Aufgabe 13: Äquivalenzumformungen bei linearen Gleichungssystemen (LGS)

Aufgabenstellung

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

a) Das Vertauschen zweier Zeilen eines LGS ist eine Äquivalenzumformung.
b) Multiplikation einer Zeile eines LGS mit einer beliebigen Zahl ist eine Äquivalenzumformung.
c) Zum Erreichen der Stufenform bei einem LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen sind in jedem Fall drei Äquivalenzumformungen erforderlich.

Schritt-für-Schritt-Lösung

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung eines Gleichungssystems, die die Lösungsmenge nicht verändert. Das heißt: Nach der Umformung hat das System genau dieselben Lösungen wie vorher.

Bei linearen Gleichungssystemen (LGS) gibt es drei grundlegende Äquivalenzumformungen:

  1. Vertauschen von zwei Gleichungen (Zeilen) → erlaubt ✅
  2. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl ≠ 0 → erlaubt ✅
  3. Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen → erlaubt ✅

⚠️ Wichtig: Bei Punkt 2 darf die Zahl nicht null sein – sonst würde die Gleichung verschwinden und die Lösungsmenge sich ändern!

Teilaufgabe a)

Das Vertauschen zweier Zeilen eines LGS ist eine Äquivalenzumformung.

✅ Wahr

Warum? Weil die Reihenfolge der Gleichungen keinen Einfluss auf die Lösung hat. Ob ich zuerst Gleichung 1 oder Gleichung 2 schreibe – die Lösungen bleiben gleich.

📌 Beispiel:
Original:
① x + y = 5
② 2x - y = 1

Vertauscht:
① 2x - y = 1
② x + y = 5

→ Gleiche Lösung: x=2, y=3

Teilaufgabe b)

Multiplikation einer Zeile eines LGS mit einer beliebigen Zahl ist eine Äquivalenzumformung.

❌ Falsch

Warum? Nur wenn die Zahl ungleich null ist! Wenn ich eine Gleichung mit 0 multipliziere, wird daraus 0 = 0 – das ist immer wahr, aber ich verliere Information über die Variablen. Die Lösungsmenge ändert sich dann!

📌 Beispiel:
Original:
① x + y = 5
② 2x - y = 1

Multipliziere ① mit 0:
→ 0 = 0 (immer wahr)
② bleibt: 2x - y = 1

Jetzt habe ich nur noch eine echte Gleichung → unendlich viele Lösungen! Vorher war es eindeutig lösbar.

✅ Korrektur: „Multiplikation einer Zeile mit einer von null verschiedenen Zahl ist eine Äquivalenzumformung.“

Teilaufgabe c)

Zum Erreichen der Stufenform bei einem LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen sind in jedem Fall drei Äquivalenzumformungen erforderlich.

❌ Falsch

Warum? Es hängt vom konkreten System ab! Manchmal braucht man weniger, manchmal mehr – oder sogar gar keine, wenn das System schon in Stufenform ist.

📌 Beispiel 1: Schon in Stufenform
① x + y + z = 6
② y + z = 3
③ z = 1

→ Keine Umformung nötig! Also 0 Äquivalenzumformungen.

📌 Beispiel 2: Braucht mehrere Schritte
① x + y + z = 6
② x + 2y + 3z = 14
③ 2x + 3y + 4z = 20

Hier musst du eventuell 3–5 Umformungen machen, um zur Stufenform zu kommen.

➡️ Also: Nicht „in jedem Fall drei“ – sondern je nach System unterschiedlich viel.

Zusammenfassung

Teilaufgabe Aussage Wahr/Falsch Begründung
a) Vertauschen zweier Zeilen ✅ Wahr Reihenfolge egal → Lösungsmenge unchanged
b) Multiplikation mit beliebiger Zahl ❌ Falsch Nur mit Zahl ≠ 0 erlaubt! Sonst Verlust von Information
c) Immer genau 3 Umformungen nötig ❌ Falsch Hängt vom System ab – kann 0, 1, 2, 3, … sein

Tipp für die Prüfung

Merke dir die drei erlaubten Äquivalenzumformungen:

  1. Zeilen vertauschen
  2. Zeile mit zahl ≠ 0 multiplizieren
  3. Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren

Alles andere ist keine Äquivalenzumformung – und kann die Lösung verfälschen!

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