Introducción

Examinamos el comportamiento de una deuda empresarial utilizando dinámica de sistemas y ecuaciones diferenciales.

Determinamos que la deuda cambia en el tiempo debido a los siguientes factores:

  • Intereses financieros
  • Pagos realizados
  • Penalizaciones por mora o intereses moratorios

El modelo se representará a través de:

  • Diagramas causales
  • Diagramas de niveles y flujos
  • Representación matricial del sistema
  • Ecuación diferencial de segundo orden
  • Solución analítica
  • Simulación numérica con Euler
  • Simulación numérica con Runge-Kutta de 4.º orden (RK4)

Planteamiento del problema

Una empresa adquiere una deuda inicial de:

\[D_0 = 50\,000\]

La deuda evoluciona en el tiempo por tres fuerzas que actúan al mismo tiempo:

  • Intereses: proporcionales al saldo actual, generan crecimiento continuo.
  • Mora: penalización adicional sobre la deuda acumulada.
  • Pagos periódicos: cuotas fijas que reducen el saldo.

Asimismo, la empresa enfrenta cargos financieros fijos de $500 mensuales (comisiones, seguros y gastos administrativos asociados al crédito), que incrementan la deuda independientemente del saldo.

Se estudia el comportamiento durante un periodo de 24 meses.

Variables del sistema

Variable Descripción
\(D(t)\) Deuda acumulada en el tiempo \(t\)
\(r\) Tasa de interés mensual
\(m\) Factor de mora
\(p\) Pagos periódicos
\(\frac{dD}{dt}\) Velocidad de cambio de la deuda
\(\frac{d^2D}{dt^2}\) Aceleración financiera

Diagrama causal

En el diagrama causal observamos las relaciones de retroalimentación entre las variables. Las relaciones directas se señalan con el signo + y las relaciones inversas con el signo −.

Se identifican dos bucles:

  • Bucle de refuerzo (R): Deuda → Intereses → Mora → Deuda. Genera crecimiento acelerado.
  • Bucle de balance (B): Deuda → Pagos → Deuda. Actúa como regulador.

Bucle R (refuerzo): Deuda ⟶ Intereses ⟶ Mora ⟶ Deuda   (retroalimentación positiva)

Bucle B (balance): Deuda ⟶ Pagos ⟶ Deuda   (retroalimentación negativa)

Diagrama de niveles y flujos

El diagrama de stock y flujo utiliza la notación estándar de dinámica de sistemas: rectángulos con barras dobles (stock), diamantes (válvulas de flujo) y nubes (fuentes/sumideros externos). Los flujos de información están representados por líneas punteadas, mientras que los flujos físicos lo están por líneas gruesas.

Modelo matemático

Construcción de la ecuación

La variación de la deuda responde a tres fuerzas simultáneas:

\[\frac{dD}{dt} = \underbrace{r \cdot D(t)}_{\text{intereses}} + \underbrace{m \cdot D(t)}_{\text{mora}} - \underbrace{p}_{\text{pagos}} + \underbrace{500}_{\text{cargos fijos}}\]

Derivando e incorporando la dinámica de la velocidad de pago se obtiene la ecuación de segundo orden:

\[\frac{d^2D}{dt^2} + 0.7\frac{dD}{dt} + 0.06\,D = 500\]

Donde:

  • \(0.7\) coeficiente de amortiguación: representa la capacidad de pago que frena el crecimiento.
  • \(0.06\) fuerza de amortización neta sobre el saldo (pagos superan a intereses + mora).
  • \(500\) cargos financieros fijos mensuales, independientes del saldo. Este término es el que sostiene la deuda residual de largo plazo.

Representación matricial del sistema

Definiendo las variables de estado:

\[x_1 = D(t) \qquad x_2 = D'(t)\]

El sistema equivalente de primer orden es:

\[x_1' = x_2\] \[x_2' = 500 - 0.7\,x_2 - 0.06\,x_1\]

En forma matricial \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}\):

\[\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -0.06 & -0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 500 \end{pmatrix}\]

Los valores propios de \(A\) se obtienen de:

\[\det(A - \lambda I) = 0 \implies \lambda^2 + 0.7\lambda + 0.06 = 0\]

\[\lambda_1 = -0.1 \qquad \lambda_2 = -0.6\]

Ambos negativos → sistema asintóticamente estable.

Solución analítica

Ecuación característica

\[r^2 + 0.7r + 0.06 = 0 \implies r_1 = -0.1 \quad r_2 = -0.6\]

Solución particular

Con \(D'' = D' = 0\):

\[0.06\,D_p = 500 \implies D_p = \frac{500}{0.06} = 8\,333.33\]

Solución general

\[D(t) = C_1\,e^{-0.1t} + C_2\,e^{-0.6t} + 8\,333.33\]

Constantes de integración

Con \(D(0) = 50\,000\) y \(D'(0) = -500\):

\[C_1 + C_2 = 50\,000 - 8\,333.33 = 41\,666.67\] \[-0.1\,C_1 - 0.6\,C_2 = -500\]

Resolviendo el sistema:

\[C_2 = \frac{-500 + 0.1 \times 41\,666.67}{-0.5} = -7\,333.33 \qquad C_1 = 49\,000\]

\[\boxed{D(t) = 49\,000\,e^{-0.1t} - 7\,333.33\,e^{-0.6t} + 8\,333.33}\]

Solución analítica en R

Método de Euler

Se define el sistema de primer orden:

\[x_1' = x_2 \qquad x_2' = 500 - 0.7\,x_2 - 0.06\,x_1\]

La actualización de Euler es:

\[x_1^{n+1} = x_1^n + \Delta t \cdot x_2^n\] \[x_2^{n+1} = x_2^n + \Delta t \cdot \left(500 - 0.7\,x_2^n - 0.06\,x_1^n\right)\]

Simulación numérica con Euler

Método de Runge-Kutta de 4.º orden (RK4)

El método RK4 evalúa la pendiente en cuatro puntos por paso de tiempo y la promedia ponderadamente:

\[k_1 = \Delta t \cdot f(x^n) \qquad k_2 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + \tfrac{1}{2}k_1\right)\] \[k_3 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + \tfrac{1}{2}k_2\right) \qquad k_4 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + k_3\right)\]

\[x^{n+1} = x^n + \frac{1}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right)\]

El error local es proporcional a \(\Delta t^5\), notablemente menor que el de Euler (\(\Delta t^2\)).

Simulación numérica con Runge-Kutta (RK4)

Comparación de soluciones

Error respecto a la solución analítica

Resumen de errores respecto a la solución analítica
Método Error máximo (\()| Error promedio (\))
Euler 88.2084 64.6793
RK4 0.0033 0.0003

Tabla numérica RK4

Tabla RK4 - Deuda y velocidad por mes (Delta t = 1)
t (mes) D(t) Deuda ($) V(t) = dD/dt Delta D
0 50000.00 -500.00 -1358.56
1 48641.44 -2016.34 -2403.79
2 46237.65 -2683.68 -2820.31
3 43417.34 -2900.35 -2906.44
4 40510.91 -2883.70 -2824.62
5 37686.28 -2751.76 -2662.83
6 35023.45 -2568.18 -2468.22
7 32555.23 -2366.79 -2265.64
8 30289.60 -2165.19 -2067.78
9 28221.82 -1972.13 -1880.75
10 26341.07 -1791.59 -1707.13
11 24633.94 -1625.01 -1547.62
12 23086.32 -1472.53 -1401.96
13 21684.36 -1333.58 -1269.43
14 20414.93 -1207.32 -1149.12
15 19265.81 -1092.79 -1040.03
16 18225.77 -988.99 -941.21
17 17284.56 -894.98 -851.72
18 16432.84 -809.87 -770.72
19 15662.12 -732.84 -697.40
20 14964.73 -663.12 -631.04
21 14333.68 -600.02 -571.00
22 13762.69 -542.93 -516.67
23 13246.02 -491.26 -467.50
24 12778.52 -444.52 NA

Pendientes intermedias RK4

Pendientes intermedias RK4 por paso (Delta t = 1)
t (mes) k1 k2 k3 k4 l1 l2 l3 l4
0 -500.00 -1575.00 -1191.25 -2118.88 -2150.00 -1382.50 -1618.88 -945.31
1 -2016.34 -2519.87 -2313.39 -2739.86 -1007.05 -594.09 -723.52 -361.78
2 -2683.68 -2881.52 -2772.02 -2931.08 -395.68 -176.68 -247.40 -56.18
3 -2900.35 -2937.75 -2881.16 -2900.45 -74.79 38.40 -0.10 98.15
4 -2883.70 -2839.73 -2811.86 -2760.85 87.93 143.67 122.84 170.66
5 -2751.76 -2669.23 -2656.84 -2573.07 165.06 189.84 178.69 199.38
6 -2568.18 -2470.02 -2465.85 -2369.39 196.32 204.65 198.79 205.12
7 -2366.79 -2265.07 -2265.17 -2166.53 203.44 203.24 200.26 199.17
8 -2165.19 -2066.06 -2068.28 -1972.79 198.26 193.82 192.40 187.67
9 -1972.13 -1878.54 -1881.71 -1791.88 187.18 180.83 180.25 173.91
10 -1791.59 -1704.76 -1708.28 -1625.11 173.65 166.62 166.47 159.61
11 -1625.01 -1545.28 -1548.81 -1472.52 159.47 152.41 152.49 145.66
12 -1472.53 -1399.73 -1403.12 -1333.53 145.59 138.81 139.00 132.48
13 -1333.58 -1267.36 -1270.53 -1207.25 132.44 126.10 126.33 120.24
14 -1207.32 -1147.21 -1150.14 -1092.71 120.23 114.37 114.62 109.01
15 -1092.79 -1038.29 -1040.97 -988.91 109.00 103.64 103.88 98.75
16 -988.99 -939.62 -942.06 -894.90 98.75 93.86 94.09 89.41
17 -894.98 -850.28 -852.50 -809.80 89.42 84.97 85.18 80.94
18 -809.87 -769.40 -771.42 -732.77 80.94 76.91 77.11 73.25
19 -732.84 -696.21 -698.04 -663.05 73.26 69.60 69.78 66.29
20 -663.12 -629.97 -631.62 -599.97 66.30 62.99 63.15 59.99
21 -600.02 -570.03 -571.52 -542.88 59.99 57.00 57.15 54.28
22 -542.93 -515.78 -517.14 -491.22 54.29 51.58 51.71 49.12
23 -491.26 -466.70 -467.93 -444.47 49.12 46.67 46.79 44.45

Resultados

Los resultados del modelo muestran que:

  • La deuda se reduce de manera gradual desde $50,000 hasta llegar a $8,333, cifra que se mantiene gracias a los cargos fijos mensuales de $500.
  • Los valores propios \(\lambda_1 = -0.1\) y \(\lambda_2 = -0.6\) aseguran que la estabilidad se mantenga.
  • El error de RK4 es casi cero con \(\Delta t = 0.1\), pero el de Euler es apreciable (decenas de dólares).

Conclusiones

Sobre el modelo EDS

La perspectiva de Ecuaciones Diferenciales de Sistemas (EDS) posibilita una representación estructurada de fenómenos complejos en el ámbito financiero. La cifra 500 en la ecuación se refiere a los cargos financieros fijos que se aplican cada mes; su impacto inmediato es establecer la deuda residual de largo plazo en $D_p = 500/0.06 = $8,333. Si no existieran esos cargos, la deuda se reduciría a cero.

La reformulación matricial ofrece la posibilidad de examinar la estabilidad mediante los valores propios, hace más fácil la implementación en computadoras y amplía el modelo a sistemas con dimensiones superiores.

Sobre el diagrama causal y el aprendizaje de EDS

Antes de plantear la ecuación diferencial y distinguir los circuitos de retroalimentación que definen el comportamiento cualitativo, el diagrama causal posibilita observar las conexiones de causa-efecto. El bucle de refuerzo (Deuda → Intereses → Mora → Deuda) simboliza el peligro de caer en una espiral de endeudamiento, mientras que el bucle de balance (Deuda → Pagos → Deuda) indica la capacidad del sistema para regularse.

Sobre los métodos numéricos

El método de Euler acumula un error creciente cuando se emplea una única estimación de pendiente por cada paso. La técnica de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4) disminuye ese error a cifras mínimas al promediar cuatro estimaciones ponderadas, con un error local que es proporcional a \(\Delta t^5\) en comparación con el de Euler, que es proporcional a \(\Delta t^2\).

Documento elaborado por Liz Johana Ramírez y José Manuel Sánchez L.
Docente: Alexander Arias Londoño — Semillero MMCC - Instituto tecnológico metropolitano