MODELO DE REGRESIÓN EXPONENCIAL ENTRE EL CaO Y EL K2O

ANÁLISIS MULTIVARIABLE

CARGA DE DATOS Y LIBRERÍAS

library(readxl)
library(gt)
library(dplyr)
library(e1071)
library(htmltools)

# =============================================================================
# CARGA DE DATOS
# =============================================================================

datos <- read.csv("D:/modelo_exponencial.csv",
                  header = TRUE)

# =============================================================================
# VERIFICAR DATOS
# =============================================================================

head(datos)

##   CAO_WT_PERCENT K2O_WT_PERCENT
## 1          0.500          1.095
## 2          0.510          1.180
## 3          0.520          0.949
## 4          0.529          1.137
## 5          0.539          1.151
## 6          0.549          0.695

str(datos)

## 'data.frame':    2500 obs. of  2 variables:
##  $ CAO_WT_PERCENT: num  0.5 0.51 0.52 0.529 0.539 0.549 0.559 0.569 0.578 0.588 ...
##  $ K2O_WT_PERCENT: num  1.095 1.18 0.949 1.137 1.151 ...

DEFINICIÓN DE LA VARIABLE

El contenido de CaO influye en la variación del porcentaje de K2O dentro de las muestras geoquímicas. Esta relación presenta un comportamiento no lineal de tipo exponencial, por lo que se propone un modelo exponencial (\(Y = a \cdot e^{bX}\)) para representar el comportamiento geoquímico entre ambas variables.

# Variable independiente (X): Óxido de calcio
X <- datos[, 1]

# Variable dependiente (Y): Óxido de potasio
Y <- datos[, 2]

# Conversión a numérico
X <- as.numeric(X)
Y <- as.numeric(Y)

# Eliminar datos faltantes y valores no válidos para el modelo exponencial (> 0)
TVP_original <- data.frame(X, Y)
TVP_original <- na.omit(TVP_original)
TVP_original <- TVP_original[is.finite(TVP_original$X) & is.finite(TVP_original$Y) & TVP_original$X > 0 & TVP_original$Y > 0, ]

X <- TVP_original$X
Y <- TVP_original$Y

TABLA DE PARES DE VALORES ORIGINAL

TVP_original <- data.frame(X, Y)
colnames(TVP_original) <- c("CaO", "K2O")

n_original <- nrow(TVP_original)
cat("Tamaño muestral del modelo =", n_original)

## Tamaño muestral del modelo = 2500

# Tabla pares de valores original
tabla <- TVP_original %>%
  gt() %>%
  cols_align(
    align = "center",
    columns = everything()
  ) %>%
  fmt_number(
    columns = everything(),
    decimals = 2
  ) %>%
  tab_header(
    title = md("*Tabla N°1*"),
    subtitle = md("*Pares de valores original de CaO y K2O en muestras geoquímicas de depósitos minerales*")
  ) %>%
  tab_source_note(
    source_note = md(paste0(
      "**Nota:** Tamaño muestral n = ", nrow(TVP_original),
      " observaciones utilizadas en el análisis."
    ))
  )

div(
  style = "height:400px; overflow-y:auto;",
  tabla
)

Tabla N°1
Pares de valores original de CaO y K2O en muestras geoquímicas de depósitos minerales
CaO	K2O
0.50	1.09
0.51	1.18
0.52	0.95
0.53	1.14
0.54	1.15
0.55	0.69
0.56	1.12
0.57	0.78
0.58	1.37
0.59	0.94
0.60	1.14
0.61	1.30
0.62	0.89
0.63	0.90
0.64	0.97
0.65	1.41
0.66	0.85
0.67	1.06
0.68	1.08
0.69	1.07
0.70	1.08
0.71	0.97
0.72	0.92
0.72	1.04
0.73	0.71
0.74	1.45
0.76	0.97
0.76	1.02
0.78	0.97
0.78	1.18
0.79	0.89
0.80	0.83
0.81	1.21
0.82	1.12
0.83	0.96
0.84	1.35
0.85	1.17
0.86	1.19
0.87	0.97
0.88	0.94
0.89	1.10
0.90	0.95
0.91	1.12
0.92	1.25
0.93	1.31
0.94	1.13
0.95	1.13
0.96	1.17
0.97	1.16
0.98	0.95
0.99	0.83
1.00	1.33
1.01	1.08
1.02	1.04
1.03	1.25
1.04	1.33
1.05	1.38
1.06	1.15
1.07	0.91
1.08	1.40
1.09	0.99
1.10	1.20
1.11	1.07
1.12	1.30
1.13	1.73
1.14	1.50
1.15	1.28
1.16	1.13
1.17	1.30
1.18	1.17
1.19	1.17
1.20	1.47
1.21	1.12
1.22	1.42
1.23	1.23
1.24	1.17
1.25	1.17
1.25	1.23
1.26	1.23
1.27	1.02
1.28	1.31
1.29	1.48
1.30	1.38
1.31	1.23
1.32	1.40
1.33	1.06
1.34	1.07
1.35	1.02
1.36	1.02
1.37	1.04
1.38	1.21
1.39	1.18
1.40	1.12
1.41	1.32
1.42	1.16
1.43	1.41
1.44	1.51
1.45	1.10
1.46	1.57
1.47	1.16
1.48	1.19
1.49	1.35
1.50	0.90
1.51	0.97
1.52	1.18
1.53	1.19
1.54	0.87
1.55	1.31
1.56	1.10
1.57	1.26
1.58	1.10
1.59	1.45
1.60	1.05
1.61	1.03
1.62	0.83
1.63	1.20
1.64	1.35
1.65	1.49
1.66	1.20
1.67	1.30
1.68	1.04
1.69	1.33
1.70	1.34
1.71	1.25
1.72	1.00
1.73	0.98
1.74	1.35
1.75	0.86
1.75	1.49
1.76	0.90
1.77	1.33
1.78	0.80
1.79	1.26
1.80	1.42
1.81	1.38
1.82	1.55
1.83	1.55
1.84	1.13
1.85	0.90
1.86	1.14
1.87	0.89
1.88	1.26
1.89	0.96
1.90	1.06
1.91	0.97
1.92	1.13
1.93	1.18
1.94	1.24
1.95	1.49
1.96	1.23
1.97	1.22
1.98	1.24
1.99	1.55
2.00	1.54
2.01	1.14
2.02	1.24
2.03	1.15
2.04	1.22
2.05	1.20
2.06	1.37
2.07	1.20
2.08	1.58
2.09	1.40
2.10	1.15
2.11	1.04
2.12	1.29
2.13	1.68
2.14	1.08
2.15	1.28
2.16	1.49
2.17	1.32
2.18	1.18
2.19	1.16
2.20	1.08
2.21	0.85
2.22	1.18
2.23	1.05
2.23	1.21
2.25	1.21
2.25	0.86
2.27	1.04
2.27	1.28
2.28	1.29
2.29	0.90
2.30	1.24
2.31	1.24
2.32	0.93
2.33	1.16
2.34	1.07
2.35	0.94
2.36	1.00
2.37	1.27
2.38	1.06
2.39	0.83
2.40	1.28
2.41	1.16
2.42	0.86
2.43	0.82
2.44	1.07
2.45	1.02
2.46	1.05
2.47	1.19
2.48	1.14
2.49	0.87
2.50	1.16
2.51	1.21
2.52	1.41
2.53	1.08
2.54	1.37
2.55	0.97
2.56	0.77
2.57	1.25
2.58	0.89
2.59	1.28
2.60	0.92
2.61	1.23
2.62	1.23
2.63	1.15
2.64	1.02
2.65	0.83
2.66	1.18
2.67	1.00
2.68	1.04
2.69	1.24
2.70	0.69
2.71	1.00
2.72	1.19
2.73	1.18
2.73	0.81
2.75	1.27
2.75	1.06
2.77	1.50
2.77	1.24
2.78	1.27
2.79	1.21
2.80	0.74
2.81	1.15
2.82	1.10
2.83	0.71
2.84	0.92
2.85	0.99
2.86	0.96
2.87	0.90
2.88	0.97
2.89	0.83
2.90	1.42
2.91	0.91
2.92	0.92
2.93	1.00
2.94	0.97
2.95	0.71
2.96	1.01
2.97	0.70
2.98	1.04
2.99	0.95
3.00	1.16
3.01	1.10
3.02	1.31
3.03	0.92
3.04	0.97
3.05	1.45
3.06	1.50
3.07	1.12
3.08	1.06
3.09	0.95
3.10	0.88
3.11	0.90
3.12	0.91
3.13	0.96
3.14	0.98
3.15	1.00
3.16	1.18
3.17	0.92
3.18	0.79
3.19	1.15
3.20	1.02
3.21	1.14
3.22	0.84
3.23	0.76
3.23	0.86
3.25	1.16
3.25	0.90
3.27	0.99
3.27	1.21
3.28	0.90
3.29	0.95
3.30	1.12
3.31	1.27
3.32	0.96
3.33	1.10
3.34	1.49
3.35	0.84
3.36	1.08
3.37	1.33
3.38	1.02
3.39	0.98
3.40	0.93
3.41	1.13
3.42	1.33
3.43	1.13
3.44	1.42
3.45	1.16
3.46	1.27
3.47	1.47
3.48	0.68
3.49	0.83
3.50	0.88
3.51	0.87
3.52	1.48
3.53	1.08
3.54	1.29
3.55	1.13
3.56	1.09
3.57	0.61
3.58	0.87
3.59	0.89
3.60	0.70
3.61	1.58
3.62	0.99
3.63	0.85
3.64	1.18
3.65	1.10
3.66	0.90
3.67	1.00
3.68	1.32
3.69	1.22
3.70	1.12
3.71	1.17
3.72	1.14
3.73	0.67
3.73	1.30
3.75	0.99
3.75	1.16
3.77	1.03
3.77	1.18
3.78	0.79
3.79	1.29
3.80	1.27
3.81	0.82
3.82	1.20
3.83	1.04
3.84	1.10
3.85	0.91
3.86	1.12
3.87	0.92
3.88	1.08
3.89	1.15
3.90	1.20
3.91	1.08
3.92	0.92
3.93	1.04
3.94	1.08
3.95	0.71
3.96	1.56
3.97	1.22
3.98	1.30
3.99	1.54
4.00	0.93
4.01	1.33
4.02	1.51
4.03	1.49
4.04	1.09
4.05	1.29
4.06	0.96
4.07	1.03
4.08	1.02
4.09	1.18
4.10	1.23
4.11	1.38
4.12	1.40
4.13	1.22
4.14	1.50
4.15	1.11
4.16	1.17
4.17	0.89
4.18	1.15
4.19	1.53
4.20	1.04
4.21	1.28
4.22	1.36
4.22	1.11
4.24	1.14
4.25	1.04
4.25	1.32
4.26	1.36
4.28	1.45
4.28	1.15
4.29	1.13
4.30	1.00
4.31	1.44
4.32	1.49
4.33	1.24
4.34	1.44
4.35	1.38
4.36	1.46
4.37	1.41
4.38	1.05
4.39	1.09
4.40	1.49
4.41	1.22
4.42	1.02
4.43	1.17
4.44	1.69
4.45	1.12
4.46	1.26
4.47	1.28
4.48	1.49
4.49	1.29
4.50	1.06
4.51	1.39
4.52	1.43
4.53	1.11
4.54	1.17
4.55	1.09
4.56	1.27
4.57	0.99
4.58	1.33
4.59	1.37
4.60	1.73
4.61	1.40
4.62	1.34
4.63	1.28
4.64	1.41
4.65	1.31
4.66	1.65
4.67	1.69
4.68	1.47
4.69	1.30
4.70	1.89
4.71	1.52
4.72	1.09
4.72	1.16
4.74	1.72
4.75	1.61
4.75	1.12
4.76	1.37
4.78	1.25
4.78	1.51
4.79	1.32
4.80	1.26
4.81	1.96
4.82	1.77
4.83	0.97
4.84	1.50
4.85	1.47
4.86	1.58
4.87	1.50
4.88	1.46
4.89	1.56
4.90	1.19
4.91	1.14
4.92	0.95
4.93	1.12
4.94	1.17
4.95	1.29
4.96	1.67
4.97	1.38
4.98	1.38
4.99	1.46
5.00	1.59
5.01	1.96
5.02	1.71
5.03	1.73
5.04	1.11
5.05	1.49
5.06	1.46
5.07	1.65
5.08	1.79
5.09	1.33
5.10	1.31
5.11	1.14
5.12	1.32
5.13	1.63
5.14	1.51
5.15	1.60
5.16	1.41
5.17	1.67
5.18	1.53
5.19	1.65
5.20	1.88
5.21	1.57
5.22	1.37
5.22	1.47
5.24	1.84
5.25	1.66
5.25	1.67
5.26	1.65
5.28	1.57
5.28	1.74
5.29	1.88
5.30	1.37
5.31	1.70
5.32	1.57
5.33	1.45
5.34	1.53
5.35	1.83
5.36	1.77
5.37	1.87
5.38	1.74
5.39	1.70
5.40	1.91
5.41	1.58
5.42	1.74
5.43	1.80
5.44	1.25
5.45	1.71
5.46	1.36
5.47	1.59
5.48	1.38
5.49	1.73
5.50	2.18
5.51	1.38
5.52	1.94
5.53	1.44
5.54	1.56
5.55	1.61
5.56	1.58
5.57	1.64
5.58	1.58
5.59	1.81
5.60	1.87
5.61	1.62
5.62	1.50
5.63	1.63
5.64	1.69
5.65	1.76
5.66	1.20
5.67	1.49
5.68	1.88
5.69	1.74
5.70	1.57
5.71	2.03
5.72	1.82
5.72	1.71
5.74	1.80
5.75	1.62
5.75	1.61
5.76	1.89
5.78	1.82
5.78	1.54
5.79	1.72
5.80	1.60
5.81	2.09
5.82	1.79
5.83	1.41
5.84	1.87
5.85	1.81
5.86	1.81
5.87	1.58
5.88	1.88
5.89	1.67
5.90	1.54
5.91	1.62
5.92	1.76
5.93	1.42
5.94	1.87
5.95	1.61
5.96	1.99
5.97	1.66
5.98	1.56
5.99	1.63
6.00	2.00
6.01	1.39
6.02	1.80
6.03	1.69
6.04	1.77
6.05	1.76
6.06	1.70
6.07	2.49
6.08	1.98
6.09	1.82
6.10	1.60
6.11	1.43
6.12	2.07
6.13	2.02
6.14	1.57
6.15	2.25
6.16	1.57
6.17	1.58
6.18	1.70
6.19	1.65
6.20	1.61
6.21	2.12
6.22	1.54
6.22	2.08
6.24	1.78
6.25	1.91
6.25	1.50
6.26	1.92
6.28	1.66
6.28	2.14
6.29	2.39
6.30	1.61
6.31	1.87
6.32	1.90
6.33	2.20
6.34	1.72
6.35	2.09
6.36	1.86
6.37	1.63
6.38	1.85
6.39	1.80
6.40	2.20
6.41	1.53
6.42	2.02
6.43	1.96
6.44	1.53
6.45	2.12
6.46	2.10
6.47	1.59
6.48	2.20
6.49	1.80
6.50	1.71
6.51	1.76
6.52	1.24
6.53	1.73
6.54	1.78
6.55	1.79
6.56	1.98
6.57	1.67
6.58	1.66
6.59	2.01
6.60	1.90
6.61	2.11
6.62	1.87
6.63	1.63
6.64	1.69
6.65	2.14
6.66	2.31
6.67	2.01
6.68	1.71
6.69	1.78
6.70	1.91
6.71	1.86
6.72	1.66
6.72	1.39
6.74	1.99
6.75	1.92
6.75	1.87
6.76	1.48
6.78	2.12
6.78	1.44
6.79	1.85
6.80	1.95
6.81	1.81
6.82	1.75
6.83	1.71
6.84	1.99
6.85	1.50
6.86	2.36
6.87	1.84
6.88	1.87
6.89	1.77
6.90	1.96
6.91	1.65
6.92	1.53
6.93	1.55
6.94	1.82
6.95	1.50
6.96	1.95
6.97	1.78
6.98	1.80
6.99	1.26
7.00	2.19
7.01	1.86
7.02	1.76
7.03	1.79
7.04	1.89
7.05	1.83
7.06	1.60
7.07	1.69
7.08	1.91
7.09	1.71
7.10	1.84
7.11	2.04
7.12	1.61
7.13	2.16
7.14	1.85
7.15	1.27
7.16	1.72
7.17	1.39
7.18	1.76
7.19	1.72
7.20	1.73
7.21	1.93
7.22	1.90
7.22	2.11
7.24	1.96
7.25	2.26
7.25	2.14
7.26	1.51
7.28	1.72
7.28	2.07
7.29	1.84
7.30	1.99
7.31	1.84
7.32	1.94
7.33	1.93
7.34	1.56
7.35	1.72
7.36	1.85
7.37	1.51
7.38	1.52
7.39	1.66
7.40	1.50
7.41	1.58
7.42	1.60
7.43	1.67
7.44	1.71
7.45	1.86
7.46	1.72
7.47	2.12
7.48	1.89
7.49	2.00
7.50	1.91
7.51	1.45
7.52	1.67
7.53	1.71
7.54	1.85
7.55	1.88
7.56	1.99
7.57	1.66
7.58	1.78
7.59	1.52
7.60	2.10
7.61	1.57
7.62	1.55
7.63	2.26
7.64	1.95
7.65	1.62
7.66	1.99
7.67	1.80
7.68	1.75
7.69	1.42
7.70	1.61
7.71	1.84
7.72	1.51
7.72	1.92
7.74	1.84
7.75	1.98
7.75	1.74
7.76	1.82
7.78	1.62
7.78	1.70
7.79	2.00
7.80	2.05
7.81	1.84
7.82	1.43
7.83	1.75
7.84	1.79
7.85	1.94
7.86	1.67
7.87	1.31
7.88	1.83
7.89	1.28
7.90	1.64
7.91	1.78
7.92	1.91
7.93	1.34
7.94	1.74
7.95	1.95
7.96	1.95
7.97	1.62
7.98	1.91
7.99	1.46
8.00	1.99
8.01	2.10
8.02	1.86
8.03	1.82
8.04	2.22
8.05	2.25
8.06	2.00
8.07	1.87
8.08	1.83
8.09	1.86
8.10	2.23
8.11	2.07
8.12	1.88
8.13	1.94
8.14	2.11
8.15	1.70
8.16	1.80
8.17	1.65
8.18	1.78
8.19	2.04
8.20	1.92
8.21	1.75
8.22	1.63
8.22	1.51
8.23	1.97
8.24	1.90
8.26	1.55
8.27	1.91
8.28	1.96
8.28	1.87
8.29	1.80
8.30	1.85
8.31	2.04
8.32	1.87
8.33	2.03
8.34	2.08
8.35	1.44
8.36	1.93
8.37	2.10
8.38	1.71
8.39	1.90
8.40	1.45
8.41	1.77
8.42	1.60
8.43	2.27
8.44	2.27
8.45	1.80
8.46	1.99
8.47	1.67
8.48	2.13
8.49	1.90
8.50	1.90
8.51	1.80
8.52	2.06
8.53	1.81
8.54	2.20
8.55	1.59
8.56	1.86
8.57	1.94
8.58	1.83
8.59	1.97
8.60	1.78
8.61	1.84
8.62	1.58
8.63	2.02
8.64	1.68
8.65	1.93
8.66	1.71
8.67	2.07
8.68	1.81
8.69	1.51
8.70	1.87
8.71	1.66
8.72	1.74
8.72	1.93
8.73	2.07
8.74	2.16
8.76	1.71
8.77	1.44
8.78	1.79
8.78	2.15
8.79	1.87
8.80	1.78
8.81	1.88
8.82	1.75
8.83	2.08
8.84	2.12
8.85	1.71
8.86	1.94
8.87	1.88
8.88	1.70
8.89	2.08
8.90	1.68
8.91	1.82
8.92	2.04
8.93	1.69
8.94	2.04
8.95	1.55
8.96	1.68
8.97	2.12
8.98	1.90
8.99	2.33
9.00	1.81
9.01	1.86
9.02	1.60
9.03	1.88
9.04	1.74
9.05	2.47
9.06	2.02
9.07	2.11
9.08	1.94
9.09	1.98
9.10	1.82
9.11	2.03
9.12	1.43
9.13	2.08
9.14	1.81
9.15	2.11
9.16	1.85
9.17	2.14
9.18	1.98
9.19	2.05
9.20	1.91
9.21	1.93
9.22	1.88
9.22	1.47
9.23	1.49
9.24	2.26
9.26	2.25
9.27	2.25
9.28	1.91
9.28	1.96
9.29	2.51
9.30	1.73
9.31	2.30
9.32	2.05
9.33	2.60
9.34	1.89
9.35	2.48
9.36	2.14
9.37	2.33
9.38	2.16
9.39	1.99
9.40	2.17
9.41	1.98
9.42	2.30
9.43	2.31
9.44	2.04
9.45	2.29
9.46	2.33
9.47	2.15
9.48	2.06
9.49	2.13
9.50	2.29
9.51	2.47
9.52	2.19
9.53	2.37
9.54	2.38
9.55	2.52
9.56	2.10
9.57	2.28
9.58	2.38
9.59	2.02
9.60	1.94
9.61	2.38
9.62	2.08
9.63	2.13
9.64	2.52
9.65	2.44
9.66	2.74
9.67	2.16
9.68	2.18
9.69	2.68
9.70	2.39
9.71	2.08
9.72	2.37
9.72	1.95
9.73	2.42
9.74	1.77
9.76	2.23
9.77	2.98
9.78	1.86
9.78	2.14
9.79	2.35
9.80	2.23
9.81	2.72
9.82	2.90
9.83	2.38
9.84	2.20
9.85	2.31
9.86	1.98
9.87	2.48
9.88	2.30
9.89	2.59
9.90	2.21
9.91	2.38
9.92	2.62
9.93	2.36
9.94	2.42
9.95	2.24
9.96	2.51
9.97	2.22
9.98	2.44
9.99	2.41
10.00	2.54
10.01	2.31
10.02	2.54
10.03	2.02
10.04	2.24
10.05	2.41
10.06	2.74
10.07	1.85
10.08	2.44
10.09	2.76
10.10	2.56
10.11	2.44
10.12	2.27
10.13	2.47
10.14	2.33
10.15	2.02
10.16	2.69
10.17	2.39
10.18	2.58
10.19	2.33
10.20	2.72
10.21	2.73
10.22	2.60
10.22	2.37
10.23	2.47
10.24	2.46
10.26	2.30
10.27	2.56
10.28	2.43
10.28	2.78
10.29	2.57
10.30	2.41
10.31	2.83
10.32	2.44
10.33	2.37
10.34	2.22
10.35	2.31
10.36	2.53
10.37	2.45
10.38	2.54
10.39	2.65
10.40	2.82
10.41	2.30
10.42	2.33
10.43	2.28
10.44	2.54
10.45	2.97
10.46	2.53
10.47	2.72
10.48	2.78
10.49	2.74
10.50	3.02
10.51	2.48
10.52	2.34
10.53	2.87
10.54	2.71
10.55	2.88
10.56	2.77
10.57	2.66
10.58	2.80
10.59	2.53
10.60	2.36
10.61	2.92
10.62	2.30
10.63	2.71
10.64	2.65
10.65	2.67
10.66	2.64
10.67	2.61
10.68	2.87
10.69	2.09
10.70	2.35
10.71	2.49
10.72	2.86
10.72	2.86
10.73	2.32
10.74	2.16
10.76	3.32
10.77	3.14
10.78	2.74
10.78	2.87
10.79	2.41
10.80	2.70
10.81	2.69
10.82	2.33
10.83	2.88
10.84	2.45
10.85	2.75
10.86	3.11
10.87	2.54
10.88	2.87
10.89	2.77
10.90	2.69
10.91	2.41
10.92	2.64
10.93	2.65
10.94	2.65
10.95	2.96
10.96	2.66
10.97	3.33
10.98	2.91
10.99	2.95
11.00	2.78
11.01	2.74
11.02	3.48
11.03	2.47
11.04	2.53
11.05	2.96
11.06	2.87
11.07	2.73
11.08	2.98
11.09	2.78
11.10	3.07
11.11	2.74
11.12	2.83
11.13	2.56
11.14	2.91
11.15	2.81
11.16	3.07
11.17	2.96
11.18	2.50
11.19	2.68
11.20	3.03
11.21	2.63
11.22	2.98
11.22	2.75
11.23	2.86
11.24	2.96
11.26	3.02
11.27	2.92
11.28	2.61
11.28	2.66
11.29	2.84
11.30	2.99
11.31	3.12
11.32	2.90
11.33	2.98
11.34	2.72
11.35	3.12
11.36	3.10
11.37	2.94
11.38	2.51
11.39	2.90
11.40	2.93
11.41	3.15
11.42	2.85
11.43	2.71
11.44	2.31
11.45	2.99
11.46	2.84
11.47	2.83
11.48	2.87
11.49	3.09
11.50	3.05
11.51	2.60
11.52	2.91
11.53	3.01
11.54	2.83
11.55	2.73
11.56	2.61
11.57	2.85
11.58	3.30
11.59	2.99
11.60	2.73
11.61	3.04
11.62	2.66
11.63	2.71
11.64	2.98
11.65	2.91
11.66	2.89
11.67	2.34
11.68	2.70
11.69	3.15
11.70	2.38
11.71	2.42
11.72	2.66
11.72	2.81
11.73	2.86
11.74	2.85
11.76	2.65
11.77	2.78
11.78	2.92
11.78	2.93
11.79	2.77
11.80	3.13
11.81	3.36
11.82	3.17
11.83	3.06
11.84	2.78
11.85	2.71
11.86	2.76
11.87	2.83
11.88	3.35
11.89	3.04
11.90	2.64
11.91	3.01
11.92	3.00
11.93	3.00
11.94	2.82
11.95	3.10
11.96	3.19
11.97	2.87
11.98	2.80
11.99	2.79
12.00	2.68
12.01	2.80
12.02	2.22
12.03	2.74
12.04	2.94
12.05	3.02
12.06	2.77
12.07	2.61
12.08	3.20
12.09	2.81
12.10	2.94
12.11	2.33
12.12	3.22
12.13	2.83
12.14	2.67
12.15	2.33
12.16	2.76
12.17	3.25
12.18	2.82
12.19	2.72
12.20	3.29
12.21	2.68
12.22	2.99
12.22	2.93
12.23	3.08
12.24	3.24
12.26	3.27
12.27	2.20
12.28	2.46
12.28	2.57
12.29	3.00
12.30	2.88
12.31	2.49
12.32	2.53
12.33	2.83
12.34	3.21
12.35	3.24
12.36	3.14
12.37	2.38
12.38	3.23
12.39	2.42
12.40	3.39
12.41	2.80
12.42	2.85
12.43	3.07
12.44	2.50
12.45	2.97
12.46	2.70
12.47	2.79
12.48	3.02
12.49	2.68
12.50	3.15
12.51	3.19
12.52	3.06
12.53	2.63
12.54	2.79
12.55	3.05
12.56	2.84
12.57	3.12
12.58	2.21
12.59	3.11
12.60	2.99
12.61	2.62
12.62	2.72
12.63	3.02
12.64	2.53
12.65	2.91
12.66	3.05
12.67	3.07
12.68	3.28
12.69	2.65
12.70	2.93
12.71	2.90
12.72	2.88
12.72	2.75
12.73	3.53
12.74	2.72
12.76	2.76
12.77	2.55
12.78	2.89
12.78	2.41
12.79	3.03
12.80	2.69
12.81	3.23
12.82	2.81
12.83	2.70
12.84	2.64
12.85	2.81
12.86	2.56
12.87	2.93
12.88	2.83
12.89	2.80
12.90	2.86
12.91	2.79
12.92	3.17
12.93	2.78
12.94	3.18
12.95	2.87
12.96	2.84
12.97	2.30
12.98	2.67
12.99	2.24
13.00	2.84
13.01	3.10
13.02	3.28
13.03	2.56
13.04	3.29
13.05	2.37
13.06	3.25
13.07	2.42
13.08	3.02
13.09	3.08
13.10	2.85
13.11	2.96
13.12	3.01
13.13	3.53
13.14	3.17
13.15	3.10
13.16	3.07
13.17	3.00
13.18	2.71
13.19	2.78
13.20	2.84
13.21	3.11
13.22	2.03
13.22	3.41
13.23	2.80
13.24	3.10
13.26	2.94
13.27	2.66
13.28	2.68
13.28	2.79
13.29	3.34
13.30	2.78
13.31	3.06
13.32	3.56
13.33	3.36
13.34	2.75
13.35	3.29
13.36	2.61
13.37	3.04
13.38	2.46
13.39	3.01
13.40	3.35
13.41	2.51
13.42	3.31
13.43	2.83
13.44	3.06
13.45	3.10
13.46	2.94
13.47	3.10
13.48	3.02
13.49	3.49
13.50	2.99
13.51	2.96
13.52	3.24
13.53	3.34
13.54	3.16
13.55	2.73
13.56	3.06
13.57	3.42
13.58	3.54
13.59	2.85
13.60	3.24
13.61	3.46
13.62	3.20
13.63	3.20
13.64	3.78
13.65	3.39
13.66	3.21
13.67	2.92
13.68	2.18
13.69	3.44
13.70	3.43
13.71	3.26
13.72	3.04
13.72	3.41
13.73	3.51
13.74	3.22
13.76	3.67
13.77	3.20
13.78	3.28
13.78	3.00
13.79	3.52
13.80	2.79
13.81	3.36
13.82	3.04
13.83	3.21
13.84	3.93
13.85	3.08
13.86	3.70
13.87	3.44
13.88	3.30
13.89	2.51
13.90	3.56
13.91	3.01
13.92	2.72
13.93	3.44
13.94	3.02
13.95	3.64
13.96	3.40
13.97	3.32
13.98	3.59
13.99	3.50
14.00	3.78
14.01	3.17
14.02	3.51
14.03	2.69
14.04	3.74
14.05	3.13
14.06	3.75
14.07	3.26
14.08	3.12
14.09	3.57
14.10	3.09
14.11	3.60
14.12	3.75
14.13	2.92
14.14	2.81
14.15	3.68
14.16	3.24
14.17	3.32
14.18	3.36
14.19	3.54
14.20	3.27
14.21	4.11
14.22	2.99
14.22	3.08
14.23	3.27
14.24	3.45
14.26	3.55
14.27	3.50
14.28	3.62
14.28	3.74
14.29	4.21
14.30	3.66
14.31	3.34
14.32	3.15
14.33	3.55
14.34	3.98
14.35	3.54
14.36	3.63
14.37	3.25
14.38	3.22
14.39	3.55
14.40	3.24
14.41	3.94
14.42	3.34
14.43	3.26
14.44	3.58
14.45	3.60
14.46	3.30
14.47	3.52
14.48	3.65
14.49	3.71
14.50	3.78
14.51	3.03
14.52	4.18
14.53	3.46
14.54	3.64
14.55	3.42
14.56	3.41
14.57	3.55
14.58	3.23
14.59	3.43
14.60	3.34
14.61	3.30
14.62	3.82
14.63	4.14
14.64	3.57
14.65	3.89
14.66	3.76
14.67	3.27
14.68	3.27
14.69	3.45
14.70	3.41
14.71	3.49
14.72	3.32
14.72	3.64
14.73	3.61
14.74	3.36
14.76	3.39
14.77	3.19
14.78	3.96
14.78	3.87
14.79	3.34
14.80	3.96
14.81	3.91
14.82	3.57
14.83	3.27
14.84	3.61
14.85	4.04
14.86	3.98
14.87	3.71
14.88	4.36
14.89	3.68
14.90	4.04
14.91	3.95
14.92	4.18
14.93	4.02
14.94	3.62
14.95	3.64
14.96	4.14
14.97	3.71
14.98	3.70
14.99	3.62
15.00	4.21
15.01	3.42
15.02	3.52
15.03	3.98
15.04	3.97
15.05	3.71
15.06	3.61
15.07	3.61
15.08	3.18
15.09	4.02
15.10	4.13
15.11	3.59
15.12	3.74
15.13	3.83
15.14	4.06
15.15	3.99
15.16	4.24
15.17	4.57
15.18	4.09
15.19	3.61
15.20	3.56
15.21	3.97
15.22	4.11
15.22	4.07
15.23	4.11
15.24	4.45
15.26	3.49
15.27	4.44
15.28	3.71
15.28	3.99
15.29	4.17
15.30	3.99
15.31	3.25
15.32	3.70
15.33	3.64
15.34	3.58
15.35	4.14
15.36	3.89
15.37	4.27
15.38	4.29
15.39	3.88
15.40	4.00
15.41	3.94
15.42	3.86
15.43	3.68
15.44	4.19
15.45	4.14
15.46	4.27
15.47	4.63
15.48	4.42
15.49	3.89
15.50	4.49
15.51	3.77
15.52	4.75
15.53	3.73
15.54	3.83
15.55	4.13
15.56	3.90
15.57	3.89
15.58	4.28
15.59	3.90
15.60	4.33
15.61	4.33
15.62	4.45
15.63	4.21
15.64	4.03
15.65	3.80
15.66	3.77
15.67	4.37
15.68	4.14
15.69	3.95
15.70	3.85
15.71	3.60
15.72	4.39
15.72	4.04
15.73	3.90
15.74	3.90
15.76	4.32
15.77	4.30
15.78	3.76
15.78	4.05
15.79	4.14
15.80	4.42
15.81	3.77
15.82	3.56
15.83	4.20
15.84	4.26
15.85	3.93
15.86	4.57
15.87	4.28
15.88	4.42
15.89	4.38
15.90	4.37
15.91	4.33
15.92	4.36
15.93	3.48
15.94	4.25
15.95	4.31
15.96	4.25
15.97	3.94
15.98	3.49
15.99	4.65
16.00	4.19
16.01	3.93
16.02	4.06
16.03	4.18
16.04	4.01
16.05	4.22
16.06	4.39
16.07	4.65
16.08	4.29
16.09	4.32
16.10	4.31
16.11	3.78
16.12	3.77
16.13	4.60
16.14	4.73
16.15	4.18
16.16	4.57
16.17	4.30
16.18	4.11
16.19	4.68
16.20	3.98
16.21	4.67
16.22	3.95
16.23	4.29
16.23	3.97
16.25	4.31
16.25	4.70
16.27	4.31
16.27	4.21
16.28	4.69
16.29	4.31
16.30	4.81
16.31	4.36
16.32	4.48
16.33	4.46
16.34	4.30
16.35	3.53
16.36	4.36
16.37	4.15
16.38	3.98
16.39	4.24
16.40	4.90
16.41	4.69
16.42	4.27
16.43	4.77
16.44	4.00
16.45	4.68
16.46	4.30
16.47	4.39
16.48	4.61
16.49	3.83
16.50	4.40
16.51	4.64
16.52	4.78
16.53	4.80
16.54	3.71
16.55	4.28
16.56	4.65
16.57	4.37
16.58	4.69
16.59	4.51
16.60	4.65
16.61	4.63
16.62	4.04
16.63	4.01
16.64	4.23
16.65	4.88
16.66	4.52
16.67	4.41
16.68	4.41
16.69	4.53
16.70	4.49
16.71	4.85
16.72	4.79
16.73	4.25
16.73	4.31
16.75	3.93
16.75	4.45
16.77	4.43
16.77	4.39
16.78	4.69
16.79	4.22
16.80	3.91
16.81	4.35
16.82	4.46
16.83	4.13
16.84	5.13
16.85	4.73
16.86	4.58
16.87	4.41
16.88	4.44
16.89	4.35
16.90	4.59
16.91	4.18
16.92	4.81
16.93	4.78
16.94	4.50
16.95	4.66
16.96	4.76
16.97	4.73
16.98	4.32
16.99	5.05
17.00	4.82
17.01	4.07
17.02	4.60
17.03	4.16
17.04	4.16
17.05	4.42
17.06	4.98
17.07	4.43
17.08	4.23
17.09	4.25
17.10	4.65
17.11	4.06
17.12	4.41
17.13	4.24
17.14	5.10
17.15	4.92
17.16	4.56
17.17	4.78
17.18	4.22
17.19	4.17
17.20	4.17
17.21	4.98
17.22	4.43
17.23	4.62
17.23	4.53
17.25	4.40
17.25	5.43
17.27	4.81
17.27	4.42
17.28	4.70
17.29	4.79
17.30	5.25
17.31	4.42
17.32	4.51
17.33	4.20
17.34	4.61
17.35	4.96
17.36	4.21
17.37	4.20
17.38	4.48
17.39	4.36
17.40	4.68
17.41	4.45
17.42	5.03
17.43	4.90
17.44	4.61
17.45	4.48
17.46	4.48
17.47	4.37
17.48	4.46
17.49	5.19
17.50	4.98
17.51	4.77
17.52	4.95
17.53	4.86
17.54	4.12
17.55	5.00
17.56	4.05
17.57	5.35
17.58	5.11
17.59	4.34
17.60	4.85
17.61	4.48
17.62	4.49
17.63	4.56
17.64	4.63
17.65	4.63
17.66	4.20
17.67	4.10
17.68	5.27
17.69	4.55
17.70	4.72
17.71	4.82
17.72	4.75
17.73	4.78
17.73	4.91
17.75	5.00
17.75	5.02
17.77	4.53
17.77	4.87
17.78	5.49
17.79	4.70
17.80	4.73
17.81	4.77
17.82	5.16
17.83	4.16
17.84	4.95
17.85	4.98
17.86	4.96
17.87	4.80
17.88	4.57
17.89	4.81
17.90	5.27
17.91	4.86
17.92	4.82
17.93	4.65
17.94	4.80
17.95	4.63
17.96	4.61
17.97	4.83
17.98	4.74
17.99	4.80
18.00	4.48
18.01	4.55
18.02	5.10
18.03	5.13
18.04	4.34
18.05	5.26
18.06	4.98
18.07	4.83
18.08	4.89
18.09	4.56
18.10	4.88
18.11	5.05
18.12	4.63
18.13	5.43
18.14	5.46
18.15	5.00
18.16	4.55
18.17	4.54
18.18	5.12
18.19	4.84
18.20	5.38
18.21	5.04
18.22	5.04
18.23	4.07
18.23	4.56
18.25	4.79
18.25	4.65
18.27	5.24
18.27	5.07
18.28	4.58
18.29	5.27
18.30	4.49
18.31	5.02
18.32	5.00
18.33	5.40
18.34	5.05
18.35	5.01
18.36	5.16
18.37	5.02
18.38	4.94
18.39	4.99
18.40	4.89
18.41	4.82
18.42	4.88
18.43	4.95
18.44	4.80
18.45	5.07
18.46	5.18
18.47	5.51
18.48	4.83
18.49	4.28
18.50	5.02
18.51	5.11
18.52	4.54
18.53	5.17
18.54	4.19
18.55	5.84
18.56	5.43
18.57	5.51
18.58	4.68
18.59	5.20
18.60	4.68
18.61	5.20
18.62	5.51
18.63	5.20
18.64	5.57
18.65	5.12
18.66	4.80
18.67	4.83
18.68	4.97
18.69	5.21
18.70	4.59
18.71	4.96
18.72	5.74
18.73	5.78
18.73	5.15
18.75	5.59
18.75	5.53
18.77	5.58
18.77	5.84
18.78	5.20
18.79	5.28
18.80	5.39
18.81	5.85
18.82	5.34
18.83	5.69
18.84	5.70
18.85	5.57
18.86	5.59
18.87	5.42
18.88	5.15
18.89	4.92
18.90	5.29
18.91	4.97
18.92	5.50
18.93	5.21
18.94	5.46
18.95	4.80
18.96	5.04
18.97	5.60
18.98	5.71
18.99	5.14
19.00	5.25
19.01	5.26
19.02	5.69
19.03	5.18
19.04	5.23
19.05	5.60
19.06	5.54
19.07	4.90
19.08	5.96
19.09	5.86
19.10	5.83
19.11	5.18
19.12	5.40
19.13	5.10
19.14	5.86
19.15	5.12
19.16	5.48
19.17	5.20
19.18	5.51
19.19	5.74
19.20	4.79
19.21	6.61
19.22	5.43
19.23	5.70
19.23	4.98
19.25	5.03
19.25	5.64
19.27	5.09
19.27	4.93
19.28	5.95
19.29	6.04
19.30	5.79
19.31	5.79
19.32	5.83
19.33	5.14
19.34	6.00
19.35	5.44
19.36	5.00
19.37	6.54
19.38	5.40
19.39	6.38
19.40	5.07
19.41	6.16
19.42	5.88
19.43	5.18
19.44	5.61
19.45	5.33
19.46	5.63
19.47	5.67
19.48	5.17
19.49	6.40
19.50	5.85
19.51	5.77
19.52	5.29
19.53	6.30
19.54	5.83
19.55	5.92
19.56	5.98
19.57	5.42
19.58	6.01
19.59	5.70
19.60	5.93
19.61	5.13
19.62	6.17
19.63	5.61
19.64	6.13
19.65	6.21
19.66	5.32
19.67	5.64
19.68	6.01
19.69	5.86
19.70	5.96
19.71	5.99
19.72	5.95
19.73	6.17
19.73	5.59
19.75	6.78
19.75	6.06
19.77	6.27
19.77	6.42
19.78	6.11
19.79	5.98
19.80	5.49
19.81	6.54
19.82	5.46
19.83	5.54
19.84	6.25
19.85	6.28
19.86	5.94
19.87	7.57
19.88	5.69
19.89	6.26
19.90	5.62
19.91	7.02
19.92	6.35
19.93	6.42
19.94	6.75
19.95	5.73
19.96	5.77
19.97	5.94
19.98	6.00
19.99	5.73
20.00	5.77
20.01	6.43
20.02	5.76
20.03	6.00
20.04	6.77
20.05	6.57
20.06	6.73
20.07	5.65
20.08	6.04
20.09	6.32
20.10	6.32
20.11	6.30
20.12	5.87
20.13	6.10
20.14	6.56
20.15	6.33
20.16	6.04
20.17	6.09
20.18	6.48
20.19	6.70
20.20	6.95
20.21	6.27
20.22	6.26
20.23	6.54
20.23	6.38
20.25	6.28
20.25	6.99
20.27	6.26
20.27	6.27
20.28	5.61
20.29	6.66
20.30	5.85
20.31	6.17
20.32	6.49
20.33	6.13
20.34	5.66
20.35	6.13
20.36	6.46
20.37	6.81
20.38	6.57
20.39	6.78
20.40	6.16
20.41	6.61
20.42	6.96
20.43	6.60
20.44	6.93
20.45	6.57
20.46	6.49
20.47	6.28
20.48	6.93
20.49	7.04
20.50	7.17
20.51	6.73
20.52	6.74
20.53	6.23
20.54	6.70
20.55	6.52
20.56	6.39
20.57	6.93
20.58	6.08
20.59	7.00
20.60	6.26
20.61	6.70
20.62	6.27
20.63	6.12
20.64	6.58
20.65	6.00
20.66	6.90
20.67	6.49
20.68	6.48
20.69	7.47
20.70	6.33
20.71	6.77
20.72	6.15
20.73	6.51
20.73	6.36
20.75	7.36
20.75	6.98
20.77	6.63
20.77	6.49
20.78	6.33
20.79	6.57
20.80	6.34
20.81	6.31
20.82	6.46
20.83	6.91
20.84	6.96
20.85	7.29
20.86	6.30
20.87	6.12
20.88	6.46
20.89	6.62
20.90	7.16
20.91	6.22
20.92	6.55
20.93	7.38
20.94	7.25
20.95	6.72
20.96	7.40
20.97	6.82
20.98	6.80
20.99	6.75
21.00	6.58
21.01	6.32
21.02	7.79
21.03	6.01
21.04	6.97
21.05	6.59
21.06	6.22
21.07	7.23
21.08	5.75
21.09	6.46
21.10	6.38
21.11	7.38
21.12	6.98
21.13	7.08
21.14	6.34
21.15	6.64
21.16	6.74
21.17	6.70
21.18	6.23
21.19	7.02
21.20	7.65
21.21	6.46
21.22	7.12
21.23	7.12
21.23	6.33
21.25	7.24
21.25	7.08
21.27	7.40
21.27	6.41
21.28	7.73
21.29	6.93
21.30	7.69
21.31	6.41
21.32	7.14
21.33	7.12
21.34	7.22
21.35	7.22
21.36	6.50
21.37	6.84
21.38	7.43
21.39	7.20
21.40	7.02
21.41	7.27
21.42	7.39
21.43	6.85
21.44	6.09
21.45	7.01
21.46	7.97
21.47	6.51
21.48	7.79
21.49	6.30
21.50	7.52
21.51	7.68
21.52	7.29
21.53	6.93
21.54	6.74
21.55	6.73
21.56	6.54
21.57	7.10
21.58	7.26
21.59	7.35
21.60	6.45
21.61	6.74
21.62	6.84
21.63	6.99
21.64	7.54
21.65	7.42
21.66	7.66
21.67	6.58
21.68	7.19
21.69	7.22
21.70	7.59
21.71	7.68
21.72	7.73
21.73	7.45
21.73	7.39
21.75	6.82
21.75	7.02
21.77	7.75
21.77	7.69
21.78	6.90
21.79	7.59
21.80	7.04
21.81	7.32
21.82	7.68
21.83	7.56
21.84	7.38
21.85	7.71
21.86	7.12
21.87	7.37
21.88	8.26
21.89	7.64
21.90	7.28
21.91	7.04
21.92	6.56
21.93	7.50
21.94	6.56
21.95	7.09
21.96	7.32
21.97	6.94
21.98	6.97
21.99	6.91
22.00	6.83
22.01	6.96
22.02	7.04
22.03	6.52
22.04	7.11
22.05	7.38
22.06	7.77
22.07	6.91
22.08	7.16
22.09	7.25
22.10	7.59
22.11	7.22
22.12	7.18
22.13	7.76
22.14	7.34
22.15	6.59
22.16	8.51
22.17	7.63
22.18	7.79
22.19	7.00
22.20	7.00
22.21	7.03
22.22	6.06
22.23	6.93
22.23	8.01
22.25	7.15
22.25	7.75
22.27	7.74
22.27	8.11
22.28	7.24
22.29	6.86
22.30	6.70
22.31	7.63
22.32	6.83
22.33	7.45
22.34	7.20
22.35	7.83
22.36	8.18
22.37	7.23
22.38	7.63
22.39	7.38
22.40	7.63
22.41	7.94
22.42	6.82
22.43	6.82
22.44	7.56
22.45	7.70
22.46	6.72
22.47	7.37
22.48	7.39
22.49	7.74
22.50	6.99
22.51	7.54
22.52	8.12
22.53	6.83
22.54	7.84
22.55	7.92
22.56	7.81
22.57	8.60
22.58	8.12
22.59	7.75
22.60	7.08
22.61	7.82
22.62	7.72
22.63	7.19
22.64	8.08
22.65	7.59
22.66	7.22
22.67	8.21
22.68	7.38
22.69	8.13
22.70	7.68
22.71	7.61
22.72	6.94
22.73	7.56
22.73	8.10
22.75	7.45
22.75	7.38
22.77	7.83
22.77	8.12
22.78	7.15
22.79	7.35
22.80	7.62
22.81	7.73
22.82	7.24
22.83	7.92
22.84	7.66
22.85	7.66
22.86	7.48
22.87	8.05
22.88	6.92
22.89	6.96
22.90	7.01
22.91	7.89
22.92	8.16
22.93	8.10
22.94	7.29
22.95	7.69
22.96	7.62
22.97	7.34
22.98	8.44
22.99	7.25
23.00	7.65
23.01	8.82
23.02	7.45
23.03	8.26
23.04	7.56
23.05	7.71
23.06	8.24
23.07	8.22
23.08	8.77
23.09	8.42
23.10	8.20
23.11	7.76
23.12	8.01
23.13	7.54
23.14	8.35
23.15	7.89
23.16	6.96
23.17	8.22
23.18	7.50
23.19	8.66
23.20	7.92
23.21	8.68
23.22	8.01
23.23	8.11
23.23	8.09
23.25	7.89
23.25	7.09
23.27	8.07
23.27	8.49
23.28	7.54
23.29	8.22
23.30	8.66
23.31	8.57
23.32	8.21
23.33	7.63
23.34	7.38
23.35	8.03
23.36	7.64
23.37	8.11
23.38	7.32
23.39	7.86
23.40	8.85
23.41	8.49
23.42	8.13
23.43	7.40
23.44	8.60
23.45	7.06
23.46	8.34
23.47	8.84
23.48	9.20
23.49	8.61
23.50	8.85
23.51	9.01
23.52	8.37
23.53	8.37
23.54	9.30
23.55	8.29
23.56	8.38
23.57	9.52
23.58	9.12
23.59	8.61
23.60	7.95
23.61	8.79
23.62	8.51
23.63	8.75
23.64	8.12
23.65	9.28
23.66	7.80
23.67	7.50
23.68	8.54
23.69	8.94
23.70	7.80
23.71	8.55
23.72	7.66
23.73	8.16
23.73	9.38
23.75	8.21
23.75	8.42
23.77	8.67
23.77	8.43
23.78	7.80
23.79	8.62
23.80	8.11
23.81	8.53
23.82	8.35
23.83	8.99
23.84	8.46
23.85	8.89
23.86	8.89
23.87	8.21
23.88	9.22
23.89	9.03
23.90	9.29
23.91	8.29
23.92	8.26
23.93	8.56
23.94	8.69
23.95	8.06
23.96	8.34
23.97	9.07
23.98	7.67
23.99	8.66
24.00	8.97
24.01	9.08
24.02	9.24
24.03	8.89
24.04	8.96
24.05	8.30
24.06	9.37
24.07	8.00
24.08	8.75
24.09	8.46
24.10	8.41
24.11	7.93
24.12	9.00
24.13	9.72
24.14	8.06
24.15	8.09
24.16	9.06
24.17	9.64
24.18	8.87
24.19	8.57
24.20	9.53
24.21	9.50
24.22	8.81
24.23	9.63
24.23	9.05
24.25	8.03
24.25	9.28
24.27	8.86
24.27	8.83
24.28	9.42
24.29	8.20
24.30	8.75
24.31	8.48
24.32	8.79
24.33	8.98
24.34	8.55
24.35	9.65
24.36	8.96
24.37	9.61
24.38	9.27
24.39	9.36
24.40	9.11
24.41	8.54
24.42	9.24
24.43	10.20
24.44	9.09
24.45	10.24
24.46	9.29
24.47	9.51
24.48	9.33
24.49	9.31
24.50	8.38
24.51	9.46
24.52	9.13
24.53	9.66
24.54	8.61
24.55	9.60
24.56	9.70
24.57	8.73
24.58	9.46
24.59	8.21
24.60	9.48
24.61	9.11
24.62	9.10
24.63	8.99
24.64	9.07
24.65	9.76
24.66	9.62
24.67	9.37
24.68	9.24
24.69	9.49
24.70	10.04
24.71	8.49
24.72	8.93
24.73	9.65
24.73	9.87
24.75	9.28
24.75	9.85
24.77	10.24
24.77	9.05
24.78	10.83
24.79	9.41
24.80	9.42
24.81	10.67
24.82	9.81
24.83	10.80
24.84	9.73
24.85	9.50
24.86	9.48
24.87	9.95
24.88	9.77
24.89	10.12
24.90	9.86
24.91	9.41
24.92	9.88
24.93	10.06
24.94	9.76
24.95	9.25
24.96	9.87
24.97	10.16
24.98	9.99
24.99	9.78
25.00	10.11
Nota: Tamaño muestral n = 2500 observaciones utilizadas en el análisis.

GRÁFICA DE DISPERSIÓN ORIGINAL

plot(
  X, Y,
  type = "n",
  main = "Gráfica N°1:\nDiagrama original de dispersión entre CaO y K2O\nen muestras geoquímicas de depósitos minerales",
  xlab = "CaO (%)",
  ylab = "K2O (%)",
  xlim = c(min(X, na.rm = TRUE), max(X, na.rm = TRUE)),
  ylim = c(min(Y, na.rm = TRUE), max(Y, na.rm = TRUE)),
  cex.main = 1.1,
  cex.lab = 1.1,
  cex.axis = 0.9
)

grid(nx = NULL, ny = NULL, col = "gray85", lty = 1)

points(
  X, Y,
  col = "blue",
  pch = 16,
  cex = 1.2
)

box(lwd = 1.5)

TRATAMIENTO DE DATOS

Inicialmente se realizó una depuración de datos faltantes e inconsistentes. Posteriormente, se aplicó una agregación de datos agrupando los valores de CaO y calculando el promedio de K2O. Esto permite suavizar la dispersión de los datos y observar mejor la tendencia exponencial.

# Creación de DataFrame limpio
datos_limpios <- data.frame(
  CaO = as.numeric(datos[, 1]),
  K2O = as.numeric(datos[, 2])
)

datos_limpios <- na.omit(datos_limpios)
datos_limpios <- datos_limpios[datos_limpios$CaO > 0 & datos_limpios$K2O > 0, ]

# Ordenar los datos
datos_limpios <- datos_limpios[order(datos_limpios$CaO, datos_limpios$K2O), ]

# Agrupar CaO para simplificar los pares de valores (redondeo a 1 decimal)
datos_limpios$CaO_grupo <- round(datos_limpios$CaO, 1)

# Calcular el promedio de K2O para cada grupo de CaO
datos_prom <- aggregate(
  K2O ~ CaO_grupo,
  data = datos_limpios,
  mean
)

# Variable independiente simplificada
X <- datos_prom$CaO_grupo

# Variable dependiente simplificada
Y <- datos_prom$K2O

# TABLA DE PARES DE VALORES SIMPLIFICADA
TVP_CAO_K2O <- data.frame(X = as.numeric(X), Y = as.numeric(Y))

n_modelo <- nrow(TVP_CAO_K2O)
cat("Tamaño muestral del modelo =", n_modelo)

## Tamaño muestral del modelo = 246

tabla <- TVP_CAO_K2O %>%
  gt() %>%
  cols_align(
    align = "center",
    columns = everything()
  ) %>%
  fmt_number(
    columns = everything(),
    decimals = 2
  ) %>%
  tab_header(
    title = md("*Tabla N°2*"),
    subtitle = md("*Pares de valores simplificada de CaO y K2O en muestras geoquímicas de depósitos minerales*")
  ) %>%
  tab_source_note(
    source_note = md(paste0(
      "**Nota:** Tamaño muestral n = ", nrow(TVP_CAO_K2O),
      " observaciones utilizadas en el análisis."
    ))
  )

div(
  style = "height:400px; overflow-y:auto;",
  tabla
)

Tabla N°2
Pares de valores simplificada de CaO y K2O en muestras geoquímicas de depósitos minerales
X	Y
0.50	1.03
0.60	1.08
0.70	1.02
0.80	1.05
0.90	1.11
1.00	1.15
1.10	1.25
1.20	1.23
1.30	1.24
1.40	1.20
1.50	1.16
1.60	1.19
1.70	1.16
1.80	1.28
1.90	1.07
2.00	1.29
2.10	1.31
2.20	1.17
2.30	1.10
2.40	1.03
2.50	1.13
2.60	1.06
2.70	1.06
2.80	1.09
2.90	0.99
3.00	1.03
3.10	1.03
3.20	0.98
3.30	1.09
3.40	1.12
3.50	1.10
3.60	0.99
3.70	1.08
3.80	1.09
3.90	1.05
4.00	1.27
4.10	1.20
4.20	1.17
4.30	1.30
4.40	1.30
4.50	1.25
4.60	1.34
4.70	1.51
4.80	1.40
4.90	1.31
5.00	1.52
5.10	1.48
5.20	1.60
5.30	1.61
5.40	1.72
5.50	1.63
5.60	1.67
5.70	1.69
5.80	1.73
5.90	1.69
6.00	1.71
6.10	1.89
6.20	1.75
6.30	1.89
6.40	1.85
6.50	1.80
6.60	1.86
6.70	1.85
6.80	1.80
6.90	1.79
7.00	1.78
7.10	1.77
7.20	1.85
7.30	1.86
7.40	1.63
7.50	1.82
7.60	1.80
7.70	1.77
7.80	1.78
7.90	1.65
8.00	1.92
8.10	1.95
8.20	1.80
8.30	1.90
8.40	1.85
8.50	1.90
8.60	1.84
8.70	1.85
8.80	1.86
8.90	1.86
9.00	1.90
9.10	1.93
9.20	1.90
9.30	2.14
9.40	2.19
9.50	2.29
9.60	2.23
9.70	2.27
9.80	2.40
9.90	2.36
10.00	2.35
10.10	2.39
10.20	2.53
10.30	2.49
10.40	2.48
10.50	2.73
10.60	2.64
10.70	2.52
10.80	2.75
10.90	2.71
11.00	2.89
11.10	2.83
11.20	2.84
11.30	2.88
11.40	2.85
11.50	2.89
11.60	2.88
11.70	2.70
11.80	2.95
11.90	2.92
12.00	2.83
12.10	2.77
12.20	2.98
12.30	2.74
12.40	2.90
12.50	2.91
12.60	2.81
12.70	2.98
12.80	2.77
12.90	2.87
13.00	2.76
13.10	3.04
13.20	2.88
13.30	2.99
13.40	2.95
13.50	3.10
13.60	3.31
13.70	3.16
13.80	3.30
13.90	3.18
14.00	3.41
14.10	3.36
14.20	3.36
14.30	3.63
14.40	3.46
14.50	3.57
14.60	3.57
14.70	3.46
14.80	3.61
14.90	3.96
15.00	3.78
15.10	3.78
15.20	4.08
15.30	3.79
15.40	4.01
15.50	4.19
15.60	4.11
15.70	3.99
15.80	4.08
15.90	4.24
16.00	4.11
16.10	4.30
16.20	4.28
16.30	4.46
16.40	4.29
16.50	4.40
16.60	4.47
16.70	4.45
16.80	4.42
16.90	4.54
17.00	4.52
17.10	4.53
17.20	4.49
17.30	4.71
17.40	4.59
17.50	4.70
17.60	4.65
17.70	4.71
17.80	4.84
17.90	4.85
18.00	4.77
18.10	4.97
18.20	4.79
18.30	4.97
18.40	4.95
18.50	4.97
18.60	5.21
18.70	5.16
18.80	5.54
18.90	5.31
19.00	5.32
19.10	5.48
19.20	5.45
19.30	5.62
19.40	5.67
19.50	5.74
19.60	5.83
19.70	5.93
19.80	6.01
19.90	6.39
20.00	6.04
20.10	6.22
20.20	6.40
20.30	6.21
20.40	6.60
20.50	6.67
20.60	6.43
20.70	6.68
20.80	6.60
20.90	6.73
21.00	6.80
21.10	6.65
21.20	6.86
21.30	7.11
21.40	6.98
21.50	7.13
21.60	7.02
21.70	7.33
21.80	7.39
21.90	7.30
22.00	7.01
22.10	7.28
22.20	7.31
22.30	7.35
22.40	7.50
22.50	7.47
22.60	7.78
22.70	7.63
22.80	7.60
22.90	7.55
23.00	7.80
23.10	8.14
23.20	8.00
23.30	7.99
23.40	8.04
23.50	8.57
23.60	8.70
23.70	8.25
23.80	8.44
23.90	8.73
24.00	8.66
24.10	8.58
24.20	9.07
24.30	8.81
24.40	9.30
24.50	9.32
24.60	9.16
24.70	9.40
24.80	9.98
24.90	9.78
25.00	9.86
Nota: Tamaño muestral n = 246 observaciones utilizadas en el análisis.

# Asegurar formato numérico
X <- as.numeric(as.character(X))
Y <- as.numeric(as.character(Y))

# Definir límites
x_max <- max(X, na.rm = TRUE) * 1.05
y_max <- max(Y, na.rm = TRUE) * 1.05
x_min <- min(X, na.rm = TRUE) * 0.95
y_min <- min(Y, na.rm = TRUE) * 0.95

# Crear gráfico
plot(
  X, Y,
  type = "n",
  main = "Gráfica N°2\nDiagrama simplificado de dispersión entre CaO y K2O\nen muestras geoquímicas de depósitos minerales",
  xlab = "CaO (%)",
  ylab = "K2O (%)",
  xlim = c(x_min, x_max),
  ylim = c(y_min, y_max),
  cex.main = 1.1,
  cex.lab = 1.1,
  cex.axis = 0.9
)

grid(nx = NULL, ny = NULL, col = "gray85", lty = 1)

points(
  X, Y,
  col = "blue",
  pch = 16,
  cex = 1.2
)

box(lwd = 1.5)

## CONJETURA

La distribución de los puntos en el gráfico muestra un crecimiento acelerado y curvado entre CaO y K2O, lo que sugiere el uso de un modelo exponencial. A medida que incrementa el contenido de CaO, el porcentaje de K2O experimenta cambios no lineales con una tasa variable, por lo que se propone la conjetura de un modelo no lineal exponencial de la forma \(Y = a \cdot e^{bX}\).

PARÁMETROS

#Modelo exponencial general:
# Y = a * exp(b * X)

#Modelo exponencial aplicado al estudio:
# K2O = a * exp(b * CaO)

#Ajuste del modelo:

modelo_exp <- nls(
  Y ~ a * exp(b * X),
  data = TVP_CAO_K2O,
  start = list(a = 1, b = 0.05)
)

summary(modelo_exp)

## 
## Formula: Y ~ a * exp(b * X)
## 
## Parameters:
##    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## a 0.9049963  0.0092378   97.97   <2e-16 ***
## b 0.0947644  0.0004967  190.79   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1637 on 244 degrees of freedom
## 
## Number of iterations to convergence: 5 
## Achieved convergence tolerance: 1.482e-07

param <- coef(modelo_exp)

a_est <- param[1]
b_est <- param[2]

a_est

##         a 
## 0.9049963

b_est

##          b 
## 0.09476438

cat(
  "Y = ",
  round(a_est, 4),
  " * e^(",
  round(b_est, 4),
  "X)"
)

## Y =  0.905  * e^( 0.0948 X)

Justificación del uso de estimación no lineal nls()

A diferencia de los modelos polinómicos que se pueden linealizar directamente sobre los coeficientes, el modelo exponencial \(Y = a \cdot e^{bX}\) describe una relación intrínsecamente no lineal respecto a los parámetros \(a\) y \(b\). Por este motivo, se utiliza la función nls() (Non-linear Least Squares), la cual mediante algoritmos iterativos ajusta directamente los parámetros para minimizar la suma de cuadrados del error sobre los datos originales de CaO y K2O.

COMPARACIÓN DE LA REALIDAD CON EL MODELO

# Límites
x_max <- max(X, na.rm = TRUE) * 1.05
y_max <- max(Y, na.rm = TRUE) * 1.05
x_min <- min(X, na.rm = TRUE) * 0.95
y_min <- min(Y, na.rm = TRUE) * 0.95

# Gráfico vacío
plot(
  X, Y,
  type = "n",
  main = "Gráfica N°3:\nModelo exponencial entre CaO y K2O\nen muestras geoquímicas de depósitos minerales",
  xlab = "CaO (%)",
  ylab = "K2O (%)",
  xlim = c(x_min, x_max),
  ylim = c(y_min, y_max),
  cex.main = 1.1,
  cex.lab = 1.1,
  cex.axis = 0.9
)

# Puntos reales
points(
  X, Y,
  col = "blue",
  pch = 16,
  cex = 1.2
)

# Curva del modelo exponencial
x_seq <- seq(
  min(X, na.rm = TRUE),
  max(X, na.rm = TRUE),
  length.out = 1000
)

y_pred <- a_est * exp(b_est * x_seq)

lines(
  x_seq,
  y_pred,
  col = "red",
  lwd = 3
)

box(lwd = 1.5)

legend(
  "topleft",
  legend = c("Datos reales", "Modelo exponencial"),
  col = c("blue", "red"),
  pch = c(16, NA),
  lwd = c(NA, 3),
  bty = "o",
  bg = "white",
  cex = 0.8,
  x.intersp = 0.6,
  y.intersp = 0.8
)

TEST DE APROBACIÓN

# Coeficiente de correlación de Pearson
Y_estimado <- predict(modelo_exp, newdata = TVP_CAO_K2O)

r <- cor(TVP_CAO_K2O$Y, Y_estimado) * 100
r

## [1] 99.77514

# Coeficiente de determinación R^2
SSE <- sum((TVP_CAO_K2O$Y - Y_estimado)^2)
SST <- sum((TVP_CAO_K2O$Y - mean(TVP_CAO_K2O$Y))^2)

R2 <- (1 - (SSE / SST)) * 100
R2

## [1] 99.55071

# Tabla resumen del modelo
Variable <- c("CaO - K2O")

tabla_resumen_exponencial <- data.frame(
  Variable,
  round(r, 2),
  round(R2, 2)
)

colnames(tabla_resumen_exponencial) <- c(
  "Variable",
  "Test Pearson (%)",
  "R cuadrado (%)"
)

knitr::kable(
  tabla_resumen_exponencial,
  format = "markdown",
  caption = "Tabla resumen del modelo exponencial"
)

Tabla resumen del modelo exponencial

Variable	Test Pearson (%)	R cuadrado (%)
CaO - K2O	99.78	99.55

RESTRICCIONES

Dominio de X:

# D(X) = {R+}

Dominio de Y:

# D(Y) = {R+}

¿Existe algún valor de X que reemplazado en el modelo matemático genere un valor fuera del dominio de Y? El modelo exponencial no genera valores negativos para \(Y\) cuando \(X > 0\), lo cual concuerda con la naturaleza química de los concentrados minerales de \(K_2O\). Sin embargo, dado que las funciones exponenciales crecen muy rápidamente, el modelo únicamente debe utilizarse dentro del rango de datos observado de \(CaO\), ya que la extrapolación fuera de rango generaría estimaciones desproporcionadas y poco realistas.

ESTIMACIONES

PREGUNTA DE CANTIDAD

CaO_objetivo <- median(X, na.rm = TRUE)

if(CaO_objetivo <= 0){
  stop("Error: El contenido de CaO debe ser positivo.")
}

K2O_est <- a_est * exp(b_est * CaO_objetivo)

plot(1, type = "n", axes = FALSE, xlab = "", ylab = "")

text(
  1, 1,
  labels = paste(
    "¿Cuál es el K2O esperado\n",
    "cuando el CaO es",
    round(CaO_objetivo, 2), "%?\n\n",
    "Resultado estimado (K2O):",
    round(K2O_est, 2), "%"
  ),
  cex = 1.2,
  col = "blue",
  font = 2
)

PREGUNTA DE PORCENTAJE

incremento_pct <- 0.10

nuevo_CaO <- CaO_objetivo * (1 + incremento_pct)

# Cálculo del K2O actual
K2O_actual <- a_est * exp(b_est * CaO_objetivo)

# Cálculo del nuevo K2O
nuevo_K2O <- a_est * exp(b_est * nuevo_CaO)

porcentaje_cambio_K2O <- ((nuevo_K2O - K2O_actual) / K2O_actual) * 100

par(mar = c(0, 0, 0, 0))

plot(
  1,
  type = "n",
  axes = FALSE,
  xlab = "",
  ylab = "",
  xlim = c(0.9, 1.1),
  ylim = c(0.9, 1.1)
)

text(
  1, 1,
  labels = paste0(
    "¿En qué porcentaje cambia el K2O esperado\n",
    "al incrementar el CaO un ", (incremento_pct * 100), "%?\n\n",
    "Cambio estimado de K2O: ",
    round(porcentaje_cambio_K2O, 2), "%"
  ),
  cex = 1.2,
  col = "firebrick3",
  font = 2
)

CONCLUSIÓN

Entre el contenido de CaO y el porcentaje de K2O existe una relación de tipo exponencial representada por el modelo \(Y = a \cdot e^{bX}\). El modelo ajustado permite explicar la variación no lineal entre ambas variables geoquímicas. Mediante las pruebas del modelo se obtuvo un elevado coeficiente de Pearson (\(r\)) y coeficiente de determinación (\(R^2\)), demostrando un ajuste consistente dentro del conjunto de datos analizado y permitiendo estimaciones precisas del porcentaje de K2O dentro del rango de CaO evaluado.