Modelo Financiero con Dinámica de Sistemas
Liz Johana Ramírez Castaño, José Manuel Sánchez Loaiza
2026-05-25
- 1 Introducción
- 2 Planteamiento del problema
- 3 Variables del sistema
- 4 Diagrama causal
- 5 Diagrama de niveles y flujos
- 6 Modelo matemático
- 7 Solución analítica
- 8 Solución analítica en R
- 9 Método de Euler
- 10 Simulación numérica con Euler
- 11 Método de Runge-Kutta de 4.º orden (RK4)
- 12 Simulación numérica con Runge-Kutta (RK4)
- 13 Comparación de soluciones
- 14 Error respecto a la solución analítica
- 15 Tabla numérica RK4
- 16 Resultados
- 17 Conclusiones
1 Introducción
El presente ejercicio analiza el comportamiento dinámico de una deuda empresarial utilizando dinámica de sistemas.
La deuda cambia en el tiempo debido a:
- intereses financieros,
- pagos realizados,
- penalizaciones por mora.
Además, el modelo será representado mediante:
- diagramas causales,
- diagramas de niveles y flujos,
- ecuación diferencial de segundo orden,
- solución analítica,
- simulación numérica con Euler,
- simulación numérica con Runge-Kutta de 4.º orden (RK4).
2 Planteamiento del problema
Una empresa adquiere una deuda inicial de:
\[ D_0 = 50000 \]
La deuda aumenta debido a:
- tasa de interés,
- mora financiera,
- acumulación de intereses.
La deuda disminuye mediante pagos periódicos.
Se desea estudiar el comportamiento de la deuda durante 24 meses.
3 Variables del sistema
| Variable | Descripción |
|---|---|
| \(D(t)\) | Deuda acumulada |
| \(r\) | Tasa de interés |
| \(m\) | Factor de mora |
| \(p\) | Pagos |
| \(\frac{dD}{dt}\) | Cambio de deuda |
| \(\frac{d^2D}{dt^2}\) | Aceleración financiera |
4 Diagrama causal
5 Diagrama de niveles y flujos
6 Modelo matemático
La dinámica financiera se representa mediante:
\[ \frac{d^2D}{dt^2} + 0.4\frac{dD}{dt} - 0.08D = 500 \]
Donde:
- \(0.4\) representa amortiguación por pagos,
- \(-0.08\) representa crecimiento financiero,
- \(500\) representa cargos adicionales.
7 Solución analítica
La ecuación característica es:
\[ r^2 + 0.4r - 0.08 = 0 \]
Resolviendo:
\[ r_1 = 0.146 \qquad r_2 = -0.546 \]
La solución general es:
\[ D(t) = C_1 e^{0.146t} + C_2 e^{-0.546t} - 6250 \]
Con condiciones iniciales \(D(0) = 50000\) y \(D'(0) = 2000\) se obtiene:
\[ C_1 = 50714 \qquad C_2 = 5536 \]
8 Solución analítica en R
9 Método de Euler
Se define el sistema de ecuaciones de primer orden:
\[ x_1 = D \qquad x_2 = \frac{dD}{dt} \]
Entonces:
\[ \frac{dx_1}{dt} = x_2 \qquad \frac{dx_2}{dt} = 500 - 0.4\,x_2 + 0.08\,x_1 \]
La actualización de Euler es:
\[ x_1^{n+1} = x_1^n + \Delta t \cdot x_2^n \] \[ x_2^{n+1} = x_2^n + \Delta t \cdot f(x_1^n,\, x_2^n) \]
10 Simulación numérica con Euler
11 Método de Runge-Kutta de 4.º orden (RK4)
El método RK4 mejora la precisión de Euler evaluando la pendiente en cuatro puntos dentro de cada paso de tiempo y promediándola ponderadamente.
Dado el sistema:
\[ \frac{dx_1}{dt} = f_1(x_1, x_2) = x_2 \]
\[ \frac{dx_2}{dt} = f_2(x_1, x_2) = 500 - 0.4\,x_2 + 0.08\,x_1 \]
Para cada paso \(n\), se calculan cuatro estimaciones de pendiente:
\[ k_1 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n\right) \]
\[ k_2 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + \tfrac{1}{2}k_1\right) \]
\[ k_3 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + \tfrac{1}{2}k_2\right) \]
\[ k_4 = \Delta t \cdot f\!\left(x^n + k_3\right) \]
La actualización del estado es:
\[ x^{n+1} = x^n + \frac{1}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right) \]
Este esquema es de orden 4, lo que significa que el error local es proporcional a \(\Delta t^5\), mucho menor que el error de Euler (\(\Delta t^2\)).
12 Simulación numérica con Runge-Kutta (RK4)
13 Comparación de soluciones
14 Error respecto a la solución analítica
| Método | Error máximo (\()| Error promedio (\)) | |
|---|---|---|
| Euler | 139545.46 | 36811.67 |
| RK4 | 99639.97 | 28503.41 |
15 Tabla numérica RK4
Se presentan los valores calculados paso a paso por el método RK4, incluyendo las cuatro pendientes intermedias para la deuda (\(k\)) y la velocidad (\(l\)).
| t (mes) | D(t) — Deuda ($) | V(t) = dD/dt | ΔD (cambio en D) |
|---|---|---|---|
| 0 | 50000.00 | 2000.00 | 3664.33 |
| 1 | 53664.33 | 5159.20 | 6431.17 |
| 2 | 60095.51 | 7620.37 | 8713.53 |
| 3 | 68809.03 | 9776.57 | 10822.27 |
| 4 | 79631.30 | 11871.18 | 12954.40 |
| 5 | 92585.70 | 14063.40 | 15243.62 |
| 6 | 107829.33 | 16466.47 | 17790.03 |
| 7 | 125619.36 | 19170.33 | 20677.80 |
| 8 | 146297.16 | 22255.26 | 23986.06 |
| 9 | 170283.22 | 25800.37 | 27795.76 |
| 10 | 198078.98 | 29889.25 | 32194.43 |
| 11 | 230273.41 | 34614.03 | 37279.87 |
| 12 | 267553.29 | 40078.66 | 43163.21 |
| 13 | 310716.50 | 46401.95 | 49971.90 |
| 14 | 360688.40 | 53720.51 | 57852.80 |
| 15 | 418541.21 | 62192.01 | 66975.53 |
| 16 | 485516.73 | 71998.64 | 77536.19 |
| 17 | 563052.93 | 83351.15 | 89761.70 |
| 18 | 652814.63 | 96493.42 | 103914.67 |
| 19 | 756729.30 | 111707.73 | 120299.05 |
| 20 | 877028.35 | 129320.81 | 139266.71 |
| 21 | 1016295.06 | 149710.92 | 161224.98 |
| 22 | 1177520.04 | 173315.92 | 186645.40 |
| 23 | 1364165.44 | 200642.72 | 216073.86 |
| 24 | 1580239.30 | 232278.14 | NA |
15.1 Pendientes intermedias RK4
Las ocho pendientes calculadas en cada paso: \(k_1, k_2, k_3, k_4\) para la deuda y \(l_1, l_2, l_3, l_4\) para la velocidad.
| t (mes) | k₁ (ΔD₁) | k₂ (ΔD₂) | k₃ (ΔD₃) | k₄ (ΔD₄) | l₁ (ΔV₁) | l₂ (ΔV₂) | l₃ (ΔV₃) | l₄ (ΔV₄) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2000.00 | 3850.00 | 3520.00 | 5246.00 | 3700.00 | 3040.00 | 3246.00 | 2683.20 |
| 1 | 5159.20 | 6523.93 | 6354.17 | 7671.64 | 2729.47 | 2389.94 | 2512.44 | 2232.83 |
| 2 | 7620.37 | 8750.12 | 8676.58 | 9807.39 | 2259.49 | 2112.41 | 2187.01 | 2078.81 |
| 3 | 9776.57 | 10823.61 | 10809.74 | 11890.34 | 2094.10 | 2066.34 | 2113.77 | 2113.37 |
| 4 | 11871.18 | 12932.20 | 12957.42 | 14076.01 | 2122.03 | 2172.47 | 2204.83 | 2276.70 |
| 5 | 14063.40 | 15204.15 | 15257.27 | 16475.52 | 2281.50 | 2387.73 | 2412.12 | 2537.23 |
| 6 | 16466.47 | 17736.35 | 17811.70 | 19177.59 | 2539.76 | 2690.46 | 2711.12 | 2880.25 |
| 7 | 19170.33 | 20611.04 | 20706.31 | 22261.80 | 2881.42 | 3071.95 | 3091.47 | 3301.33 |
| 8 | 22255.26 | 23906.10 | 24021.03 | 25806.87 | 3301.67 | 3531.54 | 3551.60 | 3802.71 |
| 9 | 25800.37 | 27701.63 | 27837.39 | 29896.14 | 3802.51 | 4074.02 | 4095.77 | 4391.19 |
| 10 | 29889.25 | 32084.56 | 32243.29 | 34621.64 | 4390.62 | 4708.06 | 4732.39 | 5077.13 |
| 11 | 34614.03 | 37152.16 | 37336.81 | 40087.26 | 5076.26 | 5445.57 | 5473.23 | 5873.91 |
| 12 | 40078.66 | 43015.06 | 43229.35 | 46411.78 | 5872.80 | 6301.39 | 6333.12 | 6797.90 |
| 13 | 46401.95 | 49800.22 | 50048.60 | 53731.83 | 6796.54 | 7293.31 | 7329.89 | 7868.47 |
| 14 | 53720.51 | 57653.95 | 57941.67 | 62205.08 | 7866.87 | 8442.31 | 8484.56 | 9108.38 |
| 15 | 62192.01 | 66745.26 | 67078.45 | 72013.74 | 9106.49 | 9772.87 | 9821.73 | 10544.08 |
| 16 | 71998.64 | 77269.58 | 77655.37 | 83368.62 | 10541.88 | 11313.45 | 11369.98 | 12206.32 |
| 17 | 83351.15 | 89453.04 | 89899.68 | 96513.63 | 12203.77 | 13097.07 | 13162.48 | 14130.76 |
| 18 | 96493.42 | 103557.32 | 104074.41 | 111731.12 | 14127.80 | 15161.98 | 15237.70 | 16358.68 |
| 19 | 111707.73 | 119885.35 | 120483.98 | 129347.89 | 16355.25 | 17552.51 | 17640.16 | 18937.91 |
| 20 | 129320.81 | 138787.78 | 139480.81 | 149742.27 | 18933.94 | 20319.99 | 20421.46 | 21923.82 |
| 21 | 149710.92 | 160670.54 | 161472.83 | 173352.21 | 21919.24 | 23523.83 | 23641.29 | 25380.55 |
| 22 | 173315.92 | 186003.54 | 186932.34 | 200684.73 | 25375.23 | 27232.82 | 27368.81 | 29382.30 |
| 23 | 200642.72 | 215330.80 | 216406.04 | 232326.78 | 29376.15 | 31526.63 | 31684.05 | 34015.01 |
16 Resultados
Los resultados muestran que:
- la deuda presenta crecimiento acelerado,
- los intereses generan retroalimentación positiva,
- la mora incrementa el crecimiento financiero,
- los pagos ayudan a disminuir parcialmente la deuda,
- el método RK4 produce resultados notablemente más cercanos a la solución analítica que el método de Euler con el mismo paso de tiempo \(\Delta t\).
17 Conclusiones
La dinámica de sistemas permite modelar problemas financieros complejos mediante relaciones de retroalimentación.
La ecuación diferencial de segundo orden representa adecuadamente el crecimiento dinámico de la deuda.
El método de Euler permite aproximar numéricamente el comportamiento financiero del sistema, aunque acumula error a lo largo del tiempo.
El método de Runge-Kutta de 4.º orden (RK4) ofrece una aproximación de mayor precisión al evaluar cuatro estimaciones de pendiente por paso, reduciendo significativamente el error numérico acumulado frente a Euler con el mismo tamaño de paso.