2026-05-29
Esta presentación desarrolla un análisis MANOVA aplicado a la base de datos Fish.csv, integrando tres niveles de trabajo:
El análisis considera la variable Species como factor experimental y las variables Weight, Height y Width como respuestas multivariadas.
En un diseño de experimentos clásico, un investigador compara tratamientos para determinar si producen diferencias sobre una variable respuesta. Sin embargo, en muchos estudios reales no se mide una sola respuesta, sino varias características relacionadas entre sí.
En esta base de datos, cada especie de pez puede entenderse como un grupo o tratamiento. El interés estadístico consiste en determinar si las especies presentan diferencias conjuntas en sus características morfológicas.
El factor experimental es:
\[ Species \]
Las variables respuesta son:
\[ Y_1 = Weight \]
\[ Y_2 = Height \]
\[ Y_3 = Width \]
El MANOVA se utiliza cuando se desea evaluar simultáneamente el efecto de un factor sobre dos o más variables dependientes continuas.
En este caso, no se busca estudiar únicamente si las especies difieren en peso, altura o ancho por separado. El objetivo es evaluar si existe una diferencia global en el vector morfológico compuesto por:
\[ \mathbf{Y}= \begin{pmatrix} Weight \\ Height \\ Width \end{pmatrix} \]
La ventaja del MANOVA es que incorpora la relación estadística entre las variables respuesta y reduce el riesgo de aumentar el error tipo I al realizar múltiples ANOVA independientes.
El modelo MANOVA para un diseño completamente aleatorizado con un factor se expresa como:
\[ \mathbf{Y}_{ij}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\tau}_i+\boldsymbol{\varepsilon}_{ij} \]
Donde:
Para cada pez observado en la base de datos, el vector de respuestas es:
\[ \mathbf{Y}_{ij}= \begin{pmatrix} Weight_{ij} \\ Height_{ij} \\ Width_{ij} \end{pmatrix} \]
En este análisis:
\[ i=1,2,\ldots,7 \]
porque existen siete especies de peces.
Además:
\[ p=3 \]
porque se analizan tres variables respuesta.
La hipótesis nula plantea que todas las especies tienen el mismo vector promedio de respuestas:
\[ H_0:\boldsymbol{\mu}_{Bream}=\boldsymbol{\mu}_{Roach}=\boldsymbol{\mu}_{Whitefish}=\boldsymbol{\mu}_{Parkki}=\boldsymbol{\mu}_{Perch}=\boldsymbol{\mu}_{Pike}=\boldsymbol{\mu}_{Smelt} \]
La hipótesis alternativa plantea que al menos una especie presenta un vector promedio diferente:
\[ H_1: \exists\ i,j \quad \boldsymbol{\mu}_i \neq \boldsymbol{\mu}_j \]
La decisión estadística se toma con base en pruebas multivariadas como Wilks, Pillai, Hotelling-Lawley y Roy.
La matriz de error, también llamada matriz dentro de grupos, se define como:
\[ \mathbf{E}=\sum_{i=1}^{g}\sum_{j=1}^{n_i} (\mathbf{Y}_{ij}-\bar{\mathbf{Y}}_i) (\mathbf{Y}_{ij}-\bar{\mathbf{Y}}_i)' \]
Esta matriz mide la variabilidad de los peces alrededor del centroide de su propia especie.
Si esta variabilidad es muy alta, será más difícil detectar diferencias entre especies.
La matriz asociada al efecto del tratamiento se define como:
\[ \mathbf{H}=\sum_{i=1}^{g} n_i (\bar{\mathbf{Y}}_i-\bar{\mathbf{Y}}) (\bar{\mathbf{Y}}_i-\bar{\mathbf{Y}})' \]
Esta matriz mide cuánto se alejan los centroides de cada especie del centroide general.
Si esta variabilidad es alta en comparación con la variabilidad interna, se espera que el MANOVA sea estadísticamente significativo.
En MANOVA, la variabilidad total se descompone como:
\[ \mathbf{T}=\mathbf{H}+\mathbf{E} \]
Donde:
Species.Esta descomposición es la extensión matricial de la descomposición de suma de cuadrados usada en ANOVA.
La prueba Lambda de Wilks se calcula mediante:
\[ \Lambda = \frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{E}+\mathbf{H}|} \]
Interpretación:
Por tanto, valores pequeños de \(\Lambda\) proporcionan evidencia contra \(H_0\).
Además de Wilks, RStudio reporta otros criterios de prueba:
\[ V = tr \left[ \mathbf{H}(\mathbf{H}+\mathbf{E})^{-1} \right] \]
Este corresponde a la traza de Pillai.
\[ T = tr(\mathbf{E}^{-1}\mathbf{H}) \]
Este corresponde al criterio de Hotelling-Lawley.
\[ \theta = \lambda_{max}(\mathbf{E}^{-1}\mathbf{H}) \]
Este corresponde a la raíz máxima de Roy.
Para aplicar MANOVA de forma adecuada, se deben revisar los siguientes supuestos:
# Paquetes base usados en el análisis # Si algún paquete no está instalado, se debe instalar previamente con install.packages() library(stats) library(graphics) library(knitr)
# Cargar la base Fish.csv
# El archivo debe estar en la misma carpeta del RMarkdown.
if (file.exists("Fish.csv")) {
Fish <- read.csv("Fish.csv")
} else {
Fish <- read.csv(file.choose())
}
# Convertir Species en factor
Fish$Species <- as.factor(Fish$Species)
# Estructura de la base
str(Fish)
## 'data.frame': 159 obs. of 7 variables: ## $ Species: Factor w/ 7 levels "Bream","Parkki",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ## $ Weight : num 242 290 340 363 430 450 500 390 450 500 ... ## $ Length1: num 23.2 24 23.9 26.3 26.5 26.8 26.8 27.6 27.6 28.5 ... ## $ Length2: num 25.4 26.3 26.5 29 29 29.7 29.7 30 30 30.7 ... ## $ Length3: num 30 31.2 31.1 33.5 34 34.7 34.5 35 35.1 36.2 ... ## $ Height : num 11.5 12.5 12.4 12.7 12.4 ... ## $ Width : num 4.02 4.31 4.7 4.46 5.13 ...
# Primeras observaciones head(Fish)
## Species Weight Length1 Length2 Length3 Height Width ## 1 Bream 242 23.2 25.4 30.0 11.5200 4.0200 ## 2 Bream 290 24.0 26.3 31.2 12.4800 4.3056 ## 3 Bream 340 23.9 26.5 31.1 12.3778 4.6961 ## 4 Bream 363 26.3 29.0 33.5 12.7300 4.4555 ## 5 Bream 430 26.5 29.0 34.0 12.4440 5.1340 ## 6 Bream 450 26.8 29.7 34.7 13.6024 4.9274
# Dimensión de la base dim(Fish)
## [1] 159 7
# Conteo por especie table(Fish$Species)
## ## Bream Parkki Perch Pike Roach Smelt Whitefish ## 35 11 56 17 20 14 6
La base contiene 159 observaciones y 7 variables. Para el MANOVA se utilizarán las variables Weight, Height y Width como respuestas, mientras que Species se utilizará como factor de clasificación.
Y <- Fish[, c("Weight", "Height", "Width")]
Grupo <- Fish$Species
# Verificar valores faltantes
colSums(is.na(Y))
## Weight Height Width ## 0 0 0
Si no existen valores faltantes en las variables seleccionadas, se puede continuar con el análisis MANOVA sin imputación previa.
medias_especie <- aggregate( cbind(Weight, Height, Width) ~ Species, data = Fish, FUN = mean ) kable(medias_especie, digits = 4)
| Species | Weight | Height | Width |
|---|---|---|---|
| Bream | 617.8286 | 15.1832 | 5.4276 |
| Parkki | 154.8182 | 8.9624 | 3.2207 |
| Perch | 382.2393 | 7.8619 | 4.7457 |
| Pike | 718.7059 | 7.7138 | 5.0864 |
| Roach | 152.0500 | 6.6948 | 3.6578 |
| Smelt | 11.1786 | 2.2094 | 1.3401 |
| Whitefish | 531.0000 | 10.0272 | 5.4731 |
Estas medias representan los centroides multivariados de cada especie. En MANOVA no se compara una sola media, sino el vector completo de medias de cada especie.
tamanos <- as.data.frame(table(Fish$Species))
colnames(tamanos) <- c("Species", "n")
kable(tamanos)
| Species | n |
|---|---|
| Bream | 35 |
| Parkki | 11 |
| Perch | 56 |
| Pike | 17 |
| Roach | 20 |
| Smelt | 14 |
| Whitefish | 6 |
Los tamaños muestrales no son iguales entre especies, por lo cual resulta importante revisar los supuestos de homogeneidad de covarianzas y la estabilidad de los resultados multivariados.
media_general <- colMeans(Y) media_general
## Weight Height Width ## 398.326415 8.970994 4.417486
La media general representa el centroide global de la nube de puntos multivariada.
Matemáticamente:
\[ \bar{\mathbf{Y}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{g}\sum_{j=1}^{n_i}\mathbf{Y}_{ij} \]
# Matriz de error dentro de grupos
E <- matrix(0, nrow = 3, ncol = 3)
colnames(E) <- rownames(E) <- c("Weight", "Height", "Width")
for (sp in levels(Grupo)) {
Yi <- as.matrix(Y[Grupo == sp, ])
mi <- colMeans(Yi)
D <- sweep(Yi, 2, mi, FUN = "-")
E <- E + t(D) %*% D
}
E
## Weight Height Width ## Weight 12732411.24 85002.0376 48953.4702 ## Height 85002.04 705.8532 387.5573 ## Width 48953.47 387.5573 233.1081
La matriz \(\mathbf{E}\) resume la variabilidad interna de las especies.
Con esta base de datos y las variables seleccionadas, se obtiene aproximadamente:
\[ \mathbf{E}= \begin{pmatrix} 12732411.20 & 85002.04 & 48953.47 \\ 85002.04 & 705.85 & 387.56 \\ 48953.47 & 387.56 & 233.11 \end{pmatrix} \]
Esta matriz muestra que existe alta variabilidad interna en el peso, lo cual es esperado porque las especies presentan pesos muy diferentes y también variación dentro de cada especie.
# Matriz de hipótesis entre grupos
H <- matrix(0, nrow = 3, ncol = 3)
colnames(H) <- rownames(H) <- c("Weight", "Height", "Width")
grand_mean <- colMeans(Y)
for (sp in levels(Grupo)) {
Yi <- as.matrix(Y[Grupo == sp, ])
ni <- nrow(Yi)
mi <- colMeans(Yi)
d <- matrix(mi - grand_mean, ncol = 1)
H <- H + ni * (d %*% t(d))
}
H
## Weight Height Width ## Weight 7515047.82 90601.2637 35574.9652 ## Height 90601.26 2196.8558 517.6444 ## Width 35574.97 517.6444 215.9176
La matriz \(\mathbf{H}\) resume la variabilidad explicada por las diferencias entre especies.
Con esta base de datos y las variables seleccionadas, se obtiene aproximadamente:
\[ \mathbf{H}= \begin{pmatrix} 7515047.82 & 90601.26 & 35574.97 \\ 90601.26 & 2196.86 & 517.64 \\ 35574.97 & 517.64 & 215.92 \end{pmatrix} \]
Esta matriz indica que la especie explica una parte considerable de la variabilidad multivariada de las características morfológicas.
det_E <- det(E) det_EH <- det(E + H) Wilks_manual <- det_E / det_EH det_E
## [1] 32116492648
det_EH
## [1] 2.08605e+12
Wilks_manual
## [1] 0.01539584
Matemáticamente:
\[ \Lambda = \frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{E}+\mathbf{H}|} \]
Con la base analizada:
\[ |\mathbf{E}| \approx 32116492647.62 \]
\[ |\mathbf{E}+\mathbf{H}| \approx 2086049815307.54 \]
\[ \Lambda \approx 0.0154 \]
El valor obtenido es:
\[ \Lambda \approx 0.0154 \]
Este valor es muy cercano a cero. Por tanto, la variabilidad entre especies es grande en comparación con la variabilidad residual dentro de especies.
Desde el punto de vista estadístico, este resultado proporciona evidencia fuerte contra la hipótesis nula de igualdad de vectores medios.
modelo_manova <- manova( cbind(Weight, Height, Width) ~ Species, data = Fish ) summary(modelo_manova, test = "Wilks")
## Df Wilks approx F num Df den Df Pr(>F) ## Species 6 0.015396 79.61 18 424.75 < 2.2e-16 *** ## Residuals 152 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
La salida de Wilks permite evaluar formalmente si la variable Species tiene un efecto estadísticamente significativo sobre el conjunto de respuestas.
Para el efecto de Species, el resultado esperado es aproximadamente:
\[ \Lambda = 0.0154 \]
con valor p menor que 0.05.
Por tanto, se rechaza la hipótesis nula:
\[ H_0: \boldsymbol{\mu}_1=\boldsymbol{\mu}_2=\cdots=\boldsymbol{\mu}_7 \]
La conclusión es que existen diferencias multivariadas significativas entre especies de peces en peso, altura y ancho.
summary(modelo_manova, test = "Pillai")
## Df Pillai approx F num Df den Df Pr(>F) ## Species 6 1.8059 38.311 18 456 < 2.2e-16 *** ## Residuals 152 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
La traza de Pillai es considerada una de las pruebas más robustas cuando existen posibles desviaciones de algunos supuestos.
Si el valor p es menor que 0.05, se confirma que el factor Species tiene un efecto multivariado significativo.
summary(modelo_manova, test = "Hotelling-Lawley")
## Df Hotelling-Lawley approx F num Df den Df Pr(>F) ## Species 6 21.046 173.83 18 446 < 2.2e-16 *** ## Residuals 152 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
El criterio de Hotelling-Lawley evalúa la magnitud acumulada de las raíces características asociadas a \(\mathbf{E}^{-1}\mathbf{H}\).
Un valor p menor que 0.05 indica diferencias multivariadas significativas entre especies.
summary(modelo_manova, test = "Roy")
## Df Roy approx F num Df den Df Pr(>F) ## Species 6 19.4 491.48 6 152 < 2.2e-16 *** ## Residuals 152 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
La raíz máxima de Roy se concentra en la dimensión discriminante más fuerte. Es útil cuando la separación entre grupos ocurre principalmente en una sola combinación lineal de las variables respuesta.
Después de obtener un MANOVA significativo, se pueden revisar los ANOVA individuales:
summary.aov(modelo_manova)
## Response Weight : ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## Species 6 7515048 1252508 14.953 2.113e-13 *** ## Residuals 152 12732411 83766 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Response Height : ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## Species 6 2196.86 366.14 78.846 < 2.2e-16 *** ## Residuals 152 705.85 4.64 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Response Width : ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## Species 6 215.92 35.986 23.465 < 2.2e-16 *** ## Residuals 152 233.11 1.534 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Estos ANOVA permiten identificar en cuáles variables específicas se presentan diferencias entre especies.
Sin embargo, se deben interpretar como análisis posteriores, porque la conclusión principal proviene primero del resultado multivariado.
par(mfrow = c(1, 3))
boxplot(Weight ~ Species, data = Fish,
main = "Peso por especie",
xlab = "Especie", ylab = "Weight",
las = 2)
boxplot(Height ~ Species, data = Fish,
main = "Altura por especie",
xlab = "Especie", ylab = "Height",
las = 2)
boxplot(Width ~ Species, data = Fish,
main = "Ancho por especie",
xlab = "Especie", ylab = "Width",
las = 2)
par(mfrow = c(1, 1))
Los diagramas de caja permiten observar diferencias visuales entre especies para cada variable morfológica.
cor(Y)
## Weight Height Width ## Weight 1.0000000 0.7243453 0.8865066 ## Height 0.7243453 1.0000000 0.7928810 ## Width 0.8865066 0.7928810 1.0000000
En MANOVA es importante que las variables respuesta tengan relación estadística, pero no una correlación perfecta.
Si las variables no tienen relación alguna, el beneficio del MANOVA disminuye. Si están perfectamente correlacionadas, existe redundancia excesiva.
pairs( Y, col = as.numeric(Fish$Species), pch = 19, main = "Relaciones bivariadas entre variables morfológicas" ) legend( "topleft", legend = levels(Fish$Species), col = 1:length(levels(Fish$Species)), pch = 19, cex = 0.7 )
Este gráfico permite observar si las especies se separan visualmente en el espacio formado por peso, altura y ancho.
La homogeneidad de matrices de covarianzas puede evaluarse con la prueba Box-M.
# Instalar solo si es necesario
# install.packages("heplots")
library(heplots)
boxM(
Fish[, c("Weight", "Height", "Width")],
Fish$Species
)
La hipótesis nula de Box-M es:
\[ H_0: \boldsymbol{\Sigma}_1=\boldsymbol{\Sigma}_2=\cdots=\boldsymbol{\Sigma}_7 \]
Si el valor p es menor que 0.05, se evidencia que las matrices de covarianzas no son iguales entre especies.
Una forma exploratoria de evaluar normalidad multivariada consiste en calcular distancias de Mahalanobis y compararlas con cuantiles de una distribución chi-cuadrado.
centro <- colMeans(Y)
S <- cov(Y)
D2 <- mahalanobis(Y, center = centro, cov = S)
q_teorico <- qchisq(ppoints(length(D2)), df = ncol(Y))
D2_ordenado <- sort(D2)
plot(q_teorico, D2_ordenado,
main = "QQ Plot multivariado con distancia de Mahalanobis",
xlab = "Cuantiles teóricos Chi-cuadrado",
ylab = "Distancias de Mahalanobis ordenadas",
pch = 19)
abline(0, 1, lwd = 2)
Si los puntos siguen aproximadamente la línea recta, existe evidencia gráfica razonable de normalidad multivariada.
limite <- qchisq(0.975, df = ncol(Y)) Fish$D2_Mahalanobis <- D2 Fish$Outlier_Multivariado <- ifelse(D2 > limite, "Posible atípico", "No atípico") table(Fish$Outlier_Multivariado)
## ## No atípico Posible atípico ## 155 4
Fish[Fish$Outlier_Multivariado == "Posible atípico", ]
## Species Weight Length1 Length2 Length3 Height Width D2_Mahalanobis ## 142 Pike 1250 52 56.0 59.7 10.6863 6.9849 9.510002 ## 143 Pike 1600 56 60.0 64.0 9.6000 6.1440 31.305441 ## 144 Pike 1550 56 60.0 64.0 9.6000 6.1440 28.132924 ## 145 Pike 1650 59 63.4 68.0 10.8120 7.4800 23.813385 ## Outlier_Multivariado ## 142 Posible atípico ## 143 Posible atípico ## 144 Posible atípico ## 145 Posible atípico
Un valor atípico multivariado no necesariamente es un error. En este contexto, puede representar un pez morfológicamente extremo frente al patrón general de la base.
El resultado del MANOVA indica que la especie tiene un efecto estadísticamente significativo sobre el vector formado por peso, altura y ancho.
Esto significa que las especies no solo difieren en una característica aislada, sino en su perfil morfológico conjunto.
La evidencia principal se resume en un valor de Lambda de Wilks cercano a cero y un valor p menor que el nivel de significancia usual de 0.05.
Desde el diseño experimental, Species actúa como un factor con siete niveles. Cada nivel representa un grupo de comparación.
La prueba MANOVA permite concluir que el factor tiene un efecto global sobre las respuestas morfológicas. Por tanto, el diseño evidencia diferencias entre tratamientos cuando las respuestas se analizan simultáneamente.
Este enfoque es más completo que realizar únicamente ANOVA separados, porque considera la estructura conjunta de las variables y su matriz de covarianzas.
El análisis MANOVA aplicado a la base Fish.csv permite concluir que existen diferencias multivariadas significativas entre especies de peces en términos de peso, altura y ancho.
Matemáticamente, esta conclusión se sustenta en la comparación entre la matriz de variabilidad entre especies \(\mathbf{H}\) y la matriz de variabilidad dentro de especies \(\mathbf{E}\).
Estadísticamente, el valor de Lambda de Wilks cercano a cero indica que la variabilidad explicada por la especie es considerable frente a la variabilidad residual.
Finalmente, desde RStudio, el procedimiento se implementa con la función manova(), y se complementa con pruebas posteriores, gráficos exploratorios y revisión de supuestos.
Fish <- read.csv("Fish.csv")
Fish$Species <- as.factor(Fish$Species)
modelo_manova <- manova(
cbind(Weight, Height, Width) ~ Species,
data = Fish
)
summary(modelo_manova, test = "Wilks")
summary(modelo_manova, test = "Pillai")
summary(modelo_manova, test = "Hotelling-Lawley")
summary(modelo_manova, test = "Roy")
summary.aov(modelo_manova)
Después del MANOVA, se recomienda continuar con:
Estas extensiones permiten comprender no solo si existen diferencias, sino también qué variables explican mejor la separación entre especies.