Pregunta 1

Calcule las siguientes sumatorias: \[\sum_{i=1}^{170}i\] \[\sum_{i=0}^{50}\left(\frac{9}{10}\right)^i\]

Solución

Para la primera sumatoria, usar la fórmula

\[\sum_{i=1}^{\operatorname{n}}i=\frac{n(n+1)}{2}\] Reemplazar \(n = 170\):

\[\sum_{i=1}^{\operatorname{n}}i = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{170(170+1)}{2}\] \[\therefore \sum_{i=1}^{170}i = 14.535\] Para la segunda sumatoria, usar la fórmula \[\sum_{i=0}^{\operatorname{n}}\operatorname{a}^i=\frac{1-\operatorname{a}^{n+1}}{1-a}\] Reemplazar \(a = \frac{9}{10}\) y \(n=50\): \[\sum_{i=0}^{n}a^i = \frac{1-a^{n+1}}{1-a} = \frac{1 - \left(\frac{9}{10}\right) ^{n+1}}{1-\frac{9}{10}}\] \[\therefore \sum_{i=0}^{50}\left(\frac{9}{10}\right)^i = 9,9536\]

Pregunta 2

En un día soleado, un edificio proyecta una sombra de 7,5 metros desde su base. Si una línea recta desde la punta del edificio hasta la punta de la sombra hace un ángulo de 80° con el suelo, ¿cuál es la altura del edificio? Haga el diagrama primero, y luego el cálculo.

Solución

El diagrama del problema es:

Claramente, se ve que: \[tan(80°) = \frac{h}{7,5}\] \[\therefore h = 7,5 \cdot tan(80°)\] \[\therefore h = 42,5346 \ m\] El edificio tiene una altura de 42,53 metros.

Pregunta 3

Grafique y resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. Para cada sistema, diga si tiene una, ninguna o infinitas soluciones.

Sistema 1:

\[2x+3y=7...(1)\] \[x-y=2...(2)\]

Sistema 2:

\[4x-2y=2...(1)\] \[12x-6y=-18...(2)\]

Solución

Sistema 1:

Para graficar las ecuaciones, es conveniente expresarlas de la forma: \[y = mx + c\] donde m es la pendiente y c es el intercepto: \[y = -\frac{2}{3}x + 7...(1')\] \[y = x - 2...(2')\] Entonces el gráfico del sistema es:

Se ve en el gráfico que el sistema tiene una solución única, aproximadamente \(5 \le x \le 6\) y \(3 \le y \le 4\).

Para resolver analíticamente, igualar ecuación (2’) y (1’): \[x - 2 = -\frac{2}{3}x + 7\] \[\therefore \frac{5}{3}x = 9\] \[\therefore x = \frac{27}{5} = 5,4\] Sustituir x en ecuación (2’): \[y = 5,4 - 2\] \[\therefore y = 3,4\] Entonces la solución es: \[\therefore x = 5,4; y = 3,4\]

Sistema 2:

Nuevamente, expresar las ecuaciones de la forma: \[y = mx + c\] \[y = 2x - 1...(1')\] \[y = 2x + 3...(2')\] Expresado de este forma, se observa que ambas ecuaciones tienen la misma pendiente y diferente intercepto. Por lo tanto las rectas de las ecuaciones son paralelas y el sistema no tiene solución.

Graficar el sistema:

Si se intenta encontrar una solución, se llega a una contradicción:

Igualar ecuaciones (1’) y (2’): \[2x+3 = 2x-1\] \[\therefore 3 = -1 => <=\]