Berikut adalah simulasi efek sebaran populasi pada performa uji nilai tengah satu populasi, dengan ketentuan:
Sebaran : Normal, Seragam, Eksponensial(1)
Ukuran contoh : 10, 20, 40
Kondisi nilai tengah populasi : \(\mu_0=\mu_0,\mu_0+0.5\sigma, \mu_0+\sigma, \mu_0+1.5\sigma\)
Respon : proporsi H0 ditolak
set.seed(123)
B <- 1000 # banyak simulasi
alpha <- 0.05 # taraf nyata
n_vec <- c(10, 20, 40)
shift_vec <- c(0, 0.5, 1, 1.5)
shift_label <- c("mu0",
"mu0+0.5sigma",
"mu0+sigma",
"mu0+1.5sigma")
dist_vec <- c("Normal",
"Uniform",
"Exponential")mu0 <- 0
sigma <- 1hasil <- data.frame()
for(dist in dist_vec){
for(n in n_vec){
for(i in 1:length(shift_vec)){
shift <- shift_vec[i]
# mean populasi aktual
mu <- mu0 + shift * sigma
tolak <- numeric(B)
# Simulasi sebanyak B kali
for(b in 1:B){
# ---------- NORMAL ----------
if(dist == "Normal"){
x <- rnorm(n,
mean = mu,
sd = sigma)}
# ---------- UNIFORM ----------
# Uniform(a,b)
# mean = (a+b)/2
# sd = (b-a)/sqrt(12)
if(dist == "Uniform"){
a <- mu - sqrt(3)*sigma
b_uni <- mu + sqrt(3)*sigma
x <- runif(n,
min = a,
max = b_uni)}
# ---------- EXPONENTIAL ----------
# Exponential standar: mean = sd = 1
# Supaya punya mean = mu, dilakukan pergeseran X = Exp(1) - 1 + mu
# Maka:
# E(X) = mu
# SD(X) = 1 = sigma
if(dist == "Exponential"){
x <- rexp(n, rate = 1) - 1 + mu}
# =====================================
# Uji t satu sampel
# H0 : mean = mu0
# =====================================
pval <- t.test(x,
mu = mu0)$p.value
# Tolak H0 jika p-value < alpha
tolak[b] <- ifelse(pval < alpha, 1, 0)
}
# -----------------------------------------
# Proporsi H0 ditolak
# -----------------------------------------
prop_tolak <- mean(tolak)
# Simpan hasil
hasil <- rbind(hasil,
data.frame(
Distribusi = dist,
n = n,
Kondisi = shift_label[i],
Proporsi_Tolak_H0 = prop_tolak
))
}
}
}
print(hasil)## Distribusi n Kondisi Proporsi_Tolak_H0
## 1 Normal 10 mu0 0.045
## 2 Normal 10 mu0+0.5sigma 0.286
## 3 Normal 10 mu0+sigma 0.794
## 4 Normal 10 mu0+1.5sigma 0.988
## 5 Normal 20 mu0 0.051
## 6 Normal 20 mu0+0.5sigma 0.569
## 7 Normal 20 mu0+sigma 0.986
## 8 Normal 20 mu0+1.5sigma 1.000
## 9 Normal 40 mu0 0.047
## 10 Normal 40 mu0+0.5sigma 0.882
## 11 Normal 40 mu0+sigma 1.000
## 12 Normal 40 mu0+1.5sigma 1.000
## 13 Uniform 10 mu0 0.063
## 14 Uniform 10 mu0+0.5sigma 0.260
## 15 Uniform 10 mu0+sigma 0.790
## 16 Uniform 10 mu0+1.5sigma 0.998
## 17 Uniform 20 mu0 0.040
## 18 Uniform 20 mu0+0.5sigma 0.552
## 19 Uniform 20 mu0+sigma 0.989
## 20 Uniform 20 mu0+1.5sigma 1.000
## 21 Uniform 40 mu0 0.037
## 22 Uniform 40 mu0+0.5sigma 0.881
## 23 Uniform 40 mu0+sigma 1.000
## 24 Uniform 40 mu0+1.5sigma 1.000
## 25 Exponential 10 mu0 0.102
## 26 Exponential 10 mu0+0.5sigma 0.203
## 27 Exponential 10 mu0+sigma 0.972
## 28 Exponential 10 mu0+1.5sigma 0.998
## 29 Exponential 20 mu0 0.066
## 30 Exponential 20 mu0+0.5sigma 0.623
## 31 Exponential 20 mu0+sigma 1.000
## 32 Exponential 20 mu0+1.5sigma 1.000
## 33 Exponential 40 mu0 0.070
## 34 Exponential 40 mu0+0.5sigma 0.949
## 35 Exponential 40 mu0+sigma 1.000
## 36 Exponential 40 mu0+1.5sigma 1.000Hasil simulasi menunjukkan bahwa performa pengujian nilai tengah satu populasi dipengaruhi oleh bentuk sebaran populasi, ukuran sampel, dan besarnya pergeseran nilai tengah terhadap \(\mu_0\).
Pada kondisi (\(\mu=\mu_0\)), proporsi penolakan (\(H_0\)) merepresentasikan tingkat Type 1 Error. Untuk distribusi normal dan seragam, proporsi penolakan berada di sekitar 0.05 sehingga sesuai dengan taraf nyata yang digunakan (\(\alpha\)= 5%). Namun, pada distribusi eksponensial, proporsi penolakan cenderung lebih besar, terutama saat (\(n=10\)) yaitu sebesar 0.102. Hal ini menunjukkan bahwa uji t satu sampel kurang stabil pada data yang sangat menceng dan ukuran sampel kecil.
Ketika nilai tengah populasi bergeser menjadi (\(\mu=\mu_0+0.5\sigma\)), proporsi penolakan meningkat pada seluruh distribusi. Peningkatan tersebut menunjukkan bertambahnya kemampuan uji dalam mendeteksi perbedaan terhadap hipotesis nol. Selain itu, semakin besar ukuran sampel, semakin tinggi proporsi penolakan. Sebagai contoh, pada distribusi normal, proporsi penolakan meningkat dari 0.286 (\(n=10\)) menjadi 0.882 (\(n=40\)).
Pada kondisi (\(\mu=\mu_0+\sigma\)) dan (\(\mu=\mu_0+1.5\sigma\)), hampir seluruh proporsi penolakan mendekati 1. Hal ini menunjukkan bahwa uji memiliki power yang sangat tinggi ketika pergeseran rata-rata populasi cukup besar. Bahkan pada sebagian besar kombinasi dengan \(n\ge20\), hipotesis nol hampir selalu ditolak.
Secara umum, hasil simulasi menunjukkan bahwa:
semakin besar ukuran sampel, semakin tinggi power uji;
semakin besar pergeseran rata-rata populasi dari (\(\mu_0\)), semakin besar proporsi penolakan (\(H_0\));
distribusi yang tidak simetris seperti eksponensial dapat menyebabkan Type 1 Error lebih besar dari taraf nyata, terutama pada ukuran sampel kecil;
uji t satu sampel bekerja paling baik pada distribusi normal dan menjadi lebih stabil pada seluruh distribusi ketika ukuran sampel bertambah besar, sesuai dengan Teorema Limit Pusat.