計量経済I：復習テスト8

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 1～8 を順に重ねて左上でホチキス止めし，中間テスト実施日（6月9日の予定）に提出すること．

1. 2 変量データを ((y_1,x_1),\dots,(y_n,x_n)) とする．y_i の x_i 上への定数項なしの古典的正規線形回帰モデルは \{y_i\}|\{x_i\} \sim \mathrm{IN}\left(\beta x_i,\sigma^2\right) \sigma^2 を既知として次の両側検定問題を考える． H_0:\beta=c \quad \text{vs} \quad H_1:\beta \ne c

1. \beta の OLS 推定量を b とすると b=\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \{x_i\} を所与として b の（条件付き）分布を求めなさい．

2. H_0 の下で \mathrm{N}(0,1) にしたがう検定統計量を与えなさい．

3. H_0 の下で \chi^2(1) にしたがう検定統計量を与えなさい．

解答例

1. 期待値の線形性と (y_1,x_1),\dots,(y_n,x_n) の独立性より \begin{align*} \operatorname{E}(b|x_1,\dots,x_n) & =\operatorname{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2}|x_1,\dots,x_n\right) \\ & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i\operatorname{E}(y_i|x_1,\dots,x_n)}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i\operatorname{E}(y_i|x_i)}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i\beta x_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\frac{\beta\sum_{i=1}^nx_i^2}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\beta \end{align*} 線形変換の分散の公式と (y_1,x_1),\dots,(y_n,x_n) の独立性より \begin{align*} \operatorname{var}(b|x_1,\dots,x_n) & =\operatorname{var}\left( \frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} |x_1,\dots,x_n\right) \\ & =\frac{\operatorname{var}(\sum_{i=1}^nx_iy_i|x_1,\dots,x_n)}{(\sum_{i=1}^nx_i^2)^2} \\ & =\frac{\sum_{i=1}^n\operatorname{var}(x_iy_i|x_1,\dots,x_n)}{(\sum_{i=1}^nx_i^2)^2} \\ & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2\operatorname{var}(y_i|x_1,\dots,x_n)}{(\sum_{i=1}^nx_i^2)^2} \\ & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2\operatorname{var}(y_i|x_i)}{(\sum_{i=1}^nx_i^2)^2} \\ & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2\sigma^2}{\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^2} \\ & =\frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \end{align*} \{x_i\} を所与として \{y_i\} は正規分布だから，\{y_i\} の線形変換である b も正規分布．したがって b|\{x_i\} \sim \mathrm{N}\left(\beta,\frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^nx_i^2}\right)

2. 前問の結果を標準化すると \frac{b-\beta}{\sqrt{\sigma^2/\sum_{i=1}^nx_i^2}}|\{x_i\} \sim \mathrm{N}(0,1) \mathrm{N}(0,1) は \{x_i\} に依存しないので \frac{b-\beta}{\sqrt{\sigma^2/\sum_{i=1}^nx_i^2}} \sim \mathrm{N}(0,1) H_0:\beta=c を代入すると，検定統計量は Z:=\frac{b-c}{\sqrt{\sigma^2/\sum_{i=1}^nx_i^2}}

3. Z \sim \mathrm{N}(0,1) なら Z^2 \sim \chi^2(1) なので，検定統計量は \begin{align*} Z^2 & =\frac{(b-c)^2}{\sigma^2/\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\frac{(b-c)^2\sum_{i=1}^nx_i^2}{\sigma^2} \end{align*}

2. 前問と同じ回帰モデルを仮定し，\sigma^2 を未知として片側検定問題を考える．

1. \sigma^2 の不偏推定量 s^2 を定義しなさい．

2. s^2 の分布を与えなさい．

3. 検定統計量を与えなさい．

4. 検定統計量の H_0 の下での分布を与えなさい．

解答例

s^2:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(y_i-bx_i)^2

\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)

3. 未知の \sigma^2 を推定量 s^2 に置き換えると，検定統計量は t:=\frac{b-c}{\sqrt{s^2/\sum_{i=1}^nx_i^2}}

4. t 分布の定義より t \sim \mathrm{t}(n-1)

3. 前問と同じ回帰モデルを仮定し，\sigma^2 を未知として両側検定問題を考える．

1. 前問とは別の検定統計量を与えなさい．

2. 検定統計量の H_0 の下での分布を与えなさい．

解答例

1. 両側検定なら t^2 を検定統計量としてもよい．すなわち別の検定統計量は \begin{align*} t^2 & =\frac{(b-c)^2}{s^2/\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\frac{(b-c)^2\sum_{i=1}^nx_i^2}{s^2} \end{align*}

2. t \sim \mathrm{t}(\nu) なら t^2 \sim \mathrm{F}(1,\nu) なので t^2 \sim \mathrm{F}(1,n-1)