Cátedra de Biometría y Técnica Experimental
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Trabajo Práctico N° 9: Análisis de Variables Categóricas
Motivación
Las pruebas de Chi-Cuadrado constituyen herramientas estadísticas ampliamente utilizadas para el análisis de datos cualitativos o categóricos. Estas pruebas permiten evaluar si las diferencias entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas en una muestra se deben al azar o a la presencia de algún efecto o relación significativa. De esta manera, facilitan la determinación de asociaciones entre variables categóricas o la verificación del ajuste de los datos a una distribución teórica determinada.
Según el objetivo del análisis y la estructura de los datos, las pruebas de Chi-Cuadrado pueden clasificarse en pruebas de una o dos vías de clasificación, dependiendo del número de variables categóricas involucradas y del tipo de tabla de contingencia utilizada. En este contexto, su aplicación resulta fundamental para la interpretación y análisis de fenómenos en diversas áreas de investigación.
Pruebas a una vía de clasificación
La prueba de Chi-cuadrado de bondad de ajuste permite evaluar si las frecuencias observadas en una muestra difieren significativamente de las frecuencias esperadas bajo una distribución teórica determinada.
El estadístico Chi-cuadrado (\(\chi^2\)):
\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} \]
donde:
- \(O_i\): frecuencia observada en la categoría \(i\).
- \(E_i\): frecuencia esperada en la categoría \(i\).
- \(k\): número total de categorías analizadas.
Valores elevados del estadístico χ 2 indican mayores discrepancias entre las frecuencias observadas y esperadas, lo que puede sugerir que los datos no se ajustan a la distribución teórica planteada bajo la hipótesis nula.
Pruebas a dos vías de clasificación
Prueba de Independencia
La prueba de independencia evalúa si dos variables categóricas son independientes entre sí. Se utiliza para determinar si existe una asociación significativa entre las dos variables.
Prueba de Homogeneidad
La prueba de homogeneidad compara las distribuciones de una variable categórica en diferentes poblaciones o grupos. Se utiliza para determinar si diferentes poblaciones tienen la misma distribución de frecuencias para una variable categórica.
Estadístico de Prueba
El estadístico Chi-Cuadrado (χ2^2χ2) para las pruebas a dos vías de clasificación se utiliza para evaluar la existencia de asociación o independencia entre dos variables categóricas, comparando las frecuencias observadas con las frecuencias esperadas en una tabla de contingencia.
El estadístico de prueba se calcula mediante la siguiente expresión:
$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}
\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$
donde:
- \(O_{ij}\): frecuencia observada en la celda correspondiente a la fila
\(i\) y columna \(j\).
- \(E_{ij}\): frecuencia esperada en la celda correspondiente a la fila
\(i\) y columna \(j\).
- \(r\): número de filas de la tabla de contingencia.
- \(c\): número de columnas de la tabla de contingencia.
Las frecuencias esperadas se calculan mediante:
$$
E_{ij}=\frac{(Total\ de\ la\ fila_i)(Total\ de\ la\ columna_j)}
{Total\ general}
$$
Actividades
Ejercicio 1. La especie conocida como Mosca de los Frutos (Ceratitis capitata) es considerada una de las plagas de mayor importancia económica para la producción frutihortícola de la Argentina, debido a los daños que produce en la fruta y a las mermas económicas asociadas. Entre los cultivos de importancia en la región que ataca se encuentran los cítricos, duraznos, higos, membrillos, entre otras.
En un estudio realizado se encontró que 201 individuos de esta especie, tenían ojos negros y 790 los tenían rojos. Se desea probar la hipótesis de que la proporción de moscas con ojos negros respecto de moscas con ojos rojos es 1:3. ¿Se puede rechazar Ho? α = 0,05.
Ejercicio 2. Una máquina mezcla maníes, avellanas, nueces y almendras en la proporción 5:2:2:1. Para comprobar la afirmación se examina una lata que contiene 500 de estos frutos mezclados y se encuentra que 269 son maníes, 112 avellanas, 74 nueces y 45 almendras. ¿La máquina está trabajando según las especificaciones? α = 0,01.
Ejercicio 3. En la frontera fitosanitaria de la Patagonia se revisaron cargamentos de frutas de distinta procedencia para evaluar la posibilidad de introducción de mosca de la fruta (Ceratitis capitata) en áreas no infestadas. La información de cargamentos con presencia de la plaga se resume en la siguiente tabla:
| Presencia de la Plaga | Procedencia | ||
|---|---|---|---|
| Cuyo | NOA | NEA | |
| Con mosca | 22 | 32 | 33 |
| Sin mosca | 67 | 5 | 10 |
Responder:
a. Identifique y clasifica las variables en estudio
b. Represente los datos gráficamente
c. ¿Qué tipo de prueba de hipótesis corresponde aplicar en este caso? justifique.
d. Realice la prueba de hipótesis y saque conclusiones. α = 0,05.
Ejercicio 4. La siguiente tabla corresponde al número de vacas paridas y vacias, con respecto al tiempo de conservación de semen vacuno congelado usado en inseminación artificial.
| Tiempo de conservación (meses) | Vacas Paridas | Vacas Vacias |
|---|---|---|
| 12 | 65 | 52 |
| 24 | 60 | 37 |
Responder:
a. Identifique las variables e indique si las mismas son de clasificación o de respuesta.
b. Grafique los datos e interprete a través de un gráfico de barras apiladas.
c. ¿Influye el tiempo de conservación en la cantidad de vacas paridas? α = 0,05
Ejercicio 5. Teniendo en cuenta el tipo de delimitación de las explotaciones agropecuarias que se encuentran en las diversas regiones de Catamarca ¿Podemos afirmar que es independiente ¿Podemos afirmar que existe asociación estadísticamente significativa entre la región de la Provincia y el tipo de delimitación de las explotaciones agropecuarias?
| Tipo de Límite | |||
| Región | EAP con límites definidos | EAP mixta | EAP sin límites definidos |
| Centro | 231 | 307 | 226 |
| Este | 545 | 91 | 1023 |
| Oeste | 884 | 297 | 263 |
| Puna | 0 | 0 | 11 |
Fuente: Censo Nacional Agropecuario 2018. INDEC
Marco Conceptual
Región Centro: La conforman los departamentos Ambato, Capayán, Capital, Fray Mamerto Esquiú, Paclín y Valle Viejo.
Región Este: Abarca los departamentos de Ancasti, El Alto, La Paz y Santa Rosa.
Región Oeste: integrada por los deptos. Andalgalá, Belén, Santa María, Pomán y Tinogasta.
Región dela Puna: conformada por el departamento Antofagasta de la Sierra.
Explotación Agropecuaria (EAP): La unidad estadística del Censo Nacional Agropecuario es la EAP, teniendo en consideración que es la unidad de organización de la producción. La EAP debe tener, como mínimo, una superficie de 500 m2 y debe encontrarse dentro de los límites de una misma provincia, independientemente del número de parcelas (terrenos no contiguos entre sí) que la integren. Para ser considerada como tal, la EAP debe reunir los siguientes requisitos:
Producir bienes agrícolas, pecuarios o forestales destinados al mercado.
Tener una dirección única que asume la gestión de la EAP, representada en la figura del productor agropecuario (PA).
Utilizar, en su totalidad o en parte, los mismos medios de producción de uso durable y la misma mano de obra en las diversas parcelas que la integran.
EAP con límites definidos: Las EAP que reúnen las características antes mencionadas conforman el subconjunto de las EAP con límites definidos (EAPc/l).
EAP sin límites definidos: Son también EAP las unidades productivas que cumplen las condiciones 1 a 3, pero cuyos productores no pueden definir la superficie de terreno que ocupan o bien se trata de tierras de uso común entre varios productores.
EAP mixta: Son unidades productivas (EAP) que basan su producción en una combinación de parcelas con superficies delimitadas y alguna porción de superficie no delimitada.
Productor Agropecuario (PA): Es la persona humana o jurídica (sociedad, empresa, cooperativa, organismo oficial, etc.) que ejerce el control técnico y económico de una o más EAP. El PA es quien adopta las principales decisiones acerca de la utilización de los recursos disponibles, recibe los beneficios y asume los riesgos de la actividad empresarial. Desde el punto de vista de la forma jurídica de su relación con la tierra, el PA puede ser propietario, arrendatario, aparcero, contratista accidental u ocupante, o combinar estas distintas formas de tenencia, respecto de la parcela o parcelas que integran su EAP.