Resumen

El café representa uno de los productos agrícolas más importantes para la economía colombiana y constituye una de las principales fuentes de ingreso derivadas del comercio internacional. Debido a su relevancia económica y social, el análisis del comportamiento de las exportaciones cafeteras resulta fundamental para comprender las dinámicas del mercado externo y evaluar las tendencias del sector en el tiempo. En esta investigación se realizó un análisis de series temporales aplicado a las exportaciones colombianas de café utilizando información mensual correspondiente al período comprendido entre enero de 1992 y marzo de 2026.

La base de datos utilizada fue obtenida de las estadísticas oficiales del Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE) y de la Dirección de Impuestos y Aduanas Nacionales (DIAN), considerando dos variables de estudio: el valor de las exportaciones medido en miles de dólares FOB y el volumen exportado en toneladas métricas. Inicialmente se desarrolló un análisis descriptivo mediante gráficos de series de tiempo, histogramas y diagramas de caja, permitiendo identificar tendencias crecientes, fluctuaciones importantes y posibles patrones estacionales en ambas variables.

Posteriormente se evaluó la estacionariedad de las series utilizando las pruebas Dickey-Fuller aumentada (ADF) y KPSS, encontrándose evidencia de no estacionariedad en las series originales. Por esta razón se aplicó una diferenciación de primer orden con el fin de estabilizar la media y la varianza. Una vez estacionarias las series, se ajustaron modelos ARIMA y SARIMA empleando la metodología Box-Jenkins y criterios de selección basados en el AIC.

Los resultados obtenidos mostraron que los modelos ajustados presentan un comportamiento adecuado y residuos compatibles con procesos de ruido blanco. Asimismo, los pronósticos realizados evidenciaron una tendencia de estabilidad y crecimiento moderado en las exportaciones colombianas de café para el horizonte proyectado.

Finalmente, el estudio demuestra la utilidad de los modelos de series de tiempo como herramientas estadísticas para analizar y pronosticar variables económicas relacionadas con el comercio exterior cafetero colombiano, contribuyendo así a la toma de decisiones y a la planificación económica del sector.

Palabras clave: exportaciones de café, series de tiempo, modelos ARIMA, modelos SARIMA, pronósticos, comercio internacional, Colombia.

Introducción

El café ha desempeñado históricamente un papel fundamental en el desarrollo económico y social de Colombia, consolidándose como uno de los productos agrícolas más representativos del país y como uno de los principales bienes exportados hacia los mercados internacionales. La actividad cafetera no solamente genera importantes ingresos de divisas, sino que además constituye una fuente de empleo y sostenimiento económico para miles de familias colombianas vinculadas al sector rural.

A nivel internacional, el mercado del café se caracteriza por presentar una dinámica altamente variable debido a factores asociados a la oferta y demanda mundial, los cambios en los precios internacionales, las condiciones climáticas y las transformaciones económicas globales. En este contexto, Colombia se ha mantenido como uno de los principales productores y exportadores de café suave, reconocido mundialmente por su calidad y competitividad.

Durante las últimas décadas, las exportaciones cafeteras colombianas han experimentado fluctuaciones importantes tanto en su valor comercial como en los volúmenes exportados. Estas variaciones responden a múltiples factores, entre ellos el comportamiento de los mercados internacionales, las variaciones en la tasa de cambio, las políticas comerciales y las condiciones productivas del sector agrícola. Por esta razón, resulta relevante estudiar la evolución temporal de dichas exportaciones mediante herramientas estadísticas que permitan identificar patrones, tendencias y comportamientos futuros.

Dentro de las metodologías estadísticas utilizadas para este tipo de análisis, los modelos de series de tiempo constituyen una herramienta fundamental para estudiar variables económicas observadas cronológicamente. En particular, los modelos ARIMA y SARIMA permiten modelar procesos temporales mediante la identificación de componentes autorregresivos, medias móviles y patrones estacionales, facilitando así la generación de pronósticos confiables.

La presente investigación tiene como objetivo analizar el comportamiento de las exportaciones colombianas de café a partir de información mensual correspondiente al período 1992–2026, utilizando técnicas de análisis descriptivo y modelos de series de tiempo. Para ello, se emplearon datos oficiales publicados por el DANE y la DIAN relacionados con el valor FOB de las exportaciones y el volumen exportado en toneladas métricas.

Inicialmente se desarrolló un análisis exploratorio de las variables con el fin de identificar tendencias, fluctuaciones y posibles comportamientos estacionales. Posteriormente se evaluó la estacionariedad de las series y se ajustaron modelos ARIMA/SARIMA utilizando la metodología Box-Jenkins. Finalmente, se realizaron pronósticos para ambas variables, permitiendo evaluar el posible comportamiento futuro de las exportaciones cafeteras colombianas.

Con este estudio se busca aportar evidencia estadística sobre la dinámica temporal del comercio exterior cafetero colombiano y demostrar la aplicabilidad de los modelos de series de tiempo como herramientas útiles para el análisis económico y la formulación de estrategias de planificación en el sector exportador.

1. Descripción de los datos

La información utilizada en esta investigación corresponde a las estadísticas mensuales de exportaciones de café en Colombia publicadas por el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE) y la Dirección de Impuestos y Aduanas Nacionales (DIAN). La base de datos comprende el período entre enero de 1992 y marzo de 2026, con un total de 411 observaciones y cuatro variables principales: año, mes, valor de las exportaciones en miles de dólares FOB y toneladas métricas exportadas.

La variable “Miles de dólares FOB” representa el valor monetario de las exportaciones de café colombiano expresado en miles de dólares bajo el término FOB (Free On Board), mientras que la variable “Toneladas métricas” corresponde al volumen físico exportado durante cada mes del período analizado.

Con el propósito de analizar el comportamiento temporal de las exportaciones cafeteras, se construyeron dos series de tiempo mensuales: una asociada al valor FOB exportado y otra relacionada con el volumen exportado en toneladas métricas. Posteriormente, se realizó un análisis descriptivo de ambas variables para identificar tendencias, dispersión y posibles fluctuaciones en el tiempo.

La Tabla X presenta las principales medidas descriptivas obtenidas para las variables analizadas.

Medidas descriptivas de las exportaciones colombianas de café
Variable Media Mediana Desviacion_Estandar Minimo Maximo
Miles de dólares FOB 173666 153639 93501 39668 617460
Toneladas métricas 51613 50543 20061 20061 113391 
##       AÑO            MES                      MILES DE DOLARES FOB
##  Min.   :1992   Min.   :1992-01-01 00:00:00   Min.   : 39668      
##  1st Qu.:2000   1st Qu.:2000-07-16 12:00:00   1st Qu.:112524      
##  Median :2009   Median :2009-02-01 00:00:00   Median :153639      
##  Mean   :2009   Mean   :2009-01-30 09:06:34   Mean   :173666      
##  3rd Qu.:2017   3rd Qu.:2017-08-16 12:00:00   3rd Qu.:211558      
##  Max.   :2026   Max.   :2026-03-01 00:00:00   Max.   :617460      
##  TONELADAS METRICAS
##  Min.   : 20061    
##  1st Qu.: 42944    
##  Median : 50543    
##  Mean   : 51613    
##  3rd Qu.: 59193    
##  Max.   :113391

Los resultados muestran que las exportaciones de café en Colombia presentan una alta variabilidad a lo largo del tiempo. El valor promedio de las exportaciones fue de 173.666 miles de dólares FOB, mientras que el volumen promedio exportado fue de 51.613 toneladas métricas.

Además, se observa una diferencia considerable entre los valores mínimos y máximos de ambas variables, lo que evidencia períodos de crecimiento y disminución en las exportaciones. La dispersión es mayor en la variable monetaria, indicando que el valor FOB está influenciado no solo por la cantidad exportada, sino también por cambios en los precios internacionales del café y las condiciones del mercado externo.

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

Los histogramas muestran que las exportaciones de café en Colombia presentan variaciones importantes a lo largo del tiempo. En el caso de los miles de dólares FOB, la mayoría de los datos se concentran en valores intermedios, aunque también existen algunos períodos donde las exportaciones alcanzaron valores mucho más altos.

Algo parecido ocurre con las toneladas métricas, donde gran parte de las observaciones se ubican en niveles medios de exportación, reflejando un comportamiento relativamente estable, pero con ciertos aumentos en algunos años.

En general, ambos gráficos permiten observar que las exportaciones cafeteras colombianas han tenido fluctuaciones constantes, influenciadas por factores como los precios internacionales del café y las dinámicas del comercio exterior.

Los boxplots muestran que las exportaciones de café en Colombia presentan dispersión y algunos valores atípicos en ambas variables. En los miles de dólares FOB se observan varios valores altos que indican períodos donde las exportaciones tuvieron incrementos importantes en términos monetarios.

Por otro lado, las toneladas métricas presentan un comportamiento un poco más estable, aunque también aparecen algunos valores extremos relacionados con aumentos en el volumen exportado.

En general, los gráficos reflejan que las exportaciones cafeteras colombianas han tenido cambios a lo largo del tiempo, tanto en valor como en cantidad exportada.

Las gráficas de densidad permiten observar cómo se distribuyen las exportaciones de café en Colombia a lo largo del período analizado. En ambas variables, la mayor concentración de datos se encuentra en valores intermedios, lo que indica que esos niveles de exportación fueron los más frecuentes durante los años estudiados.

También se observa una ligera asimetría hacia valores altos, especialmente en los miles de dólares FOB, mostrando que en algunos períodos las exportaciones aumentaron considerablemente.

En general, las gráficas reflejan que las exportaciones cafeteras colombianas han tenido un comportamiento variable, con etapas de crecimiento tanto en el valor exportado como en el volumen de café enviado al exterior.

2. Materiales y Métodos

2.1 Especificación del Modelo, Estimación y Pruebas

Para el análisis de las exportaciones de café en Colombia se utilizaron modelos de series de tiempo tipo SARIMA, debido a que las series analizadas presentan comportamiento estacional asociado a la periodicidad mensual de los datos. Los modelos SARIMA representan una extensión de los modelos ARIMA propuestos inicialmente por Box y Jenkins (1976), incorporando componentes estacionales que permiten modelar patrones repetitivos en el tiempo.

El análisis se realizó sobre dos variables: el valor de las exportaciones medido en miles de dólares FOB y el volumen exportado en toneladas métricas, utilizando información mensual para el período comprendido entre enero de 1992 y marzo de 2026.

2.1.1 Estacionariedad

Uno de los supuestos más importantes en el análisis de series de tiempo es la estacionariedad. Una serie es estacionaria cuando su media, varianza y estructura de autocovarianzas permanecen constantes a lo largo del tiempo.

Formalmente, una serie \(Y_t\) es estacionaria si cumple:

\[ E(Y_t)=\mu \]

\[ Var(Y_t)=\sigma^2 \]

\[ Cov(Y_t,Y_{t-k})=\gamma_k \]

donde estas cantidades no dependen del tiempo \(t\).

Para verificar la estacionariedad de las series se aplicaron las pruebas Dickey-Fuller aumentada (ADF) y KPSS. Los resultados obtenidos indicaron que las series originales no eran estacionarias, ya que presentaban tendencia y variaciones importantes a lo largo del tiempo.

Por esta razón, se aplicó una diferenciación de primer orden para estabilizar las series y eliminar la tendencia presente en los datos.

Contraste KPSS:

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin (1992) propusieron el contraste KPSS con el objetivo de evaluar la hipótesis de estacionariedad de una serie temporal. Este enfoque considera que una serie \(y_t\) puede expresarse como la suma de un componente de tendencia estocástica y un componente estacionario, según el siguiente modelo:

\[ y_t = \mu_t + \varepsilon_t \]

\[ \mu_t = \mu_{t-1} + u_t \]

En este modelo, los errores \(\varepsilon_t\) y \(u_t\) son procesos independientes e idénticamente distribuidos con media cero y varianzas \(\sigma_{\varepsilon}^{2}\) y \(\sigma_{u}^{2}\), respectivamente. Además, \(\mu_0\) representa una constante inicial desconocida.

El contraste se formula como:

\[ H_0 : \sigma_u^2 = 0 \]

\[ H_1 : \sigma_u^2 > 0 \]

donde:

  • \(H_0\): la serie es estacionaria.
  • \(H_1\): la serie presenta una raíz unitaria.

Bajo la hipótesis nula, el proceso es estacionario, ya que no existe un componente de tendencia estocástica. En cambio, si se rechaza \(H_0\), se concluye que la serie presenta no estacionariedad debido a la presencia de una raíz unitaria.

Este test resulta especialmente útil por su consistencia frente a distintos tipos de procesos no estacionarios, incluyendo aquellos integrados fraccionalmente.

Según López (2002), este tipo de contrastes es particularmente relevante en contextos donde las series pueden experimentar cambios estructurales en la media, situación que puede afectar la validez de las pruebas tradicionales de estacionariedad.

Prueba Dickey-Fuller Aumentada (ADF):

La prueba Dickey-Fuller aumentada (ADF) es uno de los contrastes más utilizados para evaluar la estacionariedad de una serie temporal. Su principal objetivo es determinar si una serie presenta una raíz unitaria, lo que indicaría la existencia de no estacionariedad.

El contraste se formula de la siguiente manera:

\[ H_0 : \text{La serie tiene raíz unitaria (no es estacionaria)} \]

\[ H_1 : \text{La serie es estacionaria} \]

La versión aumentada de la prueba incorpora rezagos adicionales de la variable diferenciada con el fin de eliminar problemas de autocorrelación en los residuos y mejorar la validez del contraste.

En términos generales:

  • Si el valor-p es menor que el nivel de significancia, se rechaza \(H_0\) y se concluye que la serie es estacionaria.
  • Si el valor-p es mayor que el nivel de significancia, no se rechaza \(H_0\), indicando que la serie presenta no estacionariedad.

Esta prueba es ampliamente utilizada en el análisis de modelos ARIMA y SARIMA, ya que permite verificar si es necesario aplicar diferenciaciones para estabilizar la media de la serie temporal.

2.1.2 Procesos Integrados y Diferenciación

Debido a que los modelos ARIMA y SARIMA requieren series estacionarias, fue necesario aplicar diferenciación a las variables analizadas. La primera diferencia se define como:

\[ \Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1} \]

Después de aplicar la diferenciación de primer orden, las pruebas de estacionariedad mostraron resultados favorables, indicando que las series diferenciadas sí cumplían con las condiciones necesarias para el modelamiento.

En consecuencia, ambas series fueron consideradas integradas de orden uno, es decir:

\[ Y_t \sim I(1) \]

2.1.3 Modelo SARIMA

Debido a la presencia de comportamiento estacional en los datos mensuales, se emplearon modelos SARIMA \((p,d,q)(P,D,Q)_s\), los cuales incorporan componentes autorregresivos y de medias móviles tanto en la parte regular como estacional.

La expresión general de un modelo SARIMA es:

\[ \Phi(B^s)\phi(B)(1-B)^d(1-B^s)^D Y_t = \Theta(B^s)\theta(B)\varepsilon_t \]

donde:

  • \(p\): orden autorregresivo,
  • \(d\): número de diferenciaciones,
  • \(q\): orden de media móvil,
  • \(P,D,Q\): componentes estacionales,
  • \(s\): periodicidad estacional mensual \((s=12)\).

Para la selección de los modelos se utilizó la función auto.arima() del software R, considerando criterios de información AIC y BIC.

2.1.4 Metodología Box–Jenkins

La metodología Box–Jenkins utilizada en esta investigación se desarrolló en tres etapas:

Identificación

En esta etapa se analizaron las funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial (PACF) de las series diferenciadas para identificar posibles órdenes autorregresivos y de medias móviles.

Además, las pruebas ADF y KPSS permitieron confirmar el grado de diferenciación necesario para alcanzar estacionariedad.

Tabla X. Identificación de los órdenes en modelos ARIMA y SARIMA

Modelo ACF PACF
Ruido blanco Todas las autocorrelaciones son cercanas a cero Todas las autocorrelaciones parciales son cercanas a cero
AR(1) Decaimiento exponencial o sinusoidal Un único pico significativo en el rezago 1
MA(1) Un único pico significativo en el rezago 1 Decaimiento exponencial o sinusoidal
ARMA(1,1) Decaimiento gradual desde el rezago 1 Decaimiento gradual desde el rezago 1
ARMA(p,q) Decaimiento gradual después del rezago \(q\) Decaimiento gradual después del rezago \(p\)
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)\(_s\) Presencia de picos significativos en rezagos estacionales (\(s, 2s, 3s\)) y posible decaimiento gradual Picos significativos en rezagos estacionales y no estacionales
SARIMA estacional puro La ACF presenta autocorrelaciones fuertes en múltiplos del período estacional La PACF muestra picos estacionales claramente definidos

En esta investigación, las funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial (PACF) evidenciaron patrones estacionales asociados a la periodicidad mensual de las exportaciones de café en Colombia. Debido a esto, se consideró apropiado utilizar modelos SARIMA con período estacional \(s=12\), permitiendo capturar la dinámica temporal y los efectos estacionales presentes en las series analizadas.

Estimación

Posteriormente se estimaron diferentes modelos SARIMA utilizando máxima verosimilitud. La selección final se realizó teniendo en cuenta los menores valores de AIC y BIC, buscando obtener modelos parsimoniosos y con buen ajuste.

Diagnóstico

Finalmente, se evaluó la calidad de los modelos ajustados mediante el análisis de residuos y pruebas de autocorrelación. Los resultados mostraron residuos compatibles con ruido blanco, indicando que los modelos capturan adecuadamente la dinámica temporal de las exportaciones cafeteras colombianas.

3. Análisis y Resultados

3.1 Análisis Preliminar

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  ts_exportaciones
## Dickey-Fuller = -2.1052, Lag order = 7, p-value = 0.5329
## alternative hypothesis: stationary
## Warning in kpss.test(ts_exportaciones): p-value smaller than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  ts_exportaciones
## KPSS Level = 3.7691, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.01

Inicialmente, se construyó la serie temporal correspondiente a las exportaciones de café en Colombia medidas en miles de dólares FOB, utilizando una frecuencia mensual desde enero de 1992. Posteriormente, se aplicaron las pruebas de estacionariedad Dickey-Fuller aumentada (ADF) y KPSS con el objetivo de determinar si la serie presentaba tendencia o raíz unitaria.

Adicionalmente, se realizó la representación gráfica de la serie original para identificar visualmente patrones de tendencia, variabilidad y posibles comportamientos estacionales a lo largo del tiempo.

La Figura muestra que las exportaciones presentan una tendencia creciente y cambios importantes durante el periodo analizado. Se observan incrementos más notorios en los años recientes, especialmente después de 2020, lo que evidencia un comportamiento no estacionario en la serie. Además, la variabilidad aumenta con el tiempo, indicando cambios significativos en la dinámica de las exportaciones colombianas de café.

## [1] 1
## Warning in adf.test(serie_dif): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  serie_dif
## Dickey-Fuller = -8.7659, Lag order = 7, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## Warning in kpss.test(serie_dif): p-value greater than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  serie_dif
## KPSS Level = 0.03469, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.1

## Series: serie_dif 
## ARIMA(0,0,2)(0,0,2)[12] with zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2    sma1    sma2
##       -0.3925  -0.1087  0.1396  0.1311
## s.e.   0.0500   0.0572  0.0532  0.0543
## 
## sigma^2 = 1.473e+09:  log likelihood = -4907.77
## AIC=9825.55   AICc=9825.69   BIC=9845.63
## 
## Training set error measures:
##                    ME     RMSE      MAE      MPE    MAPE      MASE         ACF1
## Training set 1331.063 38185.66 27004.76 71.29368 147.175 0.7074233 -0.002276654

Debido a que la serie original de exportaciones presentó un comportamiento no estacionario, se aplicó una primera diferencia con el fin de estabilizar la media y reducir la tendencia presente en los datos. Posteriormente, se realizaron nuevamente las pruebas ADF y KPSS para verificar la estacionariedad de la nueva serie diferenciada.

Además, se analizaron las funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial (PACF), las cuales permitieron identificar la posible estructura temporal de la serie y orientar la selección del modelo SARIMA más adecuado.

La gráfica de la serie diferenciada muestra que, después de aplicar la diferencia, los cambios oscilan alrededor de cero y presentan una variabilidad más estable en el tiempo, indicando que la serie logró estacionarizarse.

Por otro lado, los gráficos ACF y PACF evidencian la presencia de componentes autorregresivos y de medias móviles, así como patrones estacionales propios de datos mensuales. Finalmente, mediante la función auto.arima(), se seleccionó automáticamente el modelo que mejor se ajustó al comportamiento de las exportaciones diferenciadas.

Modelo SARIMA(0,1,2)(0,0,2)[12]

El modelo ajustado para la serie de exportaciones fue un:

\[ SARIMA(0,1,2)(0,0,2)_{12} \]

donde:

  • \(p=0\): no existen términos autorregresivos regulares.
  • \(d=1\): se aplicó una primera diferencia para lograr estacionariedad.
  • \(q=2\): existen dos términos de media móvil.
  • \(P=0\): no existen componentes autorregresivos estacionales.
  • \(D=0\): no fue necesaria diferenciación estacional.
  • \(Q=2\): existen dos componentes de media móvil estacional.
  • \(s=12\): la periodicidad es mensual.

Los coeficientes estimados fueron:

\[ \theta_1 = -0.3925 \]

\[ \theta_2 = -0.1087 \]

\[ \Theta_1 = 0.1396 \]

\[ \Theta_2 = 0.1311 \]

La representación general del modelo es:

\[ (1-B)Y_t = (1+\theta_1B+\theta_2B^2) (1+\Theta_1B^{12}+\Theta_2B^{24})\varepsilon_t \]

Sustituyendo los coeficientes estimados:

\[ (1-B)Y_t = (1-0.3925B-0.1087B^2) (1+0.1396B^{12}+0.1311B^{24})\varepsilon_t \]

Multiplicando los términos de medias móviles:

\[ \begin{aligned} (1&-0.3925B-0.1087B^2) (1+0.1396B^{12}+0.1311B^{24}) \\ =&\ 1 -0.3925B -0.1087B^2 +0.1396B^{12} \\ &-0.0548B^{13} -0.0152B^{14} +0.1311B^{24} \\ &-0.0515B^{25} -0.0142B^{26} \end{aligned} \]

Por tanto:

\[ (1-B)Y_t = (1 -0.3925B -0.1087B^2 +0.1396B^{12} -0.0548B^{13} -0.0152B^{14} +0.1311B^{24} -0.0515B^{25} -0.0142B^{26}) \varepsilon_t \]

Recordando que:

\[ (1-B)Y_t = Y_t - Y_{t-1} \]

se obtiene:

\[ \begin{aligned} Y_t - Y_{t-1} = &\ \varepsilon_t -0.3925\varepsilon_{t-1} -0.1087\varepsilon_{t-2} \\ &+0.1396\varepsilon_{t-12} -0.0548\varepsilon_{t-13} \\ &-0.0152\varepsilon_{t-14} +0.1311\varepsilon_{t-24} \\ &-0.0515\varepsilon_{t-25} -0.0142\varepsilon_{t-26} \end{aligned} \]

Finalmente, despejando \(Y_t\):

\[ \begin{aligned} Y_t = &\ Y_{t-1} +\varepsilon_t -0.3925\varepsilon_{t-1} -0.1087\varepsilon_{t-2} \\ &+0.1396\varepsilon_{t-12} -0.0548\varepsilon_{t-13} \\ &-0.0152\varepsilon_{t-14} +0.1311\varepsilon_{t-24} \\ &-0.0515\varepsilon_{t-25} -0.0142\varepsilon_{t-26} \end{aligned} \]

Los resultados muestran que fue necesario aplicar una primera diferencia para estabilizar la serie de exportaciones. Además, el modelo identificó componentes de medias móviles tanto regulares como estacionales, lo que evidencia la presencia de patrones mensuales repetitivos en el comportamiento de las exportaciones de café.

En general, el modelo logra representar adecuadamente la dinámica temporal de la serie y proporciona una base útil para realizar pronósticos de corto plazo.

La descomposición STL permitió separar la serie diferenciada de exportaciones en sus componentes de tendencia, estacionalidad y residuos.

En la gráfica se observa que, después de aplicar la diferenciación, la serie presenta un comportamiento más estable alrededor de cero. Además, se identifican patrones estacionales que se repiten a lo largo del tiempo y residuos con fluctuaciones moderadas, lo que confirma que la diferenciación ayudó a estabilizar la serie y facilita el ajuste del modelo SARIMA.

## Warning in adf.test(ts_toneladas): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  ts_toneladas
## Dickey-Fuller = -4.225, Lag order = 7, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  ts_toneladas
## KPSS Level = 0.61652, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.02113

Se construyó la serie temporal correspondiente a las exportaciones de café medidas en toneladas métricas, utilizando periodicidad mensual desde enero de 1992 hasta marzo de 2026. Posteriormente, se aplicaron las pruebas de Dickey-Fuller aumentada (ADF) y KPSS con el objetivo de evaluar la estacionariedad de la serie y determinar si era necesario realizar diferenciaciones antes del ajuste del modelo SARIMA.

La Figura muestra el comportamiento histórico de las exportaciones en toneladas métricas. En general, la serie presenta fluctuaciones importantes a lo largo del tiempo, con períodos de crecimiento y disminución en los volúmenes exportados. Además, se observan cambios en la variabilidad y posibles patrones estacionales, lo cual es común en series relacionadas con la producción y comercialización del café colombiano.

El gráfico también evidencia que las exportaciones no se mantienen alrededor de una media constante, sugiriendo inicialmente la presencia de no estacionariedad. Por esta razón, fue necesario aplicar transformaciones y diferenciaciones para estabilizar la serie antes de continuar con la modelación SARIMA.

## [1] 1
## Warning in adf.test(serie_difer): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  serie_difer
## Dickey-Fuller = -10.164, Lag order = 7, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## Warning in kpss.test(serie_difer): p-value greater than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  serie_difer
## KPSS Level = 0.015959, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.1

## Series: serie_difer 
## ARIMA(2,0,2)(1,0,0)[12] with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2      ma1      ma2    sar1      mean
##       -0.3738  0.2729  -0.2156  -0.6296  0.3194  -52.4999
## s.e.   0.2493  0.0854   0.2496   0.2213  0.0494  100.5522
## 
## sigma^2 = 96549677:  log likelihood = -4348.88
## AIC=8711.77   AICc=8712.05   BIC=8739.88
## 
## Training set error measures:
##                    ME     RMSE      MAE      MPE     MAPE      MASE
## Training set 70.39155 9753.807 7569.552 150.1881 346.9443 0.6970899
##                      ACF1
## Training set 0.0002821249

En esta etapa se trabajó con la serie de toneladas métricas de exportación de café en Colombia. Inicialmente se aplicaron las pruebas ADF y KPSS, las cuales mostraron que la serie original no era estacionaria, debido a la presencia de tendencia y variaciones en la media. Por esta razón, se realizó una primera diferenciación para estabilizar la serie.

La serie original evidenció fluctuaciones importantes y posibles patrones estacionales asociados al comportamiento del sector cafetero colombiano. Luego de diferenciarla, las observaciones comenzaron a oscilar alrededor de cero, indicando una mejora en la estacionariedad.

Finalmente, mediante el análisis de las funciones ACF y PACF se identificaron componentes autorregresivos y de medias móviles, permitiendo ajustar un modelo SARIMA adecuado para describir y pronosticar el comportamiento de las exportaciones de café en toneladas métricas.

Modelo SARIMA para las toneladas métricas exportadas El modelo seleccionado para la serie diferenciada de toneladas métricas fue un modelo SARIMA(2,0,2)(1,0,0)[12]. Este modelo permitió capturar la dependencia temporal y el comportamiento estacional presente en las exportaciones mensuales de café en Colombia.

Los coeficientes estimados fueron:

El modelo presentó un valor AIC de 8711.77 y un BIC de 8739.88, indicando un ajuste adecuado para la serie analizada.

Ecuación en notación de operadores de rezago

La forma general del modelo es:

\[ (1-\phi_1B-\phi_2B^2)(1-\Phi_1B^{12})Y_t = (1+\theta_1B+\theta_2B^2)\varepsilon_t \]

Sustituyendo los coeficientes estimados:

\[ (1-(-0.3738)B-(0.2729)B^2)(1-0.3194B^{12})Y_t = (1+(-0.2156)B+(-0.6296)B^2)\varepsilon_t \]

Simplificando signos:

\[ (1+0.3738B-0.2729B^2)(1-0.3194B^{12})Y_t = (1-0.2156B-0.6296B^2)\varepsilon_t \]

Expandiendo los polinomios del lado izquierdo:

\[ (1+0.3738B-0.2729B^2)(1-0.3194B^{12}) \]

\[ = 1+0.3738B-0.2729B^2-0.3194B^{12}-0.1194B^{13}+0.0872B^{14} \]

Entonces:

\[ Y_t +0.3738Y_{t-1} -0.2729Y_{t-2} -0.3194Y_{t-12} -0.1194Y_{t-13} +0.0872Y_{t-14} = \varepsilon_t -0.2156\varepsilon_{t-1} -0.6296\varepsilon_{t-2} \]

Despejando \(Y_t\):

\[ Y_t= -0.3738Y_{t-1} +0.2729Y_{t-2} +0.3194Y_{t-12} +0.1194Y_{t-13} -0.0872Y_{t-14} +\varepsilon_t -0.2156\varepsilon_{t-1} -0.6296\varepsilon_{t-2} \]

Los resultados muestran que la serie de toneladas métricas presenta dependencia temporal tanto de corto plazo como estacional. Los rezagos mensuales y anuales influyen en el comportamiento actual de las exportaciones de café, reflejando patrones repetitivos asociados a la dinámica del mercado cafetero colombiano.

En general, el modelo logra representar adecuadamente la dinámica temporal de la serie y proporciona una herramienta útil para realizar pronósticos de corto plazo.

En la gráfica se observa que, después de diferenciar la serie, la tendencia se vuelve más estable y los cambios oscilan alrededor de una media relativamente constante. Además, el componente estacional evidencia que las exportaciones de café presentan patrones repetitivos a lo largo de los meses, mientras que el componente residual recoge las variaciones aleatorias no explicadas por el modelo.

En general, esta descomposición confirma la presencia de comportamiento estacional en las exportaciones de café y respalda el uso de modelos SARIMA para representar adecuadamente la dinámica de la serie.

Una vez ajustado el modelo SARIMA para la serie diferenciada de exportaciones de café, se realizó un pronóstico a 12 meses hacia el futuro utilizando intervalos de confianza del 80% y 95%.

La Figura muestra el comportamiento histórico de la serie y la proyección estimada a partir del año 2025. La línea roja representa los valores pronosticados, mientras que las bandas sombreadas corresponden a los intervalos de confianza, reflejando la incertidumbre asociada al pronóstico.

Los resultados obtenidos evidencian que las exportaciones presentan cambios importantes en el corto plazo, manteniendo el comportamiento dinámico característico del mercado cafetero colombiano. Además, a medida que aumenta el horizonte de predicción, las bandas de confianza se amplían, indicando una mayor incertidumbre en los valores futuros estimados.

La gráfica de pronóstico para las toneladas métricas permite observar el comportamiento esperado de las exportaciones de café a corto plazo. La línea gris representa los datos históricos, mientras que la línea azul muestra los valores pronosticados por el modelo SARIMA ajustado.

Se evidencia que el modelo mantiene la dinámica observada en los últimos periodos, presentando fluctuaciones normales propias de una serie mensual de exportaciones. Además, las bandas de confianza del 80% y 95% reflejan la incertidumbre asociada al pronóstico, aumentando ligeramente a medida que se proyectan más periodos hacia el futuro.

En general, el modelo logra captar adecuadamente el comportamiento temporal de las toneladas exportadas y proporciona una aproximación útil para analizar la evolución futura de las exportaciones de café en Colombia.

Conclusión

El análisis realizado permitió estudiar el comportamiento de las exportaciones de café en Colombia a partir de las variables de miles de dólares FOB y toneladas métricas. A lo largo de los años se observaron periodos de crecimiento y disminución, además de fluctuaciones asociadas al comportamiento del mercado cafetero y a factores económicos y comerciales.

Mediante la metodología Box–Jenkins y los modelos SARIMA fue posible representar adecuadamente la dinámica de las series y generar pronósticos para los próximos periodos. Los resultados mostraron que fue necesario diferenciar las series para lograr estacionariedad y así obtener modelos con mejor ajuste.

Los pronósticos obtenidos indican que las exportaciones continuarán presentando variaciones en el tiempo, manteniendo patrones similares a los observados históricamente. En general, los modelos ajustados permiten tener una herramienta útil para comprender el comportamiento de las exportaciones de café y apoyar futuros análisis económicos del sector cafetero colombiano.

Referencias Bibliograficas