Introducción

El presente estudio analiza la serie temporal de las toneladas exportadas de café colombiano mediante técnicas de series de tiempo y modelos ARIMA/SARIMA. El objetivo es identificar patrones, tendencias y comportamientos estacionales en las exportaciones, permitiendo generar pronósticos útiles para el análisis del sector cafetero colombiano.

Estadísticos descriptivos

Estadistico Valor
Media 5.161259e+04
Varianza 1.859405e+08
Moda 3.980500e+04
Minimo 2.006100e+04
Maximo 1.133910e+05
Mediana 5.054300e+04
Asimetria 5.840410e-01
Curtosis 1.259968e+00
Q1 4.294450e+04
Q3 5.919350e+04

Los estadísticos descriptivos muestran que la serie de toneladas presenta una alta variabilidad en el tiempo. La media y la mediana tienen valores cercanos, aunque la asimetría positiva evidencia una mayor presencia de valores altos en algunos periodos.

El diagrama de cajas evidencia dispersión en las toneladas exportadas y la presencia de algunos valores atípicos, indicando variaciones importantes en determinados periodos.

El histograma muestra una distribución ligeramente asimétrica hacia la derecha, lo que indica que algunos periodos registraron exportaciones superiores al promedio.

## Cargando paquete requerido: MASS
## Cargando paquete requerido: survival
Distribucion AIC BIC
Normal 14673.37 14681.40
Log-Normal 14667.20 14675.23
Weibull 14696.40 14704.44

La distribución Log-Normal presentó los menores valores de AIC y BIC, indicando un mejor ajuste para modelar el comportamiento de las toneladas exportadas.

El mapa de calor evidencia fluctuaciones temporales en las exportaciones de café, observándose periodos con mayores concentraciones de toneladas en algunos años y meses específicos.

La serie temporal muestra variaciones constantes en las exportaciones de café, con cambios importantes en determinados periodos y posibles comportamientos estacionales.

La descomposición permitió identificar componentes de tendencia, estacionalidad y variación aleatoria dentro de la serie temporal.

Prueba de Estacionariedad

## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  serie_cafe
## KPSS Level = 0.61652, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.02113

La prueba KPSS indicó que la serie original no era estacionaria, por lo que fue necesario aplicar diferenciación.

Diferenciación

La diferenciación redujo la tendencia presente en la serie y permitió estabilizar el comportamiento de los datos.

## Warning in kpss.test(serie_diff): p-value greater than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  serie_diff
## KPSS Level = 0.015959, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.1

La prueba KPSS aplicada a la serie diferenciada evidenció estacionariedad, indicando que la transformación realizada fue adecuada.

ACF y PACF

El análisis de la ACF y PACF muestra que ambas funciones decaen lentamente y de forma positiva sin cortarse abruptamente, lo que indica que la serie no es estacionaria y probablemente requiere una diferenciación.

## tau = 0.0463, 2-sided pvalue =0.16081

La prueba de Mann-Kendall no evidenció una tendencia estadísticamente significativa en la serie de toneladas.

## Series: serie_cafe 
## ARIMA(2,1,2)(1,0,0)[12] 
## 
## Coefficients:
## Warning in sqrt(diag(x$var.coef)): Se han producido NaNs
##          ar1     ar2    ma1     ma2    sar1
##       0.0966  0.1276  -0.69  -0.202  0.3249
## s.e.     NaN     NaN    NaN     NaN  0.0185
## 
## sigma^2 = 96467818:  log likelihood = -4349.23
## AIC=8710.45   AICc=8710.66   BIC=8734.55
## 
## Training set error measures:
##                     ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set -180.3092 9749.848 7565.868 -3.615131 15.49103 0.7567962
##                     ACF1
## Training set 0.002010698
## Series: serie_cafe 
## ARIMA(2,1,2) 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ma1      ma2
##       -0.6077  0.3894  0.0895  -0.8896
## s.e.   0.0553  0.0550  0.0256   0.0247
## 
## sigma^2 = 104518145:  log likelihood = -4365.85
## AIC=8741.69   AICc=8741.84   BIC=8761.77
## 
## Training set error measures:
##                     ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set -228.8907 10161.04 7865.305 -4.056007 16.18025 0.7867482
##                    ACF1
## Training set 0.01822641
##                     ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set -180.3092 9749.848 7565.868 -3.615131 15.49103 0.7567962
##                     ACF1
## Training set 0.002010698
##                     ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set -228.8907 10161.04 7865.305 -4.056007 16.18025 0.7867482
##                    ACF1
## Training set 0.01822641

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,2)(1,0,0)[12]
## Q* = 48.332, df = 19, p-value = 0.0002297
## 
## Model df: 5.   Total lags used: 24

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,2)
## Q* = 108.5, df = 20, p-value = 0.00000000000003686
## 
## Model df: 4.   Total lags used: 24

El modelo SARIMA presentó mejores criterios de ajuste y menores errores de predicción en comparación con el modelo ARIMA

Criterios AICc y medidas de error para los modelos
Modelo AICc BIC RMSE MAE MAPE ACF1
SARIMA(2,1,2)(1,0,0)[12] 8710.66 8734.55 9749.848 7565.868 15.49103 0.0020107
ARIMA(2,1,2) 8741.84 8761.77 10161.040 7865.305 16.18025 0.0182264

La comparación de criterios AIC, BIC y medidas de error mostró que el modelo SARIMA fue el más adecuado para representar la serie temporal.

##          Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## Apr 2026       51508.27 38921.13 64095.42 32257.89 70758.65
## May 2026       51854.52 38266.69 65442.35 31073.73 72635.31
## Jun 2026       52745.46 38724.27 66766.65 31301.90 74189.02
## Jul 2026       56610.13 42394.08 70826.19 34868.55 78351.71
## Aug 2026       60704.00 46344.24 75063.77 38742.64 82665.37
## Sep 2026       59454.89 44975.98 73933.80 37311.31 81598.47
## Oct 2026       59328.96 44739.07 73918.85 37015.65 81642.28
## Nov 2026       59835.63 45138.94 74532.32 37358.98 82312.28
## Dec 2026       56529.77 41728.24 71331.30 33892.78 79166.75
## Jan 2027       61163.06 46257.96 76068.16 38367.67 83958.44
## Feb 2027       53472.96 38465.20 68480.72 30520.58 76425.35
## Mar 2027       53516.59 38406.96 68626.22 30408.40 76624.78

El pronóstico estimó fluctuaciones en las toneladas exportadas para los próximos periodos, manteniendo patrones similares a los observados históricamente.

Conclusiones

El análisis de la serie temporal de toneladas exportadas de café permitió identificar variaciones importantes, presencia de estacionalidad y cambios en algunos periodos del tiempo. Las pruebas de estacionariedad evidenciaron la necesidad de aplicar diferenciación para estabilizar la serie. Además, el modelo SARIMA presentó el mejor ajuste estadístico y menores errores de predicción frente al modelo ARIMA, permitiendo generar pronósticos coherentes con el comportamiento histórico de las exportaciones.

Introducción

Este estudio analiza la serie temporal de los dólares asociados al café, utilizando técnicas de series temporales como descomposición, pruebas de estacionariedad, diferenciación, análisis ACF/PACF, prueba de Mann-Kendall y modelos ARIMA/SARIMA.

Estadistico Valor
Media 173666.274939
Varianza 8742435666.482761
Moda 186451.000000
Minimo 39668.000000
Maximo 617460.000000
Mediana 153639.000000
Asimetria 1.623793
Curtosis 3.649612
Q1 112524.500000
Q3 211558.000000

La serie de dólares presentó una elevada dispersión y asimetría positiva, reflejando incrementos importantes en algunos periodos del análisis.

El mapa de calor de la serie de dólares evidencia variaciones temporales en los ingresos generados por las exportaciones de café. Los colores más intensos representan mayores valores en dólares, mientras que los tonos claros indican menores ingresos. Además, se observan fluctuaciones y posibles patrones estacionales en algunos periodos de la serie.

El diagrama de cajas evidenció variabilidad en los ingresos asociados al café y posibles valores extremos en determinados años.

El histograma mostró una distribución asimétrica hacia la derecha, indicando periodos con ingresos considerablemente superiores al promedio.

## Warning in cov2cor(varcovar): diag(V) had non-positive or NA entries; the
## non-finite result may be dubious
## Warning in sqrt(diag(varcovar)): Se han producido NaNs
Distribucion AIC BIC
Normal 21934.10 21942.14
Log-Normal 21778.51 21786.55
Weibull 21846.99 21855.03

La distribución Log-Normal presentó el mejor ajuste estadístico según los criterios AIC y BIC.

Construcción de la serie temporal

La serie temporal mostró fuertes variaciones en los ingresos del café, asociadas a cambios económicos y del mercado internacional.

AUTOCOVARIANZA

## [1] 7793219804

AUTOCORRELACION

## [1] 0.8412154

Descomposición de la serie

La descomposición permitió identificar patrones de tendencia y posibles efectos estacionales en la serie de dólares.

Prueba KPSS

La prueba KPSS se utiliza para verificar si la serie es estacionaria.

## Warning in kpss.test(serie_dolares): p-value smaller than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  serie_dolares
## KPSS Level = 3.7691, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.01

La prueba KPSS indicó que la serie original no era estacionaria, requiriendo diferenciación para estabilizarla.

Prueba Dickey-Fuller Aumentada (ADF)

La prueba ADF permite evaluar la existencia de raíz unitaria.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  serie_dolares
## Dickey-Fuller = -2.1052, Lag order = 7, p-value = 0.5329
## alternative hypothesis: stationary

La prueba Dickey-Fuller confirmó inicialmente la presencia de raíz unitaria y falta de estacionariedad enla serie.

Diferenciación de la serie

Debido a que las series económicas suelen no ser estacionarias, se aplica diferenciación de primer orden.

La diferenciación permitió estabilizar la media y reducir la tendencia presente en los datos.

KPSS sobre serie diferenciada

## Warning in kpss.test(serie_diff): p-value greater than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  serie_diff
## KPSS Level = 0.03469, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.1

Las pruebas aplicadas sobre la serie diferenciada confirmaron que la serie alcanzó estacionariedad.

ADF sobre serie diferenciada

## Warning in adf.test(serie_diff): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  serie_diff
## Dickey-Fuller = -8.7659, Lag order = 7, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Funciones de autocorrelación

La función de autocorrelación (ACF) permite medir la relación entre los valores presentes y sus rezagos, mientras que la función de autocorrelación parcial (PACF) mide dicha relación eliminando el efecto de rezagos intermedios.

La autocovarianza se define como:

\[ \gamma_k = Cov(Y_t,Y_{t+k}) = E[(Y_t-\mu)(Y_{t+k}-\mu)] \]

La autocorrelación está dado por:

\[ \rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0} \]

donde:

Funciones ACF y PACF

Las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial ayudan a identificar los órdenes del modelo ARIMA.

Basado en el gráfico ACF y PACF, el análisis indica que la serie de tiempo sigue un proceso autorregresivo de orden 1, AR(1). Esto se concluye porque la ACF muestra un decaimiento gradual y positivo, mientras que la PACF solo presenta un valor significativo en el primer rezago, con valores cercanos a cero en los siguientes.

Prueba Mann-Kendall

Esta prueba evalúa la existencia de tendencia monotónica en la serie temporal.

## tau = 0.506, 2-sided pvalue =< 0.000000000000000222

La prueba Mann-Kendall mostró evidencia de tendencia significativa en la serie de dólares.

Modelo SARIMA

El modelo SARIMA incorpora componentes estacionales y se representa como:

\[ SARIMA(p,d,q)\times(P,D,Q)_s \]

donde:

La forma general del modelo es:

\[ \Phi(B^s)\phi(B)(X_t-\mu)=\Theta(B^s)\theta(B)W_t \]

Modelo SARIMA

## Series: serie_dolares 
## ARIMA(2,1,2)(1,0,0)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ma1      ma2    sar1
##       -0.6721  0.2113  0.2853  -0.6104  0.1855
## s.e.   0.1260  0.1210  0.1062   0.0988  0.0544
## 
## sigma^2 = 1480867088:  log likelihood = -4908.34
## AIC=9828.68   AICc=9828.89   BIC=9852.78
## 
## Training set error measures:
##                    ME     RMSE      MAE      MPE     MAPE      MASE
## Training set 1427.168 38200.11 27148.71 -2.54975 16.42019 0.5589849
##                      ACF1
## Training set -0.009748599

El modelo SARIMA presentó mejor capacidad predictiva y menores criterios de información respecto al modelo ARIMA.

Modelo ARIMA

El modelo ARIMA se utiliza para modelar y pronosticar series temporales mediante componentes autorregresivos y de medias móviles.

La forma general del modelo autorregresivo es:

\[ Y_t = \delta + \phi_1Y_{t-1}+\phi_2Y_{t-2}+\cdots+\phi_pY_{t-p}+\varepsilon_t \]

El modelo ARMA se expresa como:

\[ Y_t = \delta + \sum_{i=1}^{p}\phi_iY_{t-i}+\varepsilon_t-\sum_{i=1}^{q}\theta_i\varepsilon_{t-i} \] # Modelo ARIMA

## Series: serie_dolares 
## ARIMA(2,1,2) 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ma1      ma2
##       -0.5520  0.2895  0.1808  -0.6564
## s.e.   0.1312  0.1081  0.1137   0.1011
## 
## sigma^2 = 1521173104:  log likelihood = -4914.18
## AIC=9838.36   AICc=9838.51   BIC=9858.44
## 
## Training set error measures:
##                    ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set 2005.459 38764.25 27512.79 -2.694018 16.83659 0.5664813
##                     ACF1
## Training set -0.00998753

Comparación de modelos

Se comparan ambos modelos utilizando AIC, BIC y medidas de error.

##                    ME     RMSE      MAE      MPE     MAPE      MASE
## Training set 1427.168 38200.11 27148.71 -2.54975 16.42019 0.5589849
##                      ACF1
## Training set -0.009748599
##                    ME     RMSE      MAE       MPE     MAPE      MASE
## Training set 2005.459 38764.25 27512.79 -2.694018 16.83659 0.5664813
##                     ACF1
## Training set -0.00998753

Análisis de residuos

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,2)(1,0,0)[12]
## Q* = 41.221, df = 19, p-value = 0.002255
## 
## Model df: 5.   Total lags used: 24

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,2)
## Q* = 54.656, df = 20, p-value = 0.00004622
## 
## Model df: 4.   Total lags used: 24

El análisis de residuos mostró menor autocorrelación en el modelo SARIMA, indicando un mejor ajuste estadístico.

Pronóstico

Se realiza un pronóstico de 12 periodos futuros utilizando el modelo SARIMA.

##          Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## Apr 2026       430989.2 381672.5 480305.9 355565.8 506412.6
## May 2026       427117.0 369266.8 484967.2 338642.8 515591.3
## Jun 2026       435371.8 372976.2 497767.4 339945.9 530797.6
## Jul 2026       443094.9 376256.8 509932.9 340874.9 545314.8
## Aug 2026       459049.3 388646.1 529452.5 351376.9 566721.8
## Sep 2026       449095.3 374880.0 523310.7 335592.7 562597.9
## Oct 2026       460703.9 383245.9 538161.9 342242.2 579165.7
## Nov 2026       464914.6 384016.6 545812.7 341191.8 588637.5
## Dec 2026       455226.1 371315.2 539136.9 326895.5 583556.6
## Jan 2027       472573.4 385504.0 559642.9 339412.2 605734.6
## Feb 2027       435863.5 345965.5 525761.5 298376.4 573350.6
## Mar 2027       427792.6 334959.9 520625.3 285817.2 569767.9

Gráfico del pronóstico

El pronóstico proyectó fluctuaciones futuras en los ingresos del café, manteniendo patrones similares a los observados históricamente.

Conclusiones

El estudio de la serie temporal de dólares asociados al café evidenció fluctuaciones significativas y una tendencia creciente en determinados periodos. Las pruebas de estacionariedad confirmaron la necesidad de diferenciar la serie para lograr estabilidad. Asimismo, el modelo SARIMA mostró un mejor desempeño estadístico y predictivo respecto al modelo ARIMA, logrando representar adecuadamente la dinámica temporal y los patrones estacionales presentes en los ingresos del café.

Refencias

Cowpertwait, P. S., & Metcalfe, A. V. (2009). Introductory Time Series with R. Springer. http://repository.cinec.edu/bitstream/cinec20/1223/1/2009_ Book_IntroductoryTimeSeriesWithR.pdf

Nurkholis, Z. (2023). A Practical Guide to ARIMA with auto.arima Function in R. Medium. https://medium.com/@mouse3mic3/ a-practical-guide-to-arima-with-auto-arima-function-in-r-252aa84232af