計量経済I：復習テスト7

作者

村澤 康友

公開

2026年5月22日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 1～8 を順に重ねて左上でホチキス止めし，中間テスト実施日（6月9日の予定）に提出すること．

  1. (1+k) 変量データを \{(y_i,x_{i,1},\dots,x_{i,k})\}_{i=1}^n とする．y_i の (x_{i,1},\dots,x_{i,k}) 上への重回帰モデルは \operatorname{E}(y_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})=\beta_1x_{i,1}+\dots+\beta_kx_{i,k} 回帰の誤差項は u_i:=y_i-\operatorname{E}(y_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})．以下の式を証明しなさい．

\operatorname{E}(u_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})=0

\operatorname{E}(u_i)=0

\operatorname{E}(x_{i,1}u_i)=\dots=\operatorname{E}(x_{i,k}u_i)=0

  1. 期待値の線形性より \begin{align*} \operatorname{E}(u_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k}) & =\operatorname{E}(y_i-\operatorname{E}(y_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})|x_{i,1},\dots,x_{i,k}) \\ & =\operatorname{E}(y_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})-\operatorname{E}(y_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k}) \\ & =0 \end{align*}

  2. 繰り返し期待値の法則と前問より \begin{align*} \operatorname{E}(u_i) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(u_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})) \\ & =\operatorname{E}(0) \\ & =0 \end{align*}

  3. 繰り返し期待値の法則，期待値の線形性と前々問より \begin{align*} \operatorname{E}(x_{i,1}u_i) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(x_{i,1}u_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})) \\ & =\operatorname{E}(x_{i,1}\operatorname{E}(u_i|x_{i,1},\dots,x_{i,k})) \\ & =\operatorname{E}(0) \\ & =0 \end{align*} \operatorname{E}(x_{i,2}u_i),\dots,\operatorname{E}(x_{i,k}u_i) も同様．

  1. 前問と同じ重回帰モデルを考える．(\beta_1,\dots,\beta_k) の MM（＝OLS）推定量を (b_1,\dots,b_k)，y_i の回帰予測を \hat{y}_i，OLS 残差を e_i とする．

  1. (b_1,\dots,b_k) を定義しなさい．

  2. \hat{y}_i と e_i を定義しなさい．

  3. 次式を示しなさい． \sum_{i=1}^nx_{i,1}e_i=\dots=\sum_{i=1}^nx_{i,k}e_i=0

  4. 次式を示しなさい． \sum_{i=1}^n\hat{y}_ie_i=0

  1. (b_1,\dots,b_k) は次の連立方程式の解： \begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_{i,1}(y_i-b_1x_{i,1}-\dots-b_kx_{i,k}) & =0 \\ & \vdots \\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_{i,k}(y_i-b_1x_{i,1}-\dots-b_kx_{i,k}) & =0 \end{align*}

\begin{align*} \hat{y}_i & :=b_1x_{i,1}+\dots+b_kx_{i,k} \\ e_i & :=y_i-\hat{y}_i \\ & =y_i-b_1x_{i,1}-\dots-b_kx_{i,k} \end{align*}

  1. 前 2 問より \begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_{i,1}e_i & =0 \\ & \vdots \\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_{i,k}e_i & =0 \end{align*} したがって \sum_{i=1}^nx_{i,1}e_i=\dots=\sum_{i=1}^nx_{i,k}e_i=0

  2. \hat{y}_i:=b_1x_{i,1}+\dots+b_kx_{i,k} を代入すると \begin{align*} \sum_{i=1}^n\hat{y}_ie_i & =\sum_{i=1}^n(b_1x_{i,1}+\dots+b_kx_{i,k})e_i \\ & =b_1\sum_{i=1}^nx_{i,1}e_i+\dots+b_k\sum_{i=1}^nx_{i,k}e_i \end{align*} 前問より各項は 0．