Introducción

El presente ejercicio analiza el comportamiento dinámico de una deuda empresarial utilizando dinámica de sistemas y ecuaciones diferenciales de sistemas (EDS).

La deuda cambia en el tiempo debido a:

  • intereses financieros,
  • pagos realizados,
  • penalizaciones por mora.

El modelo será representado mediante:

  • diagramas causales,
  • diagramas de niveles y flujos,
  • representación matricial del sistema,
  • ecuación diferencial de segundo orden,
  • solución analítica,
  • simulación numérica con Euler,
  • simulación numérica con Runge-Kutta de 4.º orden (RK4).

Planteamiento del problema

Una empresa adquiere una deuda inicial de:

\[D_0 = 50\,000\]

La deuda evoluciona en el tiempo por tres fuerzas simultáneas:

  • Intereses: proporcionales al saldo actual, generan crecimiento continuo.
  • Mora: penalización adicional sobre la deuda acumulada.
  • Pagos periódicos: cuotas fijas que reducen el saldo.

Además, la empresa enfrenta cargos financieros fijos de $500 mensuales (comisiones, seguros y gastos administrativos asociados al crédito), que alimentan la deuda independientemente del saldo.

Se estudia el comportamiento durante 24 meses.

Variables del sistema

Variable Descripción
\(D(t)\) Deuda acumulada en el tiempo \(t\)
\(r\) Tasa de interés mensual
\(m\) Factor de mora
\(p\) Pagos periódicos
\(\frac{dD}{dt}\) Velocidad de cambio de la deuda
\(\frac{d^2D}{dt^2}\) Aceleración financiera

Diagrama causal

El diagrama causal muestra las relaciones de retroalimentación entre variables. Los signos + indican relaciones directas y el signo − indica relación inversa.

Se identifican dos bucles:

  • Bucle de refuerzo (R): Deuda → Intereses → Mora → Deuda. Genera crecimiento acelerado.
  • Bucle de balance (B): Deuda → Pagos → Deuda. Actúa como regulador.

Bucle R (refuerzo): Deuda ⟶ Intereses ⟶ Mora ⟶ Deuda   (retroalimentación positiva)

Bucle B (balance): Deuda ⟶ Pagos ⟶ Deuda   (retroalimentación negativa)

Diagrama de niveles y flujos

El diagrama stock-and-flow emplea la simbología estándar de dinámica de sistemas: rectángulo con barras dobles (stock), rombos (válvulas de flujo) y nubes (fuentes/sumideros externos). Las flechas gruesas son flujos físicos; las punteadas son flujos de información.

Modelo matemático

Construcción de la ecuación

La variación de la deuda responde a tres fuerzas simultáneas:

\[\frac{dD}{dt} = \underbrace{r \cdot D(t)}_{\text{intereses}} + \underbrace{m \cdot D(t)}_{\text{mora}} - \underbrace{p}_{\text{pagos}} + \underbrace{500}_{\text{cargos fijos}}\]

Derivando e incorporando la dinámica de la velocidad de pago se obtiene la ecuación de segundo orden:

\[\frac{d^2D}{dt^2} + 0.7\frac{dD}{dt} + 0.06\,D = 500\]

Donde:

  • \(0.7\) coeficiente de amortiguación: representa la capacidad de pago que frena el crecimiento.
  • \(0.06\) fuerza de amortización neta sobre el saldo (pagos superan a intereses + mora).
  • \(500\) cargos financieros fijos mensuales, independientes del saldo. Este término es el que sostiene la deuda residual de largo plazo.

Representación matricial del sistema

Definiendo las variables de estado:

\[x_1 = D(t) \qquad x_2 = D'(t)\]

El sistema equivalente de primer orden es:

\[x_1' = x_2\] \[x_2' = 500 - 0.7\,x_2 - 0.06\,x_1\]

En forma matricial \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}\):

\[\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -0.06 & -0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 500 \end{pmatrix}\]

Los valores propios de \(A\) se obtienen de:

\[\det(A - \lambda I) = 0 \implies \lambda^2 + 0.7\lambda + 0.06 = 0\]

\[\lambda_1 = -0.1 \qquad \lambda_2 = -0.6\]

Ambos negativos → sistema asintóticamente estable.

Solución analítica

Ecuación característica

\[r^2 + 0.7r + 0.06 = 0 \implies r_1 = -0.1 \quad r_2 = -0.6\]

Solución particular

Con \(D'' = D' = 0\):

\[0.06\,D_p = 500 \implies D_p = \frac{500}{0.06} = 8\,333.33\]

Solución general

\[D(t) = C_1\,e^{-0.1t} + C_2\,e^{-0.6t} + 8\,333.33\]

Constantes de integración

Con \(D(0) = 50\,000\) y \(D'(0) = -500\):

\[C_1 + C_2 = 50\,000 - 8\,333.33 = 41\,666.67\] \[-0.1\,C_1 - 0.6\,C_2 = -500\]

Resolviendo el sistema:

\[C_2 = \frac{-500 + 0.1 \times 41\,666.67}{-0.5} = -7\,333.33 \qquad C_1 = 49\,000\]

\[\boxed{D(t) = 49\,000\,e^{-0.1t} - 7\,333.33\,e^{-0.6t} + 8\,333.33}\]

Solución analítica en R

Método de Euler

Se define el sistema de primer orden:

\[x_1' = x_2 \qquad x_2' = 500 - 0.7\,x_2 - 0.06\,x_1\]

La actualización de Euler es:

\[x_1^{n+1} = x_1^n + \Delta t \cdot x_2^n\] \[x_2^{n+1} = x_2^n + \Delta t \cdot \left(500 - 0.7\,x_2^n - 0.06\,x_1^n\right)\]

Simulación numérica con Euler

Método de Runge-Kutta de 4.º orden (RK4)

El método RK4 evalúa la pendiente en cuatro puntos por paso de tiempo y la promedia ponderadamente:

\[k_1 = \Delta t \cdot f(x^n) \qquad k_2 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + \tfrac{1}{2}k_1\right)\] \[k_3 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + \tfrac{1}{2}k_2\right) \qquad k_4 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + k_3\right)\]

\[x^{n+1} = x^n + \frac{1}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right)\]

El error local es proporcional a \(\Delta t^5\), notablemente menor que el de Euler (\(\Delta t^2\)).

Simulación numérica con Runge-Kutta (RK4)

Comparación de soluciones

Error respecto a la solución analítica

Resumen de errores respecto a la solución analítica
Método Error máximo (\()| Error promedio (\))
Euler 88.2084 64.6793
RK4 0.0033 0.0003

Tabla numérica RK4

Tabla RK4 - Deuda y velocidad por mes (Delta t = 1)
t (mes) D(t) Deuda ($) V(t) = dD/dt Delta D
0 50000.00 -500.00 -1358.56
1 48641.44 -2016.34 -2403.79
2 46237.65 -2683.68 -2820.31
3 43417.34 -2900.35 -2906.44
4 40510.91 -2883.70 -2824.62
5 37686.28 -2751.76 -2662.83
6 35023.45 -2568.18 -2468.22
7 32555.23 -2366.79 -2265.64
8 30289.60 -2165.19 -2067.78
9 28221.82 -1972.13 -1880.75
10 26341.07 -1791.59 -1707.13
11 24633.94 -1625.01 -1547.62
12 23086.32 -1472.53 -1401.96
13 21684.36 -1333.58 -1269.43
14 20414.93 -1207.32 -1149.12
15 19265.81 -1092.79 -1040.03
16 18225.77 -988.99 -941.21
17 17284.56 -894.98 -851.72
18 16432.84 -809.87 -770.72
19 15662.12 -732.84 -697.40
20 14964.73 -663.12 -631.04
21 14333.68 -600.02 -571.00
22 13762.69 -542.93 -516.67
23 13246.02 -491.26 -467.50
24 12778.52 -444.52 NA

Pendientes intermedias RK4

Pendientes intermedias RK4 por paso (Delta t = 1)
t (mes) k1 k2 k3 k4 l1 l2 l3 l4
0 -500.00 -1575.00 -1191.25 -2118.88 -2150.00 -1382.50 -1618.88 -945.31
1 -2016.34 -2519.87 -2313.39 -2739.86 -1007.05 -594.09 -723.52 -361.78
2 -2683.68 -2881.52 -2772.02 -2931.08 -395.68 -176.68 -247.40 -56.18
3 -2900.35 -2937.75 -2881.16 -2900.45 -74.79 38.40 -0.10 98.15
4 -2883.70 -2839.73 -2811.86 -2760.85 87.93 143.67 122.84 170.66
5 -2751.76 -2669.23 -2656.84 -2573.07 165.06 189.84 178.69 199.38
6 -2568.18 -2470.02 -2465.85 -2369.39 196.32 204.65 198.79 205.12
7 -2366.79 -2265.07 -2265.17 -2166.53 203.44 203.24 200.26 199.17
8 -2165.19 -2066.06 -2068.28 -1972.79 198.26 193.82 192.40 187.67
9 -1972.13 -1878.54 -1881.71 -1791.88 187.18 180.83 180.25 173.91
10 -1791.59 -1704.76 -1708.28 -1625.11 173.65 166.62 166.47 159.61
11 -1625.01 -1545.28 -1548.81 -1472.52 159.47 152.41 152.49 145.66
12 -1472.53 -1399.73 -1403.12 -1333.53 145.59 138.81 139.00 132.48
13 -1333.58 -1267.36 -1270.53 -1207.25 132.44 126.10 126.33 120.24
14 -1207.32 -1147.21 -1150.14 -1092.71 120.23 114.37 114.62 109.01
15 -1092.79 -1038.29 -1040.97 -988.91 109.00 103.64 103.88 98.75
16 -988.99 -939.62 -942.06 -894.90 98.75 93.86 94.09 89.41
17 -894.98 -850.28 -852.50 -809.80 89.42 84.97 85.18 80.94
18 -809.87 -769.40 -771.42 -732.77 80.94 76.91 77.11 73.25
19 -732.84 -696.21 -698.04 -663.05 73.26 69.60 69.78 66.29
20 -663.12 -629.97 -631.62 -599.97 66.30 62.99 63.15 59.99
21 -600.02 -570.03 -571.52 -542.88 59.99 57.00 57.15 54.28
22 -542.93 -515.78 -517.14 -491.22 54.29 51.58 51.71 49.12
23 -491.26 -466.70 -467.93 -444.47 49.12 46.67 46.79 44.45

Resultados

Los resultados del modelo muestran que:

  • la deuda disminuye progresivamente desde $50,000 hacia el estado estacionario de $8,333, valor sostenido por los cargos fijos de $500 mensuales,
  • los valores propios \(\lambda_1 = -0.1\) y \(\lambda_2 = -0.6\) garantizan estabilidad asintótica,
  • el error de Euler es apreciable (decenas de dólares), mientras que el error de RK4 es prácticamente nulo con el mismo \(\Delta t = 0.1\).

Conclusiones

Sobre el modelo EDS

El enfoque de Ecuaciones Diferenciales de Sistemas (EDS) permite representar fenómenos financieros complejos de forma estructurada. El término 500 de la ecuación representa los cargos financieros fijos mensuales; su efecto directo es fijar la deuda residual de largo plazo en \(D_p = 500/0.06 = \$8{,}333\). Sin esos cargos la deuda convergería a cero.

La reformulación matricial \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}\) permite analizar la estabilidad a través de los valores propios de \(A\), facilita la implementación computacional y generaliza el modelo a sistemas de mayor dimensión.

Sobre el diagrama causal y el aprendizaje de EDS

El diagrama causal permite visualizar las relaciones de causa-efecto antes de plantear la ecuación diferencial e identificar los bucles de retroalimentación que determinan el comportamiento cualitativo. El bucle de refuerzo (Deuda → Intereses → Mora → Deuda) representa el riesgo de espiral de endeudamiento; el bucle de balance (Deuda → Pagos → Deuda) representa la capacidad reguladora del sistema.

Sobre los métodos numéricos

El método de Euler acumula error de forma creciente al usar una sola estimación de pendiente por paso. El método de Runge-Kutta de 4.º orden (RK4) reduce ese error a valores despreciables al promediar cuatro estimaciones ponderadas, con error local proporcional a \(\Delta t^5\) frente a \(\Delta t^2\) de Euler.

Documento elaborado por Liz Johana Ramírez y José Manuel Sánchez L.
Docente: Alexander Arias Londoño — Semillero MMCC - Instituto tecnológico metropolitano