Modelo Financiero con Dinámica de Sistemas
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2026-05-23
1 Introducción
El presente ejercicio analiza el comportamiento dinámico de una deuda empresarial utilizando dinámica de sistemas.
La deuda cambia en el tiempo debido a:
- intereses financieros,
- pagos realizados,
- penalizaciones por mora.
Además, el modelo será representado mediante:
- diagramas causales,
- diagramas de niveles y flujos,
- ecuación diferencial de segundo orden,
- solución analítica,
- simulación numérica con Euler.
2 Planteamiento del problema
Una empresa adquiere una deuda inicial de:
\[ D_0 = 50000 \]
La deuda aumenta debido a:
- tasa de interés,
- mora financiera,
- acumulación de intereses.
La deuda disminuye mediante pagos periódicos.
Se desea estudiar el comportamiento de la deuda durante 24 meses.
3 Variables del sistema
| Variable | Descripción |
|---|---|
| \(D(t)\) | Deuda acumulada |
| \(r\) | Tasa de interés |
| \(m\) | Factor de mora |
| \(p\) | Pagos |
| \(\frac{dD}{dt}\) | Cambio de deuda |
| \(\frac{d^2D}{dt^2}\) | Aceleración financiera |
4 Diagrama causal
5 Diagrama de niveles y flujos
6 Modelo matemático
La dinámica financiera se representa mediante:
\[ \frac{d^2D}{dt^2} + 0.4\frac{dD}{dt} - 0.08D = 500 \]
Donde:
- \(0.4\) representa amortiguación por pagos,
- \(-0.08\) representa crecimiento financiero,
- \(500\) representa cargos adicionales.
7 Solución analítica
La ecuación característica es:
\[ r^2 + 0.4r - 0.08 = 0 \]
Resolviendo:
\[ r_1 = 0.146 \qquad r_2 = -0.546 \]
La solución general es:
\[ D(t) = C_1 e^{0.146t} + C_2 e^{-0.546t} - 6250 \]
Con condiciones iniciales \(D(0) = 50000\) y \(D'(0) = 2000\) se obtiene:
\[ C_1 = 50714 \qquad C_2 = 5536 \]
8 Solución analítica en R
9 Método de Euler
Se define:
\[ x_1 = D \qquad x_2 = \frac{dD}{dt} \]
Entonces:
\[ \frac{dx_1}{dt} = x_2 \qquad \frac{dx_2}{dt} = 500 - 0.4\,x_2 + 0.08\,x_1 \]
10 Simulación numérica con Euler
11 Comparación de soluciones
12 Resultados
Los resultados muestran que:
- la deuda presenta crecimiento acelerado,
- los intereses generan retroalimentación positiva,
- la mora incrementa el crecimiento financiero,
- y los pagos ayudan a disminuir parcialmente la deuda.
13 Conclusiones
La dinámica de sistemas permite modelar problemas financieros complejos mediante relaciones de retroalimentación.
La ecuación diferencial de segundo orden representa adecuadamente el crecimiento dinámico de la deuda.
El método de Euler permite aproximar numéricamente el comportamiento financiero del sistema.