Cátedra de Biometría y Técnica Experimental
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Trabajo Práctico N° 10: Correlación y Regresión Lineal Simple
Motivación
En Ingeniería Agronómica, el estudio de la relación entre variables permite comprender mejor los procesos productivos y ambientales. El análisis de correlación permite describir la dirección y la intensidad de la asociación lineal entre dos variables cuantitativas. La regresión lineal permite modelar cómo varía, en promedio, una variable respuesta en función de una o más variables explicativas.
En este trabajo práctico se aplicarán ambas herramientas a datos de interés agronómico, desde la exploración gráfica hasta la interpretación de los resultados. Se pondrá especial énfasis en formular conclusiones que tengan en cuenta el contexto del estudio y los límites de los datos disponibles.
Resumen
Análisis de correlación
El análisis de correlación permite estudiar la dirección y la intensidad de la asociación entre dos variables medidas sobre las mismas unidades de observación. Por ejemplo, si en cada parcela se registra la disponibilidad de agua en el suelo y el rendimiento del cultivo, se obtiene un par de valores por parcela.
Exploración gráfica
El primer paso es construir un diagrama de dispersión, donde cada punto representa una unidad de observación. El gráfico permite identificar si la relación es ascendente o descendente, si sigue aproximadamente una recta o una curva y si existen valores atípicos que puedan influir en el resultado.
Coeficiente de correlación de Pearson
El coeficiente de Pearson, representado por \(r\), mide la asociación lineal entre dos variables cuantitativas. Es adimensional y toma valores entre -1 y +1.El análisis de correlación y regresión lineal simple permite estudiar la relación entre dos variables cuantitativas, siendo herramientas estadísticas ampliamente utilizadas en Ingeniería Agronómica para analizar fenómenos productivos, biológicos y ambientales.
La correlación lineal simple mide el grado y dirección de asociación entre dos variables, sin diferenciar variable dependiente e independiente. Para ello se utiliza el coeficiente de correlación de Pearson (r), cuyos valores oscilan entre −1 y +1. Valores cercanos a +1 indican asociación positiva fuerte, valores cercanos a −1 indican asociación negativa fuerte y valores próximos a 0 señalan ausencia de relación lineal.
| Valor de \(r\) | Interpretación |
|---|---|
| \(r>0\) | Asociación lineal positiva. A medida que una variable aumenta, la otra tiende a aumentar. |
| \(r<0\) | Asociación lineal negativa. A medida que una variable aumenta, la otra tiende a disminuir. |
| \(r\approx 0\) | Asociación lineal débil o prácticamente nula. El gráfico puede revelar una relación curvilínea. |
| \(r=+1\) o \(r=-1\) | Asociación lineal perfecta. Todos los puntos se ubican sobre una recta ascendente o descendente, respectivamente. |
El signo indica la dirección de la asociación y el valor absoluto \(|r|\) indica su intensidad. La importancia agronómica del resultado se interpreta en el contexto del estudio.
Prueba de hipótesis para Pearson
El coeficiente \(r\) describe la asociación en la muestra. Para evaluar si existe evidencia de asociación lineal en la población, se contrasta el coeficiente poblacional \(\rho\). En una prueba bilateral se plantea:
\(H_0\colon \rho=0 \qquad\qquad\)
\(H_1\colon \rho\neq 0\)
Si el valor \(p<\alpha\) , se rechaza \(H_0\).
Si \(p>\alpha\), la evidencia es insuficiente para rechazar \(H_0\).
El contraste clásico de Pearson supone independencia entre los pares de observaciones y normalidad bivariada en la población.
Análisis de regresión lineal simple
La regresión lineal simple permite describir y estimar cómo cambia, en promedio, una variable respuesta \(Y\) en función de una variable explicativa \(X\). Por ejemplo, se puede usar para estudiar cómo varía el rendimiento del maíz según la dosis de nitrógeno aplicada.
Modelo y recta ajustada
El modelo poblacional se expresa como
\(Y_{ij}=\alpha+\beta X_i+\varepsilon_{ij}\)
| Componente | Interpretación |
|---|---|
| \(\alpha\); intercepto | Valor medio de \(Y\) cuando \(X=0\). Su interpretación depende de que el cero tenga sentido en el contexto y esté dentro del rango estudiado. |
| \(\beta_1\), pendiente | Cambio medio de\(Y\)asociado con un aumento de una unidad en \(X\). Una pendiente positiva indica un aumento y una pendiente negativa, una disminución. |
| \(\varepsilon_{ij}\), error | Diferencia entre el valor observado y el valor medio poblacional de \(Y\) para ese valor de \(X\). |
A partir de los datos se estima la recta \(\widehat{Y}=\widehat{\alpha}_0+\widehat{\beta}_1X\) mediante el método de mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos. Cada residuo es la diferencia entre el valor observado y el valor estimado por la recta, \(e_i=Y_i-\widehat{Y}_i\).
Ecuacion estimada
\(\widehat{Y}=\widehat{a}_0+\widehat{b}_1X\)
donde a representa el intercepto u ordenada al origen y b la pendiente de la recta, indicando cuánto cambia la variable respuesta ante una unidad de cambio en la variable explicativa.
Evaluación del ajuste y supuestos
El diagrama de dispersión permite examinar si una recta representa razonablemente la relación entre las variables. Una vez ajustado el modelo, el coeficiente de determinación \(R^2\) indica qué proporción de la variabilidad observada de \(Y\) explica el modelo en la muestra. Por ejemplo, \(R^2=0{,}64\) indica que la recta explica el 64 % de esa variabilidad.
Prueba de hipótesis para la pendiente
Para evaluar si existe evidencia de una relación lineal en la población, se contrasta la hipótesis sobre la pendiente \(\beta_1\).
\(H_0\colon \beta_1=0 \qquad\qquad\)
\(H_1\colon \beta_1\neq 0\)
Si el valor \(p<\alpha\), se rechaza \(H_0\).
Si \(p>\alpha\), la evidencia es insuficiente para rechazarla.
El intervalo de confianza de la pendiente complementa la prueba al mostrar la precisión con la que se estimó el cambio medio.
Actividades
Ejercicio 1. Se ha estudiado la relación existente entre la altitud (msnm) y el número de especies de aves presentes en un departamento de la Provincia de Catamarca. Los resultados obtenidos fueron:
| Altitud (msnm) | 310 | 650 | 789 | 892 | 1102 | 1540 | 2550 | 3500 |
| Número de especies | 32 | 21 | 20 | 11 | 10 | 6 | 3 | 1 |
Responder:
Efectuar un diagrama de dispersión. Indicar las características más sobresalientes del mismo.
¿Está asociada la altitud con la cantidad de especies presentes en un área determinada?
Ejercicio 2. Considere un estudio realizado en un bosque abierto de la región del Chaco Árido, en la zona este de la Provincia de Catamarca, donde se midió el diámetro a nivel del pecho (DAP) y la altura de las plantas (metros).
Los datos fueron los siguientes:
| DAP (cm) | 15.6 | 14.8 | 15.5 | 12.5 | 14.2 | 15.7 | 12.3 | 14.2 | 8.8 | 11.9 |
| Altura (m) | 17.4 | 18.4 | 16.5 | 15.2 | 19.9 | 22.2 | 14.8 | 17.3 | 10.3 | 14.6 |
Responder:
Represente la información obtenida mediante un gráfico y realice el análisis del mismo.
¿Está asociado el DAP con la altura de las plantas?
Ejecicio 3. En el marco de una investigación sobre la fertilidad del suelo, se realizó un experimento para evaluar los efectos de la aplicación de compost de olivo sobre las propiedades químicas del suelo (contenido de Nitrógeno). Para ello, dentro de un campo experimental fueron seleccionadas 12 parcelas de 400 metros cuadrados de suelo y se le aplicaron, aleatoriamente, distintas dosis de compost (0, 6 12 y 18 ton/ha). Al cabo de un año, en cada parcela se midió el contenido de Nitrógeno inorgánico (kilogramos de Nitrógeno/ha) en los primeros 20 cm del suelo.
Los datos generados se presentan en el siguiente cuadro:
| Parcela | N° | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| Compost (t/ha) | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 12 | 12 | 12 | 18 | 18 | 18 |
| N inorg. (k/ha) | 173 | 166 | 155 | 164 | 188 | 177 | 170 | 185 | 198 | 200 | 192 | 206 |
Responder:
Indique el tipo de investigación realizada.
Identificar la variable de respuesta e independiente.
Elabora un diagrama de dispersión y describir la relación estadística entre las variables.
¿Las variables del estudio se encuentran correlacionadas? Interprete.
Formule el modelo de regresión lineal ajustada e intérprete en términos agronómicos los estimadores de los parámetros (a y b).
Realice la prueba de hipótesis adecuada para la investigación e interprete.
Según la ecuación propuesta en e), ¿cuál es el contenido de Nitrógeno esperado si se decide aplicar 15 t/ha de compost?
¿Se cumplen los supuestos?
Calcular e interpretar el coeficiente de determinación.
Ejercicio 4. Para estudiar el efecto de la temperatura sobre el vigor de la germinación, se dispusieron semillas de alfalfa en germinadores y se colocaron en cámaras a distintas temperaturas (10, 15,20 y 25 °C), midiéndose la longitud de las plántulas (expresada en mm) a los 6 días. Los datos obtenidos fueron:
| Temperatura °C | mm | |||||
| 10 | 13 | 16 | 15 | 12 | 11 | 17 |
| 15 | 20 | 21 | 15 | 17 | 20 | 19 |
| 20 | 22 | 27 | 30 | 21 | 21 | 26 |
| 25 | 28 | 20 | 23 | 29 | 25 | 28 |
Responder:
Efectúe el diagrama de dispersión y describa ¿Es razonable proponer un ajuste lineal?
Escriba el modelo que se supone relaciona las vos variables consideradas.
Especifique los supuestos
Estime los parámetros del modelo ¿Qué indica “a” y “b”?
¿Se verifican los supuestos?
¿La temperatura explica parte de la variación de la longitud de las plantas?
Una medida muestral de la capacidad predictora del modelo es R2 ¿Qué valor asume? ¿Cómo lo interpreta?
¿Cuál es la longitud promedio esperada para una temperatura de 22 °C?