Latihan Soal Aktuaria 4.9.2

Seseorang (30) mengikuti polis asuransi jiwa dengan fungsi survival: \[S(x) = \exp\left(-\frac{B}{\log(c)}(c^x - 1)\right)\] (\(B = 10^{-5}\), \(c = 1.09\)), dan tingkat suku bunga \(i = 5\%\). Hitunglah:

1. Anuitas jiwa diskrit (awal dan akhir) seumur hidup;

2. Anuitas jiwa diskrit (awal dan akhir) berjangka 20 tahun;

3. Anuitas jiwa diskrit (awal dan akhir) berjangka 20 tahun yang tertunda 5 tahun;

4. Anuitas jiwa diskrit (awal dan akhir) awal dan pasti 10 tahun.

#################################################
# CONTOH 4.9.2
# Matematika Aktuaria dengan Software R
#################################################

# Parameter
i   <- 0.05
age <- 30
B   <- 1e-5
C   <- 1.09
w   <- 100

#################################################
# a. ANUITAS JIWA SEUMUR HIDUP
#################################################

ax.diskrit <- function(i, age, B, C, w){

  v <- 1/(1+i)

  # Anuitas awal
  ax.awal <- NULL

  for(k in 1:(w-age-1)){
    ax.awal[k] <- v^(k-1) *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k-1)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  # Anuitas akhir
  ax.akhir <- NULL

  for(k in 1:(w-age)){
    ax.akhir[k] <- v^k *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  awal  <- sum(ax.awal)
  akhir <- sum(ax.akhir)

  return(c(Awal = awal,
           Akhir = akhir))
}

#################################################
# b. ANUITAS JIWA BERJANGKA 20 TAHUN
#################################################

axn.diskrit <- function(i, age, B, C, n){

  v <- 1/(1+i)

  # Anuitas awal
  ax.awal <- NULL

  for(k in 1:n){
    ax.awal[k] <- v^(k-1) *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k-1)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  # Anuitas akhir
  ax.akhir <- NULL

  for(k in 1:n){
    ax.akhir[k] <- v^k *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  awal  <- sum(ax.awal)
  akhir <- sum(ax.akhir)

  return(c(Awal = awal,
           Akhir = akhir))
}

#################################################
# c. ANUITAS JIWA BERJANGKA 20 TAHUN TERTUNDA 5 TAHUN
#################################################

maxn.diskrit <- function(i, age, B, C, n, m){

  v <- 1/(1+i)

  # Anuitas awal
  ax.awal <- rep(0, m+n-1)

  for(k in m:(m+n-1)){
    ax.awal[k] <- v^(k-1) *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k-1)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  # Anuitas akhir
  ax.akhir <- rep(0, m+n)

  for(k in (m+1):(m+n)){
    ax.akhir[k] <- v^k *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  awal  <- sum(ax.awal)
  akhir <- sum(ax.akhir)

  return(c(Awal = awal,
           Akhir = akhir))
}

#################################################
# d. ANUITAS AWAL DAN PASTI 10 TAHUN
#################################################

axp.diskrit <- function(i, age, B, C, w, n){

  v <- 1/(1+i)

  # Anuitas awal
  ax.awal <- NULL

  for(k in n:(w-age-1)){
    ax.awal[k] <- v^(k-1) *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k-1)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  # Anuitas akhir
  ax.akhir <- NULL

  for(k in (n+1):(w-age)){
    ax.akhir[k] <- v^k *
      (exp((-B/log(C))*(C^(age+k)-1))) /
      (exp((-B/log(C))*(C^(age)-1)))
  }

  # Anuitas pasti
  awal.pasti  <- (1-v^n)/(1-v)
  akhir.pasti <- (1-v^n)/i

  awal  <- awal.pasti + sum(ax.awal, na.rm = TRUE)
  akhir <- akhir.pasti + sum(ax.akhir, na.rm = TRUE)

  return(c(Awal = awal,
           Akhir = akhir))
}

# HASIL

A <- ax.diskrit(
  i=i,
  age=age,
  B=B,
  C=C,
  w=w
)

Bhasil <- axn.diskrit(
  i=i,
  age=age,
  B=B,
  C=C,
  n=20
)

Chasil <- maxn.diskrit(
  i=i,
  age=age,
  B=B,
  C=C,
  n=20,
  m=5
)

D <- axp.diskrit(
  i=i,
  age=age,
  B=B,
  C=C,
  w=w,
  n=10
)

# SUMMARY

hasil <- data.frame(
  Jenis = c(
    "Anuitas Jiwa Seumur Hidup",
    "Anuitas Jiwa Berjangka 20 Tahun",
    "Anuitas Jiwa 20 Tahun Tertunda 5 Tahun",
    "Anuitas Jiwa Awal dan Pasti 10 Tahun"
  ),
  Awal = c(
    A["Awal"],
    Bhasil["Awal"],
    Chasil["Awal"],
    D["Awal"]
  ),
  Akhir = c(
    A["Akhir"],
    Bhasil["Akhir"],
    Chasil["Akhir"],
    D["Akhir"]
  )
)

print(hasil)

##                                    Jenis     Awal     Akhir
## 1              Anuitas Jiwa Seumur Hidup 19.85393 18.890444
## 2        Anuitas Jiwa Berjangka 20 Tahun 13.06056 12.434788
## 3 Anuitas Jiwa 20 Tahun Tertunda 5 Tahun 10.72979  9.723377
## 4   Anuitas Jiwa Awal dan Pasti 10 Tahun 20.50321 18.897571