Změna ceny akcií Google po restrukturalizaci

1 Google se transformoval na společnost Alphabet

Společnost Google se 10. srpna 2015 restrukturalizovala do holdingové společnosti Alphabet. Toto oznámení o převzetí mohlo ovlivnit cenu akcií společnosti Google. Tento projekt se snaží pomocí abnormálních výnosů zjistit, zda tato událost výrazně přispěla k změně cen akcií nad rámec přirozeného trendu.

Abnormální výnosy (\(AR\)) představují odchylky (rezidua) z predikce, tedy rozdíl mezi skutečným dosaženým výnosem \(R\) a očekávaným výnosem \(\text{E}(R)\). Pro odhad očekávaného výnosu využijeme více možných metod a porovnáme je mezi sebou. Jednou z nich je např. stanovení průměrných hodnot na základě simulovaných trajektorií geometrického Brownova pohybu.

Dataset google (Zdroj: The Macrotrends) obsahuje čtyři proměnné:

• date … datum,
• google … denní logaritmický výnos akcií Google (vypočtený z uzavírací ceny),
• sp500 … denní logaritmický výnos indexu S&P 500 (vypočtený z uzavírací ceny); tento údaj se blíží tržnímu výnosu a
• price … denní cena akcie při uzavření (closing price).

Na grafu logaritmických výnosů lze tušit, že po ohlášeném převzetí došlo k skokovému nárůstu cen akcií Za zmínku stojí, že k výrazné změně došlo ještě k 17. červnu (tržní výnos tento trend nekopíruje). Obecně Jendotlivé cenné papíry jsou volativnější než trh a tržní výnos na základě indexu S&P 500 se chová více stabilně.

2 Geometrický Brownův pohyb

Předpokládejme geometrický Brownův pohyb jako model závěrečné ceny akcií. Zajímá nás změna ve výnosech ke konkrétnímu dni, proto budeme modelovat čtyři vývoje v cen:

• vzhledem k 17. červenci a jeho okolí (nejmarkantnější skoková změna) a

• k 10. srpnu 2015 (naše událost zájmu).

Vzhledem k výzkumné otázce okno pro odhady zúžíme na 1. května – 24. srpna 2015 (14 dní po ohlášeném převzetí).

Na předchozím grafu je znázorněno, jak byla časová osa rozdělená na nepřekrývající se podintervaly.

2.1 Ověření normality

Před simulací geometrického Brownova pohybu, je potřeba ověřit normalitu a nezávislost logaritmických výnosů \(R(t)\) v každé uvažované fázi (podintervalu časové osy).

	Šikmost	Špičatost
1. fáze	-0.030	2.486
2. fáze	1.342	3.072
Před převzetím	-0.774	3.330
Po převzetí	0.933	3.659

Po vyfiltrování zkoumáme 77 dnů (48 před skokem, 5 během výrazného skoku, 16 před a 8 po datumu události zájmu). Záznamů v 1. fázi je 62 %. Skokový nárůst (2. fáze) je zatížena výrazným sešikmením vzhledem k outlieru k 17. červenci 2015. Vhodným rozdělením trajektorie výnosů na podintervaly se nám podařilo data přiblížit normalitě (šikmost \(\approx 0\), špičatost \(\approx 3\)). Pro nás je směrodatný hlavně vývoj před a po ohlášeném převzetí, které můžeme za normální považovat.

	p-hotnota
1. fáze	0.849
2. fáze	0.021
Před převzetím	0.150
Po převzetí	0.256

Na základě Shapiro-Wilkova testu bychom zamítli normalitu jen v případě výše zmiňované problematické skokové změny kolem 17. července. Vzhledem k bezvýznamnosti této fáze k naší výzkumné otázce, můžeme porušení zanedbat. Tento skok potřebujeme v datech jen pro zachování skokové změny i při simulacích.

2.2 Ověření nezávislosti

Pro ověření nezávislost logaritmovaných výnosů \(R(t)\) využijeme vzhledem k stacionaritě dat autokorelační funkci. Data se zdají být na 5% hladině významnosti nekorelovaná.

2.3 Simulace

Pro simulaci trajektorií geometrického Brownova pohybu budeme potřebovat odhadnout neznámé parametry. Metodou momentů za pomoci výběrového průměru \(\bar{R}\) a výběrového rozptylu \(s^2_R\) odhadneme:

\[ \hat{r} = \frac{\bar{R}}{\Delta t} + \frac{s^2_R}{2 \Delta t},\quad \hat{\sigma}^2 = \frac{s^2_R}{\Delta t}. \]

Zvolme časový krok \(\Delta t = \frac{1}{252}\), což odpovídá jednomu dni v roce na burze.

	orhad r	odhad sigma2	odhad mu	počet pozorování
1. fáze	0.00238	0.00103	0.00019	48
2. fáze	0.42084	0.02383	0.04089	5
Před převzetím	-0.03265	0.00164	-0.00335	16
Po převzetí	0.03202	0.00318	0.00304	8

Simulace po ohlášeném datu převzetí se vyznačuje oproti bezprostřední minulosti:

• Až dvojnásobnou volalitou \(\hat{\sigma}^2\) - Jsou očekávané větší fluktuace výnosů.

• Zároveň kladnou rychlostí (drift) náhodného procesu \(\hat{\mu}\) - Očekáváme rostoucí tendenci oproti předchozí fázi.

2. fáze s rapidním skokem v datech se vyznačuje výrazným navrženým tempem růstu (driftem). Vzhledem k menšímu počtu dat a porušení normality je zatížená větší neurčitostí (volalitou).

Při generovaní za \(x_0\) zvolíme tu uzavírací cenu bezprotředně předcházející našemu oknu zájmu. V 1. fázi mluvíme o ceně akcie k 1. srpnu, tedy \(x_0 =\) 27.642. V dalších fázích za \(x_0\) budeme považovat poslední známou nasimulovanou hodnotu trajektorie.

Odhad parametrů se provedl na 10 000 nasimulovaných trajektorií.

Na grafu 200 náhodně vybraných trajektorií je patrné, že simulace Brownova geometrického modelu prokládá křivku reálných dat. S rostoucím časem se stává odhad více neurčitý (intervaly spolehlivosti se rozevírají).

3 Abnormální výnosy

Vypočítejme abnormální výnosy (\(AR = R - \text{E}(R) = R - \hat{R}\)) pro akcie Google v okně pozorování. Použijeme pět modelů:

1. Průměrný model: AR je rozdíl mezi výnosem akcie a průměrným výnosem akcie k datumu události, tj. \(\hat{R} = \bar{R}\).
2. Model s klouzavým průměrem: AR je rozdíl mezi výnosem akcie a klouzavým průměrným výnosem akcie (okno o velikosti 7), tj. \(\hat{R} = \bar{R}_{mov}\).
3. Tržní model: AR je rozdíl mezi výnosem akcie a současným výnosem trhu, tj. \(\hat{R} = R_m\).
4. Model upravený o riziko: AR představují odchylky (rezidua) z OLS predikce, tzn. rozdíl mezi výnosem akcie a výnosem předpovídaným lineárním regresním modelem s tržním výnosem jako nezávislou proměnnou. \(\hat{R}\) je výnos předpovězený modelem upraveným o riziko na současných datech.
5. Geometrický Brownův model: AR je rozdíl mezi výnosem akcie a průměrným výnosem simulovaných trajektorií Brownova geometrického modelu, jak by se data chovala dál, kdyby nedošlo k události, tj. \(\hat{R} = \bar{R}_{BM}\).

Vyfiltrujeme celý soubor dat na smysluplnější subsety dle funkce využití:

• Okno pro odhad: Od 1. května do 31. července 2015.
• Pozorovací okno: 4 dny před a 14 dní po ohlášeném převzetí (od 6. srpna do 24. srpna 2015).

Regresní model upravený o riziko (The risk-adjusted model):

# Estimate a model predicting stock price with market return
risk_model <- lm(google ~ sp500, data = est_data)

Výpočet klouzavého průměru:

# Calculate Moving average, window size of 7
mov_average <- stats::filter(google15$google, rep(1/7, 7), sides = 2)
# argument sides = 2... convolution (moving average)

Počítáme, jak by se výnosy měly chovat bez nastání události a porovnáváme je s pozorováními \(R\). Proto při simulaci geometrického Brownova pohybu budeme cenu akcie odhadovat, jako by k události vůbec nedošlo. Do fáze “po převzetí” dosadíme v simulacích parametry “před převzetím.”

Simulace předpokládá po restrukturalizaci nárůst výnosů. Očekávání se odvíjí od bezprostřední minulosti a pokračuje v předchozím trendu.

Datum	AR mean	AR moving mean	AR market	AR regress	AR brown
2015-08-11	3.73%	3.68%	4.97%	5.09%	4.36%

Všechny modely naznačují výrazný skok (v rozsahu 3.7% až 5.1%) v abnormálním výnosu akcií den po nahlášeném převzetí. Na odlehlých pozorování je patrné, že průměrný model nejvíce podléhá aktuálním externalitám. Model vycházející ze simulací geometrického Brownova pohybu kopíruje tvar modelu aritmetického průměru, jen je posunutý vertikálně.

V případě aritmetického modelu se od výnosů odčítá kladná konstanta 0.28%. U Brownova modelu se očekávaný průměrný výnos pohybuje v záporných hodnotách v rozmezí -0.36% - -0.32%. V konečném důsledku se k \(R\) přičítají, proto se výsledná křivka nachází nad průměrným modelem.

4 Testování významnosti

Modely navrhly 3.7% až 5.1% nárůst abnormálních výnosů. Jedná se o náhodu, nebo je tento nárůst statisticky významný? Uvažujme \(H_0: AR = 0\) oproti \(H_1 \neq 0\).

Vypočteme \(t\)-statistiky testující skok v den po ohlášeném převzetí (11. srpna).

Model	AR k 11.8.	sd	t-statistika	95% IS	p-hodnota
AR mean	3.734%	0.022	1.670	(-0.006, 0.081)	0.095
AR moving mean	3.677%	0.020	1.854	(-0.002, 0.076)	0.064
AR market	4.970%	0.019	2.553	(0.012, 0.088)	0.011
AR regress	5.094%	0.019	2.625	(0.013, 0.089)	0.009
AR brown	4.360%	0.019	2.292	(0.006, 0.081)	0.022

Abnormální výnosy k 11. srpnu jsou oproti předchozímu dni 4 - 5 %. Na 5% hladině významnosti zamítáme, že by změna v abnormálních výnosech v případě regresního modelu, tržního modelu a modelu geometrického Brownova pohybu byla den po ohlášeném převzetí nevýrazná (tj. nulová). Zároveň se zdají regresní a tržní model vzhledem k směrodatným odchylkám nejpřesnější.

Dle ostatních modelů je tato změna hraničně signifikantní. Model s aritmetickým průměrem je spíše konzervativní a při zamítání \(H_0\) nejopatrnější. Model klouzavého průměru se stává se zvětšováním okna pro výpočet průměru konzervativnější.

Za nejvhodnější model pro zkoumání abnormálních výnosů lze v tomto případě považovat jednoduchý lineární model. Ale stále se jedná o velice primitivní přístup a existují sofistikovanější metody (např. Capital Asset Pricing Model, zkráceně CAP).