Una empresa innovadora chilena desarrolla y patenta una nueva batería de litio para autos eléctricos. Como tiene la patente, es la única empresa que lo vende durante 20 años. La demanda del mercado está dada por: \[p = 50000-2Q...(1)\] Su ecuación de costo está dada por: \[C=5Q^2+3000...(2)\]
Calcule el precio de mercado y la cantidad vendida durante los 20 años de vigencia de la patente.
Cuando expira la patente, 100 empresas entran al mercado y fabrican y venden esta batería. Calcule el nuevo precio de mercado y la cantidad total vendida.
Explique su razonamiento y cada uno de sus pasos lógicos.
Durante los 20 años de videncia de la patente, la empresa es un monopolio legal. Por lo tanto, maximiza su ganancia igualando ingreso marginal a su costo marginal: \[RM = CM\] Por claridad, usamos el sufijo m para las variables mientras la empresa es un monopolio. Para calcular \(RM_m\), el ingreso, \(R_m\), está dado por: \[R_m = p_mQ_m\] Sustituir \(p_m\) de la ecuación (1): \[R_m = (50000-2Q_m)Q_m\] \[\therefore R = 50000Q_m -2Q_m^2\] El ingreso marginal es la derivada de \(R_m\) con respecto a \(Q_m\): \[RM_m = 50000 -4Q_m...(3)\] Además, el costo marginal es la derivada del costo con respecto a \(Q_m\), el cual está dado por la ecuación (2): \[CM_m = 10Q_m...(4)\] Igualar ecuaciones (3) y (4): \[50000 - 4Q_m = 10Q_m\] \[\therefore Q_m = \frac{50000}{14}\] \[\therefore Q_m = 3571\] Sustituir \(Q_m\) en la ecuación (1): \[p_m = 50000-2Q_m\] \[\therefore p_m = 50000-2 \cdot 3571\] \[\therefore p_m = 42858\]
Durante la vigencia de la patente, la empresa vende 3.571 baterías por unidad de tiempo (año o mes), a un precio de $42.858.
Cuando expira la patente, 100 empresas ingresan a la industria, y el mercado se vuelve competitivo.
Sea \(q_c\) la cantidad producida por cada empresa en este mercado competitivo, y \(Q_c\) la producción total del mercado. Claramente: \[Q_c = 100q_c...(5)\] El costo de cada empresa no ha cambiado, de modo que sigue estando dado por la ecuación (2), pero ahora con la cantidad individual de cada empresa: \(q_c\): \[C=5q_c^2+3000\] Entonces el costo marginal de cada empresa es: \[CM_c = 10q_c...(6)\] Además, la ecuación de la demanda en función de \(q_c\) se obtiene sustituyendo \(Q_c\) en la ecuación (1): \[p = 50000-2 \cdot 100q_c\] \[p = 50000 - 200q_c...(7)\] En este mercado competitivo, cada empresa maximiza su ganancia produciendo hasta el punto en que su costo marginal es igual al precio de mercado. Entonces igualamos ecuaciones (6) y (7): \[10q_c = 50000 - 200q_c\] \[\therefore 210q_c = 50000\] \[\therefore q_c = 238\] Entonces, la producción total del mercado es: \[Q_c = 100q_c = 100 \cdot 238 = 23800\] \[\therefore Q_c = 23800\] Sustituir en ecuación (1) para obtener el precio de mercado: \[p_c = 50000 - 2 \cdot 23800\] \[\therefore p_c = 2400\]
Cuando expira la patente y el mercado se vuelve competitivo, la industria produce y vende 23.800 baterías por unidad de tiempo, a un precio de $2.400 cada una.