| Símbolo | Significado |
|---|---|
| λ | Tasa de llegada de clientes |
| μ | Tasa de servicio por servidor |
| ρ | Intensidad de tráfico (λ/μ) |
| c | Número de servidores activos |
| Pₙ | Probabilidad de estado estacionario (n clientes) |
| P₀ | Probabilidad de sistema vacío |
| Lₛ | Promedio de clientes en el sistema |
| Lq | Promedio de clientes en la cola |
| Wₛ | Tiempo promedio en el sistema |
| Wq | Tiempo promedio en la cola |
| K | Población finita de máquinas |
| R | Número de técnicos disponibles |
| α | Parámetro de inhibición (α > 0) |
Formulación Analítica de Variantes de Teoría de Colas y Procesos de Nacimiento y Muerte
Trabajo final Modelos Estocasticos
Profesor: Ader Luis Villar
Introducción
El presente documento expone la resolución analítica del trabajo final de Modelos Estocásticos. El objetivo principal es aplicar las ecuaciones generales de los modelos de colas de Poisson (procesos de nacimiento y muerte) para deducir el comportamiento en estado estacionario de cuatro sistemas de líneas de espera con características no estándar.
Problema 1 A partir de las ecuaciones generales para modelos de colas de Poisson, construir el modelo \(M/M/R/K/K\) de servicio de mantenimiento de máquinas, con \(K\) máquinas y \(R\) técnicos, siendo \(R < K\).
Problema 2 A partir de las ecuaciones generales para modelos de colas de Poisson, construir el modelo \(M/M/\infty/\infty/\infty\) de autoservicio.
Problema 3 A partir de las ecuaciones generales para modelos de colas de Poisson, construir el modelo \(M/M/3/\infty/\infty\) de varios servidores con activación de servidores según el número de clientes en el sistema. Suponga que si hay 4 o menos clientes, se mantiene una caja activa, si hay entre 5 y 8 clientes se habilita una segunda caja; y si hay más de 8 clientes se habilitan las 3 cajas.
Problema 4 A partir de las ecuaciones generales para modelos de colas de Poisson, construir el modelo \(M/M/1/N/\infty\); donde la tasa de entrada al sistema se modela según \(\lambda_n = \lambda_0 e^{-\alpha n}\), siendo \(\alpha\) un parámetro positivo y \(\lambda_0\) la tasa de ingreso al sistema cuando está vacío.
Notación y Definiciones
Para el desarrollo del presente documento, se ha adoptado la siguiente notación estándar para los parámetros y variables del sistema:
Problema 1: Construcción del modelo de máquinas \((M/M/R/K/K)\)
Descripción
El modelo \(M/M/R/K/K\) formaliza el problema clásico de interferencia de máquinas: un conjunto cerrado de \(K\) máquinas comparte un taller de mantenimiento dotado de \(R\) técnicos \((R < K)\). La población es estrictamente finita, el inventario total de máquinas es invariante: si \(n\) unidades se encuentran en reparación o en espera de ella, exactamente \(K − n\) permanecen en operación.
NotaCaracterística principal
Las principales características del modelo son:
Población Finita (\(K\)): El inventario total de máquinas es estático y cerrado.Por conservación de masa, el número de máquinas operativas es estrictamente \(K-n\).
Proceso de Llegadas (Averías): Se asume que el tiempo de vida útil (tiempo hasta el fallo) de cada máquina operativa es una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida que sigue una distribución exponencial con parámetro \(\lambda\).
Proceso de Servicio (Reparaciones): El sistema cuenta con \(R\) técnicos de mantenimiento operando en paralelo. Los tiempos de reparación son variables aleatorias exponenciales con parámetro \(\mu\).
Notación del modelo
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| M | Llegadas Poisson |
| M | Tiempos de reparación exponenciales |
| R | Número de técnicos disponibles |
| K | Número finito de máquinas |
| K | Número finito de solicitudes de servicio |
Construcción del Modelo
Supongamos que tenemos K máquinas y estas n descompuestas en el sistema, entonces
\(n=0,1,2,\cdot\cdot\cdot,K\).
Luego, el número de máquinas funcionando son \(K-n\).
Si \(\lambda\) es la tasa de descomposturas por máquina, entonces la tasa de descomposturas asociadas de todo el taller es:
\[\lambda_{n}=(K-n)\lambda, \quad 0\le n\le K\]
NotaRazón:
Si \(n\) máquinas están averiadas, \(K−n\) están operativas; cada una falla con tasa \(λ\); se asume independencia
Consideremos que en el taller hay \(R\) técnicos para mantenimiento y que \(\mu\) es la razón a la que un técnico reparará una máquina por unidad de tiempo, de donde la tasa de reparación será:
\[\mu_{n}=\begin{cases}n\mu,& 0\le n\le R \text{(técnicos suficientes)}\\ R\mu,& R< n\le K \text{(técnicos saturados)}\end{cases}\]
NotaRazón:
Si \(n≤R\), cada avería tiene su técnico; tasa \(nμ\). Si \(n>R\), los \(R\) técnicos trabajan al máximo, tasa constante \(Rμ\).
\[\text{Cantidad Total de entrada} = \text{Cantidad total de salida}\]
Como todas las descomposturas y servicios siguen una distribución de Poisson, la fórmula general del modelo de colas será:
\[P_{n}=\frac{\lambda_{0}\lambda_{1}\cdot\cdot\cdot\lambda_{n-1}}{\mu_{1}*\mu_{2}...\mu_{n}} P_{o}\]
Probabilidades de estado
Desarrollo para \(1\le n\le R\)
Aquí \(n≤R\), es decir, el número de máquinas averiadas no supera al número de técnicos. Por tanto, todas las máquinas averiadas están siendo reparadas simultáneamente.
Tasa de salida del estado \(n−1\) al \(n\):
\[P_{n}=\left(\frac{K\lambda\cdot(K-1)\lambda\cdot(K-2)\lambda\cdot(K-3)\lambda\cdot\cdot\cdot(K-(n-1))\lambda}{\mu\cdot2\mu\cdot3\mu\cdot4\mu\cdot\cdot\cdot\cdot(n-1)\mu\cdot n\mu}\right)P_{o}\]
Separar potencias de \(λ\) y \(μ\) \[=\left(\frac{K(K-1)(K-2)\cdot\cdot\cdot(K-n+1)\lambda^{n}}{1\cdot2\cdot3\cdot\cdot\cdot(n-1)\cdot n~\mu^{n}}\right)P_{o}\]
Se sustituye \(1⋅2⋅3⋯n=n!\)
\[=\left(\frac{K(K-1)(K-2)*\cdot\cdot(K-n+1)\cdot\lambda^{n}}{n!\mu^{n}}\right)P_{o}\] Luego,
\[=\left(\frac{{1\cdot2\cdot3\cdot\cdot\cdot}(K-(n-1))(K-n)\cdot\cdot\cdot(K-1)K\lambda^{n}}{{1\cdot2\cdot3\cdot\cdot\cdot}(K-1)(K-2)\cdot\cdot\cdot(K-n)n!\mu^{n}}\right)P_{o}\]
Se obtiene la siguiente forma
\[=\frac{K!\lambda^{n}}{(K-n)!\mu^{n}}P_{o}\]
Por lo tanto, se aplica: \(\frac{K!}{n!(K-n)!} = \binom{K}{n}\)
\[=\binom{K}{n}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n}P_{o}\]
Finalmente se define: \(\frac{\lambda}{\mu}= \rho\) y \(\binom{K}{n}=C_n^K\).
\[=C_{n}^{K} \rho ^{n}P_{o}\]
Desarrollo para \(R\le n\le K\)
Aquí \(n>R\), hay más averías que técnicos → técnicos saturados.
Nota
Tasa de reparación = \(Rμ\) (independiente de cuántas averías haya por encima de \(R\)).
Tasa de fallos desde \(n−1 → n: (K−n+1)λ\)
Tasa de reparación desde \(n → n−1: Rμ\)
Se plantea la relación de equilibrio,
\[P_{n}=\frac{K(K-1)\cdot\cdot\cdot(K-n+1)\cdot\lambda^{n}}{\mu\cdot2\mu\cdot3\mu\cdot\cdot\cdot\cdot(R\mu)(R\mu)^{n-R}}P_{o}\]
Entonces se juntan \(μ^R⋅μ^{n−R} =μ^n\) y se reemplaza \(1⋅2⋯R=R!\).
\[=\frac{K(K-1)\cdot\cdot\cdot(K-n+1)\lambda^{n}}{(1\cdot2\cdot3\cdot\cdot\cdot R)\mu^{R}R^{n-R}\mu^{n-R}}P_{o}\]
Así que se multiplica numerador y denominador por \(n!\) para formar \(\binom{K}{n} = \frac{K!}{n!(K-n)!}\).
\[=\frac{K!n!\lambda^{n}}{n!(K-n)!\cdot R!R^{n-R}\cdot\mu^{n}}\cdot P_{o}\]
Por lo tanto, se usa \(\frac{\lambda}{\mu}=\rho\) y se simplifica mediante \(\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n = \rho^n\).
\[=\binom{K}{n}\cdot\frac{n!\cdot \rho^{n}P_{o}}{R!R^{n-R}}\]
Para terminar reescribimos \(\binom{K}{n}=C_n^K\)
\[=C_{n}^{K}\cdot\frac{n!\cdot \rho^{n}P_{o}}{R!R^{n-R}}\]
Cálculo de \(P_{o}\)
La suma de todas las probabilidades debe ser 1:
\[\sum_{n=0}^{K}P_{n}=1\]
\[P_0 + P_1 + P_2 + \dots + P_n = 1\]
Separamos según las dos regiones:
Nota
Para \(0 \le n \le R\) usamos \(P_n=C_{n}^{K} \rho ^{n}P_{o}\)
para \(n > R\) usamos la fórmula \(P_n =C_{n}^{K}\cdot\frac{n!\cdot \rho^{n}P_{o}}{R!R^{n-R}}\).
Así que se reemplaza cada \(P_n\) por su expresión correspondiente
\[\sum P_n = \sum_{n=0}^{R} C_n^K P^n P_0 + \sum_{n=R+1}^{K} C_n^K \frac{n!}{R! R^{n-R}} P^n \cdot P_0\]
Factorizamos \(P_0\), Por lo tanto se saca como factor común
\[\sum P_{n}=\left(\sum_{n=0}^{R}C_{n}^{K}\rho^{n}+\sum_{n=R+1}^{K}C_{n}^{K}\frac{n!\rho^{n}}{R!R^{n-R}}\right)P_{0}=1\]
Despejamos a \(P_0\)
\[\Rightarrow P_{o}=\frac{1}{\left(\sum_{n=0}^{R}C_{n}^{K}\rho^{n}+\sum_{n=R+1}^{K}C_{n}^{K}\frac{n!\rho^{n}}{R!R^{n-R}}\right)}\] Finalmente se pasa el paréntesis arriba de la ecuación con exponente negativo. \[\Rightarrow P_{o}=\left(\sum_{n=0}^{R}C_{n}^{K}\rho^{n}+\sum_{n=R+1}^{K}C_{n}^{K}\frac{n!\rho^{n}}{R!R^{n-R}}\right)^{-1}\]
Medidas de desempeño
\(Ls\)= Número promedio de máquinas averiadas en el sistema No hay expresión alguna de forma cerrada para Ls y por consiguiente debe calcularse por medio de la siguiente definición básica.
Lo definimos \[ L_s=\sum_{n=0}^{k} nP_n \] Porque el número promedio de clientes en el sistema es la suma de \(n\) multiplicada por su probabilidad
Sustituir \(P_n\)según la región \[ =\left[ \sum_{n=0}^{R}\frac{k!}{(k-n)!\,n!}\,\rho^n\,p_0 + \sum_{n=R+1}^{k}\frac{k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}}\,\rho^n\,p_0 \right] \]
Se incluye el factor \(n\) dentro de cada suma
\[ =\left( \sum_{n=0}^{R}\frac{n\,k!}{(k-n)!\,n!}\,\rho^n + \sum_{n=R+1}^{k}\frac{n\,k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}}\,\rho^n \right)p_0 \]
\(Lq\)= Número promedio de máquinas en espera (cola)
Si \(n \leq R )\), no hay espera porque hay más técnicos que máquinas descompuestas.
Si \(n >R\), entonces \(R\) técnicos están reparando y \(n-R\) máquinas esperan reparación.
Así,
\[ L_q=\sum_{n=0}^{R}0\cdot P_n+\sum_{n=R+1}^{k}(n-R)P_n \] Así que se separa la suma en dos partes según haya o no fila de espera.
\[ =\sum_{n=R+1}^{k}(n-R)\, \frac{k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}}\, \rho^n\,p_0 \]
\(L_{func}\) = Número promedio de máquinas funcionando
Relación de conservación \[ L_{func}=K-L_s \] Porque el total de máquinas es \(K:\) unas están averiadas \((Ls)\) y las demás funcionan.
Sustituir \(Ls\)
\[ =K-\left( \sum_{n=0}^{R} \frac{k!}{(k-n)!\,n!}\,p^n + \sum_{n=R+1}^{k} \frac{k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}}\,p^n \right)p_0 \]
Tasa efectiva de fallas
Si hay (n) máquinas descompuestas, se tienen (k-n) máquinas funcionando.
Entonces, la tasa de llegada es:
\[ \lambda_n = (k-n)\lambda \]
ya que se descompone una máquina funcionando.
Luego,
\[ \lambda_{ef} = \sum_{n=0}^{k}\lambda_n P_n \] Se separara el último término
\[ = \sum_{n=0}^{k-1}\lambda_n P_n + \lambda_k P_k \]
Pero,
\[ \lambda_k = 0 \]
porque no hay máquinas funcionando cuando todas están descompuestas.
Entonces,se reemplaza cada expresión según la región correspondiente.
\[ \lambda_{ef} = \sum_{n=0}^{R} (k-n)\lambda \frac{k!}{(k-n)!\,n!} p^n p_0 + \sum_{n=R+1}^{k-1} (k-n)\lambda \frac{k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}} p^n p_0 \] Se factoriza \(P_0\) \[ = \left( \sum_{n=0}^{R} (k-n)\lambda \frac{k!}{(k-n)!\,n!} p^n + \sum_{n=R+1}^{k-1} (k-n)\lambda \frac{k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}} p^n \right)p_0 \]
Tiempo promedio en el sistema
Aplicando la Ley de Little:
\[ L_s = \lambda_{ef} W_s \]
Despejando \(W_s\):
\[ W_s = \frac{L_s}{\lambda_{ef}} \]
Tiempo promedio en cola
De igual forma,
\[ L_q = \lambda_{ef} W_q \]
Por lo tanto,
\[ W_q = \frac{L_q}{\lambda_{ef}} \]
Probabilidad de que existan al menos \(j\) máquinas dañadas
La probabilidad se define como:
\[ P(N \geq j)=\sum_{n=j}^{k} P_n \qquad ; \qquad j=1,\dots,R \]
Sustituyendo \(P_n\):
\[ P(N \geq j) = \sum_{n=j}^{R} \frac{k!}{(k-n)!\,n!} \,p^n\,p_0 + \sum_{n=R+1}^{k} \frac{k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}} \,p^n\,p_0 \]
Factorizando \(p_0\):
\[ P(N \geq j) = \left( \sum_{n=j}^{R} \frac{k!}{(k-n)!\,n!} \,p^n + \sum_{n=R+1}^{k} \frac{k!}{(k-n)!\,R!\,R^{\,n-R}} \,p^n \right)p_0 \]
Conclusión
Este modelo es útil para dimensionar talleres de mantenimiento al predecir el número esperado de máquinas averiadas, los tiempos de reparación y la utilización de los técnicos, considerando que la fuente de fallas es limitada y dependiente del estado del sistema.
Problema 2: Construcción del modelo de autoservicio \((M/M/∞/∞/∞)\)
Descripción
El modelo de colas \((M/M/ \infty/\infty/\infty)\), conocido como modelo de autoservicio, representa sistemas donde existe una cantidad prácticamente ilimitada de servidores, por lo que cada cliente que llega puede ser atendido inmediatamente sin tener que esperar en una fila.
Este modelo se utiliza para describir situaciones reales donde la capacidad de atención es tan grande que la probabilidad de que un cliente tenga que esperar es prácticamente nula.
NotaCaracterística principal
La principal característica del modelo es que:
No existen colas de espera, porque siempre hay un servidor disponible para atender a cada cliente.
Notación del modelo
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| M | Llegadas Poisson |
| M | Tiempos de servicio exponenciales |
| ∞ | Infinitos servidores |
| ∞ | Capacidad infinita |
| ∞ | Población infinita |
Construcción del modelo
En este modelo las tasas de llegadas y servicios son \(\lambda\) y \(\mu\), la cantidad de servidores es ilimitada porque el cliente también es el servidor.
Supongamos que tenemos \(n\) clientes, entonces como la fuente y el límite del sistema son infinitos tenemos.
\[ n = 0,1,2,\ldots \] Por otro lado, las tasas de llegada no dependen de \(n\), por tanto,
\[ \lambda_n = \lambda, \qquad \text{para } n = 0,1,2,\ldots \]
Como el modelo es de autoservicio, hay \(n\) clientes atendiéndose a sí mismos, esto implica que
\[ \mu_n = n\mu, \qquad n = 0,1,2,\ldots \]
Probabilidades de estado
Ahora bien, usando la fórmula general del modelo
\[\begin{align} P_n&= \frac{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}} {\mu_1\mu_2\cdots\mu_n} P_0 \end{align}\] tenemos que:
\[\begin{align} P_n&=\frac{\lambda\cdot\lambda\cdots\lambda} {\mu\cdot2\mu\cdot3\mu\cdots n\mu} P_0 \\ \\ \\ P_n&= \frac{\lambda^n} {(1\cdot2\cdot3\cdots n)\mu^n} P_0 \\ \\ \\ P_n&= \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}P_0 \\ \\ \\ P_n&= \frac{1}{n!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n P_0 \end{align}\]
Así,
\[ P_n=\frac{1}{n!}\rho^n P_0, \qquad \text{para } n=0,1,2,\ldots \]
Luego
\[ \sum_{n=0}^{\infty} P_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\rho^n}{n!}P_0 \]
y
\[\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} P_n = 1 1=& \left( \frac{\rho^0}{0!} + \frac{\rho}{1!} + \frac{\rho^2}{2!} +\cdots \right)P_0 \\ \\ \ 1&=e^{\rho}P_0, \qquad \text{ya que } \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho^n}{n!}=e^{\rho} \end{align}\]
De donde,
\[ P_0=\frac{1}{e^{\rho}}=e^{-\rho} \]
Por lo tanto,
\[\begin{align} P_n=&\frac{1}{n!}\rho^n e^{-\rho} \end{align}\] teniendo como formula final:
\[\begin{align} p_n=\frac{e^{-\rho}\rho^n}{n!}, \qquad n=0,1,2,\ldots \end{align}\]
Esta expresión corresponde a una distribución de Poisson con media \(\rho\).
Medidas de desempeño
Número promedio de clientes en el sistema
Calculemos la media \(L_s\) como:
\[ L_s=\sum_{n=0}^{\infty}nP_n, \]
entonces
\[\begin{align} L_s=&\sum_{n=0}^{\infty} n \left( \frac{e^{-\rho}\rho^n}{n!} \right) \\ \\ \\ &=e^{-\rho} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n\rho^n}{n!} \\ \\ \\ &=e^{-\rho} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\rho^n}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n} \\ \\ \\ &=e^{-\rho} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\rho^n}{(n-1)!} \\ \\ \\ &=e^{-\rho}\rho \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\rho^{\,n-1}}{(n-1)!} \\ \\ \\ &=e^{-\rho}\rho \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\rho^n}{n!} \\ \\ \\ &=e^{-\rho}\rho e^{\rho} \\ \\ \\ L_s&=\rho \end{align}\]
Esto sucede porque como cada cliente entra directamente al servicio y no existen esperas todos los clientes del sistema están siendo atendidos y el sistema únicamente contiene clientes en servicio. Por eso el promedio de clientes en el sistema depende solamente de cuántos llegan \(\lambda\) y qué tan rápido son atendidos \(\mu\).
Número promedio de clientes en cola
Tenemos que \(L_s\) = p. Además, como \(L_q\) es el número promedio de clientes en la cola, se tiene que \(L_q\) = 0, porque es autoservicio entonces, nunca falta un servidor disponible, ningún cliente debe esperar y no se forma fila.
Ahora bien, tenemos que
\[ L_q = \lambda W_q \]
Así que
\[ W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{0}{\lambda} = 0. \] Como los clientes entran inmediatamente al servicio no permanecen esperando y el tiempo antes de ser atendidos es nulo.
Tiempo promedio en el sistema
Aplicando la Ley de Little:
\[ W_s=\frac{L_s}{\lambda} \]
Sustituyendo:
\[ W_s=\frac{\lambda/\mu}{\lambda} \]
Simplificando:
\[ W_s=\frac{1}{\mu} \]
El tiempo promedio en el sistema coincide exactamente con el tiempo promedio de servicio. Esto sucede porque el cliente nunca espera y el único tiempo que permanece en el sistema es mientras está siendo atendido.
Conclusión
El modelo de autoservicio permite representar sistemas donde la capacidad de atención es prácticamente ilimitada, por lo que todos los clientes pueden ser atendidos de manera inmediata. Gracias a esto no existen colas ni tiempos de espera, y el comportamiento del sistema puede analizarse mediante procesos de nacimiento y muerte y distribuciones de Poisson. Este modelo es de gran utilidad para estudiar sistemas modernos con alta disponibilidad de recursos y atención simultánea.
Problema 3: Construcción del modelo de varios servidores con activación de servidores \((M/M/3/\infty/\infty)\)
Descripción
El modelo de colas \((M/M/3/\infty/\infty)\) representa sistemas con múltiples servidores donde las llegadas siguen un proceso de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial.
En este caso el sistema posee tres servidores disponibles; sin embargo, estos servidores no permanecen activos permanentemente, sino que se habilitan dependiendo de la cantidad de clientes presentes en el sistema.
Este tipo de política de operación es utilizada para optimizar recursos y reducir costos operativos, debido a que permite utilizar únicamente los servidores necesarios de acuerdo con la demanda existente.
Algunos ejemplos de aplicación incluyen:
- supermercados que habilitan más cajas cuando aumenta la cantidad de clientes;
- entidades bancarias que habilitan más puestos de atención;
- centros de llamadas;
- sistemas de soporte técnico;
- centros de atención al cliente.
NotaCaracterística principal
La principal característica del modelo consiste en que el número de servidores activos depende directamente de la cantidad de clientes presentes en el sistema.
La política considerada es:
- Si existen cuatro o menos clientes, permanece activa una caja.
- Si existen entre cinco y ocho clientes, se habilita una segunda caja.
- Si existen más de ocho clientes, se habilitan las tres cajas disponibles.
Notación del modelo
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| M | Llegadas Poisson |
| M | Tiempos de servicio exponenciales |
| 3 | Tres servidores máximos |
| ∞ | Capacidad infinita |
| ∞ | Población infinita |
Tabla 1. Notación del modelo matemático
Supuestos del modelo
Para construir este modelo se consideran los siguientes supuestos:
- Los clientes llegan aleatoriamente con tasa \(\lambda\).
- Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con tasa \(\mu\).
- El sistema posee tres servidores disponibles.
- La capacidad del sistema es infinita.
- La población potencial es infinita.
- Los servidores se activan dependiendo de la cantidad de clientes.
- Los clientes son atendidos bajo la disciplina primero en entrar, primero en salir (FIFO).
Construcción del modelo
Sea:
\[ n \]
el número de clientes presentes en el sistema.
Debido a que el sistema tiene capacidad infinita:
\[ n=0,1,2,3,\dots \]
Tasas de llegada
En procesos Poisson las llegadas son independientes del estado del sistema.
Por tanto:
\[ \lambda_n=\lambda, \qquad n=0,1,2,\dots \]
Lo anterior indica que la tasa de llegada permanece constante para cualquier cantidad de clientes presentes.
Tasas de servicio
Las tasas de servicio dependen del número de cajas activas.
Cuando existen cuatro o menos clientes:
\[ \mu_n=\mu \]
Cuando existen entre cinco y ocho clientes:
\[ \mu_n=2\mu \]
Cuando existen más de ocho clientes:
\[ \mu_n=3\mu \]
Por tanto:
\[ \mu_n= \begin{cases} \mu,&n=0,1,2,3,4\\[4pt] 2\mu,&n=5,6,7,8\\[4pt] 3\mu,&n\geq9 \end{cases} \]
Definiendo:
\[ \rho= \frac{\lambda}{\mu} \]
donde:
\[ \rho \]
representa la intensidad de tráfico del sistema.
Probabilidades de estado
Para procesos de nacimiento y muerte:
\[ P_n= \frac{ \lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1} } { \mu_1\mu_2\cdots\mu_n } P_0 \]
donde:
- \(P_n\) representa la probabilidad de que existan \(n\) clientes en el sistema.
- \(P_0\) representa la probabilidad de que el sistema permanezca vacío.
Estados entre uno y cuatro clientes
En este intervalo solamente existe una caja activa.
Para un cliente:
\[ P_1= \frac{\lambda}{\mu}P_0 \]
Sustituyendo:
\[ P_1= \rho P_0 \]
Para dos clientes:
\[ P_2 = \frac{\lambda\lambda} {\mu\mu} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^2} {\mu^2} P_0 \]
\[ = \rho^2P_0 \]
Para tres clientes:
\[ P_3 = \frac{\lambda^3} {\mu^3} P_0 \]
\[ = \rho^3P_0 \]
Para cuatro clientes:
\[ P_4 = \frac{\lambda^4} {\mu^4} P_0 \]
\[ = \rho^4P_0 \]
Por lo tanto:
\[ P_n= \rho^nP_0 \]
para:
\[ n=1,2,3,4 \]
Estados entre cinco y ocho clientes
En este intervalo se habilita una segunda caja.
Por tanto:
\[ \mu_n=2\mu \]
Para cinco clientes:
\[ P_5 = \frac{\lambda^5} {\mu^4(2\mu)} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^5} {2\mu^5} P_0 \]
\[ = \frac12 \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^5 P_0 \]
\[ = \frac12 \rho^5P_0 \]
\[ = \frac1{2^{5-4}} \rho^5P_0 \]
Para seis clientes:
\[ P_6 = \frac{\lambda^6} {\mu^4(2\mu)^2} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^6} {4\mu^6} P_0 \]
\[ = \frac14 \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^6 P_0 \]
\[ = \frac14 \rho^6P_0 \]
\[ = \frac1{2^{6-4}} \rho^6P_0 \]
Para siete clientes:
\[ P_7 = \frac{\lambda^7} {\mu^4(2\mu)^3} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^7} {8\mu^7} P_0 \]
\[ = \frac18 \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^7 P_0 \]
\[ = \frac18 \rho^7P_0 \]
\[ = \frac1{2^{7-4}} \rho^7P_0 \]
Para ocho clientes:
\[ P_8 = \frac{\lambda^8} {\mu^4(2\mu)^4} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^8} {16\mu^8} P_0 \]
\[ = \frac1{16} \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^8 P_0 \]
\[ = \frac1{16} \rho^8P_0 \]
\[ = \frac1{2^{8-4}} \rho^8P_0 \]
Por lo tanto:
\[ P_n = \frac{\rho^n} {2^{n-4}} P_0 \]
para:
\[ n=5,6,7,8 \]
Estados mayores o iguales a nueve clientes
En este intervalo permanecen activas las tres cajas.
Por tanto:
\[ \mu_n=3\mu \]
Para nueve clientes:
\[ P_9 = \frac{\lambda^9} {\mu^4(2\mu)^4(3\mu)} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^9} {2^4\cdot3\mu^9} P_0 \]
\[ = \frac1{48} \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^9 P_0 \]
\[ = \frac1{48} \rho^9P_0 \]
\[ = \frac1{2^43^{9-8}} \rho^9P_0 \]
Para diez clientes:
\[ P_{10} = \frac{\lambda^{10}} {\mu^4(2\mu)^4(3\mu)^2} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^{10}} {2^43^2\mu^{10}} P_0 \]
\[ = \frac1{144} \rho^{10}P_0 \]
\[ = \frac1{2^43^{10-8}} \rho^{10}P_0 \]
Para once clientes:
\[ P_{11} = \frac{\lambda^{11}} {\mu^4(2\mu)^4(3\mu)^3} P_0 \]
\[ = \frac{\lambda^{11}} {2^43^3\mu^{11}} P_0 \]
\[ = \frac1{432} \rho^{11}P_0 \]
\[ = \frac1{2^43^{11-8}} \rho^{11}P_0 \]
Generalizando:
\[ P_n= \frac{\rho^n} {2^4\cdot3^{n-8}} P_0 \]
para:
\[ n\geq9 \]
Condición de normalización
La suma de probabilidades debe ser igual a uno:
\[ \sum_{n=0}^{\infty}P_n=1 \]
\[P_0 + P_1 + P_2 + \dots + P_n = 1\] Sustituyendo:
\[ 1= \left[ 1+ \sum_{n=1}^{4} \rho^n+ \sum_{n=5}^{8} \frac{\rho^n}{2^{n-4}} + \sum_{n=9}^{\infty} \frac{\rho^n} {2^4\cdot3^{n-8}} \right] P_0 \]
Despejando:
\[ P_0= \left[ 1+ \sum_{n=1}^{4} \rho^n+ \sum_{n=5}^{8} \frac{\rho^n}{2^{n-4}} + \sum_{n=9}^{\infty} \frac{\rho^n} {2^4\cdot3^{n-8}} \right]^{-1} \]
Medidas de desempeño del sistema
Número promedio de clientes en el sistema:
\[ L= \sum_{n=0}^{\infty} nP_n \]
Número promedio de clientes esperando servicio:
\[ L_q= L-L_s \]
Tiempo promedio dentro del sistema:
\[ W= \frac{L}{\lambda} \]
Tiempo promedio esperando en cola:
\[ W_q= \frac{L_q}{\lambda} \]
Número promedio de clientes recibiendo servicio:
\[ L_s= L-L_q \]
Conclusión
El modelo obtenido representa un sistema con activación dinámica de servidores donde el número de cajas activas aumenta conforme aumenta el número de clientes presentes en el sistema. Esta estrategia permite disminuir recursos ociosos cuando la demanda es baja y aumentar la capacidad de servicio cuando la demanda crece.
Problema 4: Construcción del modelo con tasa de llegada dependiente del estado \((M/M/1/N/\infty)\)
Descripción
El modelo de colas \(\left(M/M/1/N/\infty\right)\), con tasa de llegada dependiente del estado, representa un sistema donde existe un único servidor, la capacidad del sistema es infinita (\(N \to \infty\)), y la tasa de llegada de clientes no es constante, sino que disminuye a medida que el sistema se llena.
Algunos ejemplos de aplicación incluyen:
- sistemas telefónicos donde los clientes cuelgan al percibir mucha espera;
- servicios en línea con saturación progresiva;
- filas en establecimientos donde los clientes desisten al ver mucha gente;
- sistemas de acceso controlado con retroalimentación de ocupación.
NotaCaracterística principal
La principal característica del modelo es que la tasa de llegada disminuye exponencialmente con el número de clientes presentes:
\[ \lambda_n = \lambda_0 e^{-\alpha n} \]
donde \(\alpha > 0\) es un parámetro positivo que controla qué tan rápido se inhiben las llegadas y \(\lambda_0\) es la tasa de ingreso cuando el sistema está vacío.
Notación del modelo
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| M | Llegadas Poisson (con tasa dependiente del estado) |
| M | Tiempos de servicio exponenciales |
| 1 | Un servidor |
| N | Capacidad finita del sistema |
| ∞ | Población infinita |
Tabla 1. Notación del modelo matemático
Supuestos del modelo
Para construir este modelo se consideran los siguientes supuestos:
- Los clientes llegan aleatoriamente con tasa \(\lambda_n = \lambda_0 e^{-\alpha n}\).
- La tasa de llegada decrece a medida que hay más clientes en el sistema.
- Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con tasa \(\mu\).
- El sistema posee un único servidor.
- La capacidad máxima del sistema es \(N\).
- La población potencial es infinita.
- Los clientes son atendidos según primero en entrar, primero en salir.
Construcción matemática del modelo
Supongamos que hay \(n\) clientes en el sistema. Como se tiene capacidad infinita:
\[ n = 0, 1, 2, \dots \]
Tasas de servicio
Como hay un solo servidor, la tasa de servicio es constante:
\[ \mu_n = \mu, \quad n = 1, 2, \dots \]
Tasas de llegada
Por otro lado, la tasa de entrada al sistema es:
\[ \lambda_n = \lambda_0 e^{-\alpha n}, \quad n = 0, 1, 2, \dots \quad \text{con } \alpha > 0 \]
y \(\lambda_0\) la tasa de ingreso al sistema cuando está vacío.
Definiendo:
\[ \rho = \frac{\lambda_0}{\mu} \]
donde:
- \(\rho\) representa la intensidad de tráfico cuando el sistema está vacío.
Obtención de probabilidades de estado
Usando la fórmula general del modelo de Poisson:
\[ P_n = \frac{\lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \, \mu_2 \cdots \mu_n} \, P_0 \]
tenemos que:
\[ P_n = \frac{\lambda_0 \cdot \lambda_0 e^{-\alpha} \cdot \lambda_0 e^{-2\alpha} \cdots \lambda_0 e^{-(n-1)\alpha}}{\mu \cdot \mu \cdot \mu \cdots \mu} \, P_0 \]
Simplificación del numerador
El numerador contiene \(n\) factores \(\lambda_0\) multiplicados por las potencias de la exponencial:
\[ P_n = \frac{\lambda_0^n \cdot e^{-\alpha\bigl(1 + 2 + \cdots + (n-1)\bigr)}}{\mu^n} \, P_0 \]
La suma del exponente es:
\[ 1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2} \]
Sustituyendo:
\[ P_n = \frac{\lambda_0^n \, e^{-\alpha \frac{n(n-1)}{2}}}{\mu^n} \, P_0 \]
\[ P_n = \left(\frac{\lambda_0}{\mu}\right)^n e^{-\alpha \frac{n(n-1)}{2}} P_0 \]
Por lo tanto:
\[ \boxed{P_n = e^{-\alpha \frac{n(n-1)}{2}} \, \rho^n \, P_0} \]
para:
\[ n = 0, 1, 2, \dots \]
Condición de normalización
La suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno:
\[ \sum_{n=0}^{\infty} P_n = 1 \]
Sustituyendo:
\[ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\alpha \frac{n(n-1)}{2}} \, \rho^n \, P_0 = 1 \]
Lo que equivale a:
\[ 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\rho^n}{e^{\alpha \frac{n(n-1)}{2}}} \, P_0 \]
Despejando \(P_0\):
\[ P_0 = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\rho^n}{e^{\alpha \frac{n(n-1)}{2}}} \right)^{-1} \] O equivalentemente:
\[ P_0= \left( \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\alpha \frac{n(n-1)}{2}} \rho^n \right)^{-1} \]
Las dos expresiones son exactamente iguales porque:
\[ \frac{1}{e^x}=e^{-x} \]
Expresión final del modelo
Por lo tanto, el modelo queda dado por:
\[ P_n = \frac{\rho^n \cdot \left( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \frac{\rho^i}{e^{\alpha \frac{i(i-1)}{2}}} \right)^{-1}}{e^{\alpha \frac{n(n-1)}{2}}} \]
que también puede escribirse como:
\[ P_n = \frac{\rho^n}{e^{\alpha \frac{n(n-1)}{2}} \left(\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{\rho^i}{e^{\alpha \frac{i(i-1)}{2}}}\right)} \]
Conclusión
El modelo construido representa un sistema con un único servidor y capacidad no acotada, donde la tasa de llegada disminuye exponencialmente con el número de clientes presentes. Esta estructura refleja el comportamiento real de sistemas en los que los clientes se desaniman al percibir congestión, generando así una regulación natural del flujo de entrada.
Medidas de desempeño
Sea:
\[ \rho=\frac{\lambda_0}{\mu} \]
y
\[ P_n = \frac{\rho^n \cdot \left( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \frac{\rho^i}{e^{\alpha \frac{i(i-1)}{2}}} \right)^{-1}}{e^{\alpha \frac{n(n-1)}{2}}} \]
Número promedio de clientes en el sistema
\[ L_s=\sum_{n=0}^{\infty} nP_n \]
Número promedio de clientes en cola
Como el modelo tiene un solo servidor, cuando hay (n) clientes en el sistema, uno está siendo atendido y los demás esperan.
\[ L_q=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)P_n \]
También puede escribirse como:
\[ L_q=L_s-(1-P_0) \]
Tasa efectiva de llegada
Como la llegada depende del estado:
\[ \lambda_{\text{ef}}=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda_nP_n \]
donde:
\[ \lambda_n=\lambda_0e^{-\alpha n} \]
Entonces:
\[ \lambda_{\text{ef}}=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda_0e^{-\alpha n}P_n \]
Tiempo promedio en el sistema
Aplicando la Ley de Little:
\[ W_s=\frac{L_s}{\lambda_{\text{ef}}} \]
Tiempo promedio en cola
\[ W_q=\frac{L_q}{\lambda_{\text{ef}}} \]
Utilización del servidor
Como hay un solo servidor, la utilización es la probabilidad de que el sistema no esté vacío: \[ U=1-P_0 \]
Ejemplo de aplicación
Supóngase un sistema con los siguientes parámetros:
\[ \lambda_0=8 \text{ clientes/hora} \]
\[ \mu=10 \text{ clientes/hora} \]
\[ \alpha=0.2 \]
Entonces:
\[ \rho=\frac{\lambda_0}{\mu}=\frac{8}{10}=0.8 \]
La tasa de llegada depende del número de clientes presentes en el sistema:
\[ \lambda_n=8e^{-0.2n} \]
| n | Calculo | Resultado |
|---|---|---|
| 0 | \(\lambda(0) = 8e^{-0.2(0)}\) | 8.00 |
| 1 | \(\lambda(1) = 8e^{-0.2(1)}\) | 6.55 |
| 2 | \(\lambda(2) = 8e^{-0.2(2)}\) | 5.36 |
| 3 | \(\lambda(3) = 8e^{-0.2(3)}\) | 4.39 |
Se observa que, a medida que aumenta el número de clientes en el sistema, la tasa de llegada disminuye debido al efecto de congestión.
Probabilidad estacionaria
La distribución estacionaria es:
\[ P_n= e^{-0.2\frac{n(n-1)}{2}} (0.8)^nP_0 \]
Para calcular (P_0):
\[ P_0= \left( \sum_{n=0}^{\infty} e^{-0.2\frac{n(n-1)}{2}} (0.8)^n \right)^{-1} \]
Aproximando los primeros términos:
\[ P_0\approx0.39 \]
Utilización del servidor
\[ U=1-P_0 \]
\[ U=1-0.39 \]
\[ U=0.61 \]
Por lo tanto, el servidor está ocupado aproximadamente el 61% del tiempo.
Interpretación
El sistema muestra un mecanismo de autocontrol: cuando hay muchos clientes en el sistema, la tasa de llegada disminuye automáticamente. Esto evita niveles altos de congestión y mantiene estable la operación del servidor.