sumber Data

1. https://archive.ics.uci.edu/dataset/350/default+of+credit+card+clients (Biner)
2. https://www.openintro.org/data/index.php?data=loans_full_schema (Ordinal)
3. https://github.com/susmithagudapati/Prosper-Loans-DataAnalysis (Multinomial)
4. https://data.sba.gov/en/dataset/7-a-504-foia/resource/3f838176-6060-44db-9c91-b4acafbcb28c (Poisson)